基于數(shù)學極值條件下的物理情景、模型建構(gòu)和臨界問題的研究

四川 鄧賢彬 劉劍琴

要想學好物理，不僅要加強對物理情景、物理模型的分析和理解，還離不開數(shù)學知識的強力支撐。高中物理中的極值問題對學生來說是學習中的難點，同時也是高考的重點和熱點。如何有效的突破這一學生學習中的瓶頸，筆者試圖通過本文加以研究，以饗讀者，愿有所裨益。

學過物理的人都知道，聽懂容易做題難。很多人都弄不明白原因究竟為何？筆者認為，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因有如下幾方面：一是學生對物理情景思考過少，不重視情景的理解和模型建構(gòu)；其次是將物理和數(shù)學對立，不能將二者有機地融合；三是對題干中的關鍵詞重視不夠，特別是對隱含條件不能有效揭示和利用，不會將物理的臨界問題和數(shù)學的極值條件整合考慮。本文試圖以數(shù)學為基礎，通過將物理問題結(jié)合物理規(guī)律建構(gòu)成數(shù)學模型加以解決，在幫助學生解決問題的同時讓學生更加深入的體會數(shù)學與物理的緊密聯(lián)系。

1.一元二次函數(shù)

1.1 數(shù)學形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0，且b、c為常數(shù))

1.2 物理情景與模型建構(gòu)

1.2.1 勻減速直線運動

物理情景分析：因為物體速度越來越小，同時距離出發(fā)點也越來越遠，所以當速度減為零時距離出發(fā)點距離最遠。

模型建構(gòu)：物體做勻減速直線運動

速度公式：v=v0-at①

由物理條件和公式①②可知

事實上，由于勻減速直線運動的物體其位移是關于時間的一元二次函數(shù)，利用數(shù)學知識和公式②可直接得出：

1.2.2 勻變速直線運動的追及問題

物理情景分析：兩物體在同一直線上同向追及，客觀上存在能否相遇的現(xiàn)實問題和追及中距離最大或者最小的極值問題，速度相等是追得上、追不上和剛好追上的臨界條件，也是兩物體相距最遠或最近的極值取得的條件。

模型建構(gòu)：假設勻變速直線運動的物體A追及同一直線上勻變速直線運動的物體B(同時出發(fā)，剛開始二者相距x0)：設經(jīng)過t時間

由③式即可直接求出兩物體距離最大值或者最小值。

1.2.3 閉合電路電源輸出功率最大問題

物理情景分析：閉合電路的外電路為非純電阻時，由閉合電路歐姆定律可知，電源輸出的電壓越大，輸出電流越小，輸出功率可能出現(xiàn)極值。

模型建構(gòu)：P出=UI①

U=E-Ir②

由①和②得

由③式可知：

1.3 典例分析

【例1】物體以v0=30 m/s的初速度豎直向上拋出，空氣阻力忽略不計，g取10 m/s2。問：經(jīng)過多長時間物體距拋出點最遠？距拋出點最遠距離是多少？

【解析】物體作豎直上拋運動，即為勻減速直線運動。

物理情景分析：以豎直向上為正方向v=v0+at，

即v=30-10t①

由①式知：當v=0時，即t=3 s時，物體距離拋出點最遠，將t=3 s代入②式得xm=45 m

由上面公式②直接整理：x=-5(t-3)2+45

當t=3 s時，xm=45 m

【例2】一輛汽車在十字路口等紅燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6 m/s 的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？最遠距離是多少？(2)假設兩物體一直保持運動性質(zhì)不變，問汽車和自行車能相遇幾次？

【解析】設經(jīng)過時間t汽車和自行車之間的距離為x，則

當t=2 s時兩車之間的距離有最大值Δxm，

且Δxm=6 m

解得t1=0(舍)，t2=4，所以兩物體在t=4 s時相遇一次。

【例3】如圖1所示，電源電動勢E=12 V，內(nèi)阻r=3 Ω，直流電動機內(nèi)阻R1=1 Ω。調(diào)節(jié)R2時可以使如圖電路輸出功率最大且電動機剛好正常工作(額定輸出功率為P0=2 W)，則R2的值是多少？

圖1

2.三角函數(shù)

2.1 數(shù)學形式

y=asinθ+bcosθ(a、b均為不為零的常數(shù))

2.2 物理情景分析與模型建構(gòu)

力是矢量，其作用效果不僅取決于力的大小，還與力的方向有關，故在涉及有關力的計算問題時，需要定量表示力的大小和方向。實際問題中，在坐標系中定量處理力的問題時，方向通常用角度加以表達。因而在解決平衡問題時利用平衡條件可將力的大小轉(zhuǎn)化為方向(角度)函數(shù)關系，那么生活中施力最小的實際問題，則可通過將力的最小值轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最大值加以解決。

2.3 典例分析

【例4】拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖2)。設拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略，拖把頭與地板之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g。某同學用該拖把在水平地板上拖地時，如果沿拖桿方向拉動拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。問：拉拖把的力的至少為多大，角度θ為多少，才能使拖把頭在地板上勻速后退？

圖2

【解析】設該同學沿桿方向用大小為F的力拉拖把，將此力沿豎直方向和水平方向分解，根據(jù)平衡條件：

FN=mg-Fcosθ①

Fsinθ=f②

又f=μFN③

聯(lián)立①②③式得

由④式知：

3.正弦定理

3.1 數(shù)學形式

三角形中，三角形三條邊長和對角的正弦值存在如下關系：

3.2 物理情景分析和模型建構(gòu)

