深化數(shù)學(xué)理解 提升運(yùn)算能力

杜紫紅

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)能力的核心要素，小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與提升離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)及建構(gòu)。在運(yùn)算意義、算法算理的教學(xué)與培育過程中，其實(shí)也灌輸著抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想，這一過程有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)思維發(fā)展的可持續(xù)性。然而，隨著社會(huì)高度發(fā)展，學(xué)生學(xué)習(xí)渠道增多，對(duì)于運(yùn)算內(nèi)容的學(xué)習(xí)，常出現(xiàn)學(xué)生知其然，不知其所以然的現(xiàn)象。學(xué)生跨越式地獲得運(yùn)算算法及結(jié)果的同時(shí)，卻缺失了在建構(gòu)算理算法的過程中對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)。在這樣的現(xiàn)實(shí)背景下，對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算，學(xué)生究竟要學(xué)習(xí)什么，才能真正體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，深化數(shù)學(xué)理解，提升其運(yùn)算能力呢？筆者認(rèn)為，可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行思考。

一、悟算理，以理促法

教學(xué)中，要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握，要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的原理。可見，運(yùn)算中算法的掌握是建立在理解算法的基礎(chǔ)上。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不僅要知道正確的計(jì)算方法，更要理解計(jì)算的原理，在算理的指引下通過思考、提取、建構(gòu)來掌握算法，從而形成一定的計(jì)算技能。

如人教版三上“兩位數(shù)乘一位數(shù)（進(jìn)位）”的教學(xué)，有些學(xué)生在課堂教學(xué)前就知道筆算的方法，但是主要以模仿的方式進(jìn)行筆算，并不能主動(dòng)將算理和算法聯(lián)系起來。教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法呢？筆者在學(xué)生自主表達(dá)筆算過程后提問：“16×3的個(gè)位上的3已經(jīng)和6乘了，十位上為什么還要1×3+1，加的1是什么意思？”通過問題聚焦于為什么加“1”，引導(dǎo)學(xué)生比較直觀圖、加法算式、乘法算式（圖1）的差異，學(xué)生觀察并思考后得出：16×3的算法其實(shí)和加法中的連加計(jì)算一樣，先算個(gè)位上的3個(gè)6相加，就是6×3等于18;再算十位上的3個(gè)10相加，就是十位上的1×3等于30;最后18和30再相加，寫在乘法豎式里，可以有簡便的寫法，也就是個(gè)位上先寫8再進(jìn)上“小1”，十位上1×3再加1。可以發(fā)現(xiàn)，借助引導(dǎo)性問題將學(xué)生的思維聚焦在算法形成的薄弱處，能促使學(xué)生主動(dòng)地將原本抽象的算理同加法豎式計(jì)算、乘法豎式計(jì)算與小棒圖建立實(shí)質(zhì)聯(lián)系，理解6×3、1×3、1×3+1的意義，進(jìn)而深刻理解乘法筆算的過程，抽象形成結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定的算法。

心理學(xué)研究表明，兒童的認(rèn)知遵循“感知-表象-概括”這一規(guī)律，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程需要在直觀的計(jì)算與觀察對(duì)比中慢慢感知、逐步體驗(yàn)，從而獲得對(duì)事物的相對(duì)完整的認(rèn)知。在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在直觀感知、形成表象、抽象概括的基礎(chǔ)上逐步體驗(yàn)、理解算理，進(jìn)而掌握算法，只有經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，才能使得算法的形成有豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累及支撐，通過悟算理，以理促法。

二、明思想，明晰學(xué)法

數(shù)學(xué)思想不同于數(shù)學(xué)知識(shí)技能的教學(xué)，它以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)探究過程的抽象、提煉、概括和升華。計(jì)算教學(xué)中，很多內(nèi)容都需要借助具有方向性的問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)遷移學(xué)習(xí)。

