對高中物理“汽車啟動”教學中一個常見誤區的討論

四川 李 迪 李 剛

文章以一道機車啟動的題目為例，通過積分計算，給出了機車啟動過程中瞬時速度和時間的函數關系式，論證了不論機車是以恒定功率啟動，還是以恒定加速度啟動，都無法真正達到最大速度，只能無限趨近于最大速度。

筆者在教學過程中遇到了這樣一道關于汽車啟動的題目，原文如下：

2020年2月22日，河北省第九批支援湖北的醫療隊在石家莊火車站乘坐高鐵列車到達武漢，開展新冠肺炎醫療救治工作。已知該高鐵列車的總質量為m=5×105kg，運動過程中受到的阻力恒為列車重力的0.02倍，已知該高鐵列車沿直線由靜止啟動的過程中，其輸出功率P與速度v的關系圖像如圖1所示，該高鐵列車從靜止開始啟動至達到最大速度所用的時間t=300 s，g=10 m/s2，下列說法正確的是

圖1

( )

A.該高鐵列車的最大速度為30 m/s

B.該高鐵列車的最大速度為90 m/s

C.該高鐵列車做勻加速直線運動的時間為225 s

D.該高鐵列車由靜止開始運動至達到最大速度的位移為3 375 m

【解析】A、B.由圖1知該高鐵列車的額定功率P額=9×106W，該高鐵列車受到的阻力

f=kmg=0.02×5×105×10 N=1×105N

牽引力與阻力大小相等時，高鐵列車的速度最大，則

B項正確，A項錯誤

C.在勻加速階段，由圖1可知，牽引力

根據牛頓第二定律有

F-f=ma和v=at1

解之可得

a=0.4 m/s2，t1=75 s

C項錯誤

D.勻加速運動的位移

該高鐵列車從達到額定功率至最大速度的過程中，設該高鐵列車的位移為x2，根據動能定理可得：

解得x2=2 250 m

因此該高鐵列車從靜止開始運動到最大速度的總位移為

x=x1+x2=3 375 m

D項正確。

然而，如果我們畫出該列車啟動的v-t圖像(圖2)，不難發現，由圖像與t軸所圍成的面積為直線運動的位移可知，變加速階段的位移必將大于梯形面積

圖2

這一結果遠大于我們在解析中通過動能定理(1)式計算得到的x=2 250 m。

兩種解答過程看似都沒有問題，但為什么會出現截然不同的結果呢？這涉及我們在“機車啟動”教學過程中的一個常見誤區，接下來進行詳細分析。

在日常教學過程中，常見講授方式為，把“機車啟動”類問題分為兩種：1.以恒定功率啟動；2.以恒定加速度啟動。

我們先討論以恒定功率啟動的方式，設機車的額定功率為P0，質量為m，運動過程中受到恒定的阻力f，根據牛頓第二定律和功率的表達式，有

P0=F·v(2)

F-f=ma(3)

隨著速度v的增加，機車牽引力F逐漸減小，由(3)式可知加速度a逐漸減小，機車做加速度減小的變加速運動，v-t圖像的形狀大致如圖3所示，在某一時刻t1，當F減小至等于f時，加速度a為零，機車速度到達最大速度vm，由(2)、(3)式可知

圖3

上述的分析過程只是一個定性的分析，我們會發現恒定功率啟動過程中，瞬時速度v是關于時間t的函數，但是僅靠高中階段的數學知識還得不到精確的v與t函數表達式，現在我們用微積分對這個問題進行求解，為了使表達式更具普遍性，我們求解機車在恒定功率P0下，在t時間內，速度從某一瞬時速度v1變加速至v的表達式：

由(2)、(3)式得微分表達式

變形可得

兩邊積分

兩邊積分得

變形為

當v1=0時，(5)式將變換為

(5)式為從v1開始、(6)式為從靜止開始以恒定功率啟動過程中，瞬時速度v與啟動時間t所滿足的表達式。

現對它們進行簡單討論：由(5)式、(6)式可知，當P0-fv=0，即P0=fv，v=vm時，ln函數無意義，t不存在，也就意味著P0不能等于fv，即機車的速度無法達到滿足(4)式的最大速度vm，當P0-fv2→0時，即v→vm時，t→∞。也可以理解為機車速度要達到vm，需要用無窮多的時間，需要走無窮多的位移。以上特點可由(5)式、(6)式的函數圖像直觀看出，如圖4、圖5所示。(這里以上述例題中的數據代入計算，即(5)式、(6)式中的P0=9×106W，f=1×105N，m=5×105kg，v1=30 m/s)

圖4

圖5

由圖4、圖5第一象限中的圖像可以看出，不論初速度是否為零，機車只要是恒定功率的變加速，就都無法真正達到最大速度vm，只能無限趨近于最大速度vm，在v-t圖像中，vm可表示為函數圖像的一條漸近線。

由圖可以直觀看出，當t=300 s時，速度v<90 m/s，帶入(5)式可計算得到，t=300 s-75 s=225 s時，v≈65.45 m/s。所以題目中所給的“該高鐵列車從靜止開始啟動至到達最大速度所用的時間t=300 s”與實際情況存在著較大的偏差，這就是例題中存在矛盾的原因。若我們以實際情況v≈65.45 m/s來對兩種解題方法進行對比，則：

代入表達式(1)中得：

x≈11 791 m>10 738 m，

矛盾消除。

同時，我們也可以由(2)式、(3)式得到，當機車以恒定加速度啟動時，機車的運動可以分為兩個階段，第一階段為勻加速直線運動，在該階段，牽引力F恒定，機車功率隨著v線性增加(與t成正比)，當機車功率P=P0后，牽引力F隨著v的增加而減小，機車進入以P0為恒定功率的變加速階段，之后運動情況和(5)式、圖4描述的運動情況相同，即機車依然無法真正達到最大速度vm，只能無限接近vm。同樣也不存在到達最大速度的時間和位移。

其中(5)式中的v1可以由(2)式、(3)式結合給定的加速度a計算得到，當a=a0時有

綜合看來，無論機車以何種方式啟動，我們都可以由(5)式和(7)式進行某一瞬時速度的計算。

1.以恒定功率啟動時，用

2.以恒定加速度a0啟動時，用

v=at1(當v≤v1時) (8)

(當v>v1時)