圖3

3.3 典例分析

【例5】如圖4所示，小球用細繩系住，放在傾角為θ的光滑斜面上，當細繩由水平方向逐漸向上偏移時(球位置不變，繩加長)，細繩上的拉力將

圖4

( )

A.逐漸增大 B.逐漸減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

【解析】對小球進行受力分析，小球受重力G、斜面的支持力FN、細繩的拉力FT，因為G、FN、FT三力共點平衡，故三個力可以構(gòu)成一個矢量三角形，畫出某一定態(tài)如圖5所示：

圖5

根據(jù)題意知：θ不變，β從90°逐漸減小，α由銳角變直角再變鈍角，sinα的值先增大后減小，結(jié)合③式可知：FT先減小后增大且FTmin=Gsinθ，故正確選項D。

4.數(shù)列

4.1 數(shù)學形式

等差數(shù)列an+2-an+1=d(d為常數(shù)且不為零，n=0，1，2，3，…)

4.2 物理情景分析和模型建構(gòu)

(1)物體做勻速圓周運動或者簡諧運動時具有周期性，其運動時間是關于周期的通項式；同樣機械波傳播時，空間上也存在一定周期性，其傳播距離是波長的通項式，這類問題可以利用數(shù)列知識加以解決。

物體做勻速圓周運動或者簡諧運動的時間

t=NT+Δt(N=0，1，2，3，…) ①

機械波沿波傳播方向傳播距離

x=Nλ+Δx(N=0，1，2，3，…) ②

由①和②式知，當N=0時，會出現(xiàn)極值。

(2)玻爾氫原子模型：

①軌道半徑公式：rn=n2r1(n=1，2，3，…)，其中r1為基態(tài)半徑，其數(shù)值為r1=0.53×10-10m；

(3)勻變速直線運動連續(xù)相鄰相等時間的位移差：x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2(定值)

4.3 典例分析

【例6】兩顆衛(wèi)星A和B在同一軌道平面內(nèi)圍繞地球作同一方向上的圓周運動，其中A衛(wèi)星的周期為TA，B衛(wèi)星的周期為TB，且TA>TB。剛開始兩衛(wèi)星相距距離最近。問：至少需要多長時間，兩衛(wèi)星再一次相距最近？

圖6

【例7】一列橫波沿x軸正方向傳播，在t1=0時刻的波形圖如圖7中實線所示，在t2=1.0 s時刻的波形圖如圖7中虛線所示。

圖7

求：(1)寫出這列波傳播速度的表達式；(2)求此波傳播速度的最小值。

【解析】方法一：平移法

波在t時間內(nèi)傳播的距離

x=Nλ+Δx=(8N+6) m(N=0，1，2，3…) ①

聯(lián)立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：當N=0時，波的傳播速度最小且最小值vmin=6 m/s。

方法二：振動法

取平衡位置為坐標原點的質(zhì)點0為研究對象：t1=0時刻正在向y軸負方向振動；t2=1.0 s時刻質(zhì)點振動到最高點，則有

聯(lián)立①和②式：

v=(8N+6) m/s(N=0，1，2，3，…) ③

由③式知：當N=0時，波的傳播速度最小且最小值vmin=6 m/s

5.均值不等式

5.1 數(shù)學形式

(1)若a+b=c(定值)，則當a=b時，(a×b)有最大值；

(2)若a×b=c(定值)，則當a=b時，(a+b)有最大值。

5.2 物理情景分析和模型建構(gòu)

有的物理問題，可能會出現(xiàn)兩個物體某個同類量之和為定值，需要判斷別的量的大小和這兩個量的乘積的關系；或者兩個量的乘積為定值，需要判斷別的量的大小和這兩個量的和的關系。這種情形，往往要用到數(shù)學中均值不等式求極值問題。

(3)閉合電路電源輸出功率和外電阻的關系

由上式可以得出

②當R>r時，電源的輸出功率隨R的增大而減小；

③當R

④P出與R的關系如圖8所示。

圖8

5.3 典例分析

【例8】月球上蘊藏著豐富的礦產(chǎn)資源。如果有一天人類能方便地在地、月間往返，便可以將月球上的礦物運送到地球上。假設地、月間的距離保持不變，隨著月球上的礦物越來越多的運送到地球，那么月球和地球間的萬有引力會如何變化？

【解析】設地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，如果將月球上質(zhì)量為m0的礦物運送到地球上。

運送礦物后月球和地球間萬有引力

如何比較F和F′的大小，對學生而言是一個難點。由數(shù)學模型可知：因為月球和地球質(zhì)量之和為一定值(這一點學生不容易想到)，即M+m=定值，所以當M=m時，(M×m)的值最大，即月球和地球間的萬有引力最大。本來就有地球質(zhì)量大于月球質(zhì)量，即M>m，隨著地球質(zhì)量越來越大，月球質(zhì)量越來越小，兩者質(zhì)量乘積應越來越小，即地球和月球間的萬有引力應越來越小。

【例9】如圖9所示，R1為定值電阻，R2為可變電阻，E為電源電動勢，r為電源內(nèi)電阻，以下說法中正確的是

圖9

( )

A.當R2=R1+r時，R2上獲得最大功率

B.當R2=R1+r時，R1上獲得最大功率

C.當R2=0時，R1上獲得最大功率

D.當R2=0時，電源的輸出功率最大

圖10