淺析柱狀微元模型在高考物理中的考查

黑龍江 劉 玉 高 洋

微元思想是高中物理中非常重要的思想方法，在高中物理學習中，建立微元思想可以提升對物理概念的理解、提高解決物理問題的能力。近些年高考物理試題中出現的“微元法”問題主要一類為柱狀微元模型，這類問題經常在動量定理、功率、電流微觀表達式以及氣體壓強微觀表達式中進行考查。

“微元法”的關鍵是通過取某一時刻某一小段(微元)作為研究對象進行研究，可以將變速問題變為極短時間內的勻速問題、恒速問題，體現了“化變為恒”的思想。由于流體模型(如水流、氣流、粒子流等)具有連續性作用的特點，從整體上往往無從下手，這時我們就可以通過“微元法”處理。這里的“微元”主要體現在研究對象的選取：取很短時間Δt內的流體物質為研究對象，建立“柱狀模型”，研究對象的質量均勻分布在橫截面積為S，長為vΔt的柱體內，即Δm=ρSvΔt。

一、柱狀微元模型在動量定理問題中的考查

【例1】(2019·北京卷·24)雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關。雨滴間無相互作用且雨滴質量不變，重力加速度為g。

(1)質量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時速度為u，求這一過程中克服空氣阻力所做的功W。

(2)將雨滴看作半徑為r的球體，設其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數；

a.設雨滴的密度為ρ，推導雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關系式；

b.圖1中畫出了半徑為r1、r2(r1>r2)的雨滴在空氣中無初速下落的v-t圖線，其中________(填“①”或“②”)對應半徑為r1的雨滴；若不計空氣阻力，請在圖中畫出雨滴無初速下落的v-t圖線。

圖1

(3)由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f∝v2(提示：設單位體積內空氣分子數為n，空氣分子質量為m0)。

【試題分析】(1)(2)略

(3)設在極短時間Δt內，空氣分子與雨滴碰撞，空氣分子的速率為u，

在Δt內，空氣分子個數為：N=nSvΔt，其質量為：

Δm=Nm0

取向下為正方向，對圓盤下方空氣分子由動量定理有：

F1Δt=Δm(v+u)-0

對圓盤上方空氣分子由動量定理有：

-F2Δt=0-Δm(u-v)

圓盤受到的空氣阻力為：f=F1-F2

聯立解得：f=2Sv2nm0∝v2

【反思】本題的難點是求空氣阻力的大小，而求空氣阻力的關鍵是在很短的一段Δt時間內雨滴(圓盤)上方和下方空氣柱的選取，部分學生在求解過程中無法正確選取研究對象來進行研究。需要注意的是雨滴運動過程中，上、下方空氣均與其有相互作用，我們可以在任意位置取很短的一段Δt時間內雨滴上、下方各一段質量為Δm的空氣柱來研究，其中Δm=Nm0，N=nSvΔt，再通過柱狀微元的選取和動量定理的表達式就可以得出結果。

【變式1】(2020·海南高考真題)太空探測器常裝配離子發動機，其基本原理是將被電離的原子從發動機尾部高速噴出，從而為探測器提供推力，若某探測器質量為490 kg，離子以30 km/s的速率(遠大于探測器的飛行速率)向后噴出，流量為3.0×10-3g/s，則探測器獲得的平均推力大小為

( )

A.1.47 N B.0.147 N C.0.09 N D.0.009 N

【試題分析】取Δt時間內從發動機尾部高速噴出的質量為Δm的離子為研究對象，Δm=3.0×10-3×10-3Δt；根據動量定理有FΔt=Δmv，解得F=0.09 N。

根據牛頓第三定律，探測器獲得的平均推力大小為0.09 N，故選C。

對題干中“離子以30 km/s的速率(遠大于探測器的飛行速率)向后噴出”的理解：認為30 km/s的速率是離子相對探測器的速度大小，而探測器的飛行速率在Δt時間內可以理解為不發生變化。

【變式2】(2019·全國卷Ⅰ·16)最近，我國為“長征九號”研制的大推力新型火箭發動機聯試成功，這標志著我國重型運載火箭的研發取得突破性進展。若某次實驗中該發動機向后噴射的氣體速度約為3 km/s，產生的推力約為4.8×106N，則它在1 s時間內噴射的氣體質量約為

( )

