構建模型化物理情景 巧析板塊臨界問題
——2021年全國乙卷第21題啟示

安徽 張元偉 宋萬松

2021年高考剛剛過去，高考試題是每個老師關注的焦點。在今年的全國乙卷中，第21題回歸經典，考查內容為“有外力作用下的板塊臨界問題”，題目呈現的情景是此類板塊問題中最復雜、計算最繁瑣的一種，選擇這樣的一種情景作為選擇題的壓軸題，更注重考查學生的推理能力和分析綜合能力。解決板塊問題最根本的方法就是構建模型化的物理情景，建立力與運動關系的物理觀念。

有外力作用時的板塊運動性質問題的基本情景有以下五種，一一舉例說明。

一、情景分析

情景1：地面光滑、F作用在木板上

圖1

已知木塊A質量為m2，木板B質量為m1，A和B都靜止在光滑地面上。A、B之間的動摩擦因數為μ，假設最大靜摩擦力fm和滑動摩擦力相等。

因地面光滑，當F作用在木板上時，無論F的大小，木板和木塊一定會運動，但是不確定兩者是一起加速還是各自加速。即將問題轉化為是否有相對滑動的問題，此類問題必將討論靜摩擦力是否達到最大值。所以分析的過程如下：

當F作用在物體上時假設兩者一起運動，對A、B整體分析

F=(m1+m2)a①

因木塊A靠靜摩擦力加速，故再對木塊A分析

f靜=m2a②

當f靜達到最大值μm2g時出現臨界狀態，聯立①②兩式，可得此時外力F的大小為μ(m1+m2)g

結論：

①當0

②當F>μ(m1+m2)g時，AB各自加速。

情景2：地面光滑、F作用在木塊上

圖2

分析過程如下：

當F作用在物體上時假設兩者一起運動，對A、B整體分析

F=(m1+m2)a①

因木板B靠靜摩擦力加速，故再對木板B分析

f靜=m1a②

結論：

情景3：地面粗糙、F作用在木板上

圖3

已知木塊A質量為m2，木板B質量為m1，A和B都靜止在光滑地面上。A、B之間的動摩擦因數為μ2，B與地面間的動摩擦因數為μ1，假設最大靜摩擦力fm和滑動摩擦力相等。

分析過程如下：

當F作用在物體上時，若F較小，則A、B均不會運動，此時B與地面間存在靜摩擦力，而A、B間無摩擦力。當B與地面間的靜摩擦力達到最大值時出現臨界狀態，B與地面間出現相對滑動，此時F的大小為μ1(m1+m2)g。

當F大于μ1(m1+m2)g時，A、B開始運動，下面討論何時A、B間出現相對滑動。

假設兩者一起運動，對A、B整體分析

F-μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a①

因木塊A靠靜摩擦力加速，故再對木塊A分析

f靜=m2a②

當f靜達到最大值μ2m2g時出現臨界狀態，聯立①②兩式，可得此時外力F的大小為(μ1+μ2)(m1+m2)g

結論：

①當0

②當μ1(m1+m2)g

③當F>(μ1+μ2)(m1+m2)g時，A、B各自加速。

情景4：地面粗糙、F作用在木塊上

圖4

分析過程如下：

當F作用在物體上時，若F較小，則A、B均不會運動，此時B與地面間存在靜摩擦力f靜1，而A、B間也存在著靜摩擦力f靜2，由平衡知識可得，此時F=f靜1=f靜2。當F增大時，兩處的靜摩擦力均增大，故此處需要討論哪個接觸面先達到最大靜摩擦力。

情景4.1：當μ2m2g>μ1(m1+m2)g時

木板B與地面間先達到最大靜摩擦力，當F大于μ1(m1+m2)g時，A、B開始運動，下面討論何時A、B間出現相對滑動。

假設兩者一起運動，對A、B整體分析

F-μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a①

因木板B靠靜摩擦力加速，故再對木板B分析

f靜2-μ1(m1+m2)g=m1a②

結論：

①當0

情景4.2：當μ2m2g<μ1(m1+m2)g時

物塊A與木板B間先達到最大靜摩擦力，當F>μ2m2g時，A、B間發生相對滑動，而此時A、B間的摩擦力為滑動摩擦力，始終小于B與地面間的最大靜摩擦力，所以B將一直靜止。

結論：

①當0

②當F>μ2m2g時，B始終靜止，A加速。

以上情景可以用下表概括：

前提情景結論地面光滑有力必會運動力小一起加速力大各自加速地面粗糙μ2m2g>μ1(m1+m2)gμ2m2g<μ1(m1+m2)g力小系統靜止力稍大一起加速力再大各自加速力小系統靜止力大A加速B一直靜止

二、原題重現

(2021·全國乙卷·21)水平地面上有一質量為m1的長木板，木板的左端上有一質量為m2的物塊，如圖5所示。用水平向右的拉力F作用在物塊上，F隨時間t的變化關系如圖6所示，其中F1、F2分別為t1、t2時刻F的大小。木板的加速度a1隨時間t的變化關系如圖7所示。已知木板與地面間的動摩擦因數為μ1，物塊與木板間的動摩擦因數為μ2。假設最大靜摩擦力均與相應的滑動摩擦力相等，重力加速度大小為g。則

圖5

圖6

圖7

( )

A.F1=μ1m1g

D.在0～t2時間段物塊與木板加速度相等

【點評】從這道高考題的分析過程可以看出，解題的第一步就需要學生能夠通過對圖像分析確定物理情景，這是學生遇到的第一個難點。如果學生能夠構建起這類板塊問題的模型化情景，就可以快速的確定本題屬于情景4.1，這樣題目中所考查的前提條件、不同外力下物體的運動性質以及出現臨界問題時的狀態就都可以迎刃而解了。

三、拓展

下面通過兩個例子進一步說明上述結論的一些常見應用。

【例1】(2010·海南卷·改編)圖8中，質量為m的物塊疊放在質量為2m的足夠長的木板上方右側，木板放在光滑的水平地面上，物塊與木板之間的動摩擦因數為μ=0.2。在木板上施加一水平向右的拉力F，在0～3 s內F的變化如圖9所示，圖中F以mg為單位，重力加速度g=10 m/s2。整個系統開始時靜止。

圖8

圖9

【點評】本題略去了具體的問題，在這里只是討論前置的問題。本題屬于地面光滑F作用于木板的情景，最初當F=mg時板塊將會如何運動呢？可以直接將上述的結論帶入，很快將會得出兩者各自加速。知道了運動的性質，之后會怎么樣就能夠很容易的分析了。

圖10

四、總結