A.1.6×102kg B.1.6×103kg

C.1.6×105kg D.1.6×106kg

二、柱狀微元模型在功率問題中的考查

【例2】(2018·海南卷·6)某大瀑布的平均水流量為5 900 m3/s，水的落差為50 m。已知水的密度為1.00×103kg/m3。在大瀑布水流下落過程中，重力做功的平均功率約為

( )

A.3×106W B.3×107W

C.3×108W D.3×109W

圖2

【變式1】(2021·浙江高二期中)圖3為嘉興七一廣場音樂噴泉噴出水柱的場景。噴泉噴出的最高水柱約50 m，噴管的直徑約為10 cm，已知水的密度ρ=1×103kg/m3。據此估計噴管噴水的電動機的輸出功率約為

圖3

( )

A.6.5×104W B.1.3×105W

C.2.6×105W D.5.2×105W

【試題分析】噴泉噴水從噴泉口噴出的初速度為

在很短的一段Δt時間內噴泉口噴出水的質量為

根據動能定理，在Δt時間內電動機對水流做功

【反思】部分學生在處理此問題時得出不一樣的結果，過程如下：

【變式2】圖4用高壓水槍噴出的強力水柱沖擊右側的煤層。設水柱直徑為D，水流噴出速度為v。方向水平，水柱垂直煤層表面，水柱沖擊煤層后水的速度為零。高壓水槍的質量為M，手持高壓水槍操作，進入水槍的水流速度可忽略不計，已知水的密度為ρ，下列說法正確的是

圖4

( )

A.高壓水槍的流量為vπD2

D.手對高壓水槍的作用力水平向右

三、柱狀微元模型在電流微觀表達式中的考查

【例3】(2020·北京卷·19)如圖5所示，真空中有一長直細金屬導線MN，與導線同軸放置一半徑為R的金屬圓柱面。假設導線沿徑向均勻射出速率相同的電子，已知電子質量為m，電荷量為e。不考慮出射電子間的相互作用。

圖5

(1)可以用以下兩種實驗方案測量出射電子的初速度：

A.在柱面和導線之間，只加恒定電壓；

B.在柱面內，只加與MN平行的勻強磁場。

當電壓為U0或磁感應強度為B0時，剛好沒有電子到達柱面。分別計算出射電子的初速度v0。

(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一個弧長為a、長度為b的金屬片，如圖6所示。在該金屬片上檢測到出射電子形成的電流為I，電子流對該金屬片的壓強為p。求單位長度導線單位時間內出射電子的總動能。

圖6

【試題分析】(1)略

圖7

本題模型的建立需要選取單位時間內射到單位面積的金屬片上的電子來研究，根據電流的比值定義式得到電流的微觀表達式，同時應用柱狀微元動量定理表達式。

四、柱狀微元模型在壓強微觀表達式問題中的考查

【例4】(2019·全國卷Ⅱ·33)如圖8所示，1、2、3三個點代表某容器中一定量理想氣體的三個不同狀態，對應的溫度分別是T1、T2、T3。用N1、N2、N3分別表示這三個狀態下氣體分子在單位時間內撞擊容器壁上單位面積的次數，則N1________N2，T1________T3，N2________N3。(填“大于”“小于”或“等于”)

圖8

【試題分析】本題可定量推導氣體分子單位時間內撞擊容器壁單位面積的次數N與壓強p的關系式，就是定量推導氣體壓強微觀表達式。

氣體壓強微觀表達式的推導：取正方體密閉容器(容器內有大量運動氣體分子)，每個粒子質量為m，單位體積內氣體分子數量n為恒量。為簡化問題，我們假定：氣體分子大小可以忽略；其速率均為v，且與器壁各面碰撞的機會均等；與器壁碰撞前后瞬間，氣體分子速度方向都與器壁垂直，且速率不變。利用所學力學知識，導出器壁單位面積所受氣體分子壓力F與m、n和v的關系。

設分子質量為m，平均速率為v，單位體積的分子數為n(分子數密度)；建立圖9所示柱體模型，設柱體右側面積為S，長為l，則l=vΔt，柱體體積V=Sl

圖9

柱體內分子總數N總=nV

氣體分子單位時間內撞擊容器壁單位面積的次數N的表達式推導：

pΔSΔt=2NΔSΔtmv得p=2Nmv