如教學(xué)人教版一上“9加幾”的內(nèi)容，在學(xué)生學(xué)習(xí)9加幾的計(jì)算方法后，筆者出示題組：9+9、9+8、9+7、9+6、9+5、9+4，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考，看看誰能發(fā)現(xiàn)藏在題組中的小秘密。學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：這些算式從小到大排列，后面一個(gè)算式的得數(shù)都比前面一個(gè)算式的得數(shù)多1;9+6從6借了1，9+8從8借了1……每次都是從后面一個(gè)加數(shù)中借了1，計(jì)算9加幾變成10加幾來算比較快。甚至有學(xué)生發(fā)現(xiàn)9+9、9+8、9+7的每個(gè)算式得數(shù)個(gè)位上的數(shù)字都比第二個(gè)加數(shù)少1。那為什么會(huì)這樣呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生再次觀察算式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：原來每一個(gè)算式中得數(shù)個(gè)位上的數(shù)字少“1”，是被9借走的“1”，計(jì)算9加幾其實(shí)就是計(jì)算9加幾的“湊十法”。那么如何引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入思考，理解20以內(nèi)進(jìn)位加法的基礎(chǔ)方法呢？筆者提問：“如果學(xué)習(xí)8加幾、7加幾，它們的和要從第二個(gè)加數(shù)中借幾呢？4+9你會(huì)借幾？”通過這些問題引導(dǎo)學(xué)生的思維逐漸走向深入。學(xué)生觀察不同算式中的和的變化，轉(zhuǎn)變?yōu)閺乃闶街g聯(lián)系的角度進(jìn)行觀察和比較;發(fā)現(xiàn)了和與加數(shù)的聯(lián)系，深入體驗(yàn)9加幾計(jì)算的實(shí)質(zhì)（湊十法）所在。學(xué)生聯(lián)系前面的學(xué)習(xí)內(nèi)容思考新的數(shù)學(xué)知識(shí)的走向，得出不管是8加幾、7加幾，還是4+9，都可以先湊十再計(jì)算。

上面的教學(xué)，學(xué)生在體驗(yàn)相同計(jì)算方法中感悟類推思想，通過這些學(xué)習(xí)過程的思考與體驗(yàn)，可以在潛移默化中形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，并利用這種方法主動(dòng)地遷移到其他同類知識(shí)的學(xué)習(xí)。

三、聯(lián)結(jié)構(gòu)，提升素養(yǎng)

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有整體性和概括性的特點(diǎn)，并且整體性和概括性越強(qiáng)，就越有利于學(xué)習(xí)方法的保持和遷移。當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教材大多是把原本整體的數(shù)學(xué)知識(shí)劃分成一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并分散在不同年級(jí)的不同單元，教師根據(jù)教材知識(shí)點(diǎn)的安排，以課時(shí)的方式進(jìn)行教學(xué)。因此，每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容大體都是圍繞著知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行，這在一定程度上割裂了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，學(xué)生在教材上看不出知識(shí)的前后聯(lián)系及其在一系列知識(shí)中的地位。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果能從數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)和單元題材結(jié)構(gòu)的角度進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的知識(shí)構(gòu)建，就能把看似不同，實(shí)質(zhì)卻有聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)整合在一起，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的整體認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

如人教版三上“口算乘法”的內(nèi)容，教材中的課例引導(dǎo)學(xué)生將整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化成乘法口訣來解決，可如果遇到更大的數(shù)怎么辦呢？在教學(xué)的初始，筆者為結(jié)構(gòu)化教學(xué)埋下伏筆，在學(xué)生理解了20×3、200×3、2000×3的算理之后，提出問題：“沒有兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)乘一位數(shù)的乘法口訣，你們?cè)趺从?jì)算的？”引導(dǎo)學(xué)生將口算乘法及時(shí)地轉(zhuǎn)化為幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千乘幾這一模型，幫助他們溝通口算乘法的算理算法，即20×3=2個(gè)十×3=2×3×10，200×3=2個(gè)百×3=2×3×100，2000×3=2個(gè)千×3=2×3×1000，計(jì)算時(shí)都可以先計(jì)算2×3，再乘上相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位，它們的計(jì)算方法相同，只是最終乘上不同的計(jì)數(shù)單位。隨后，筆者拋出問題：“猜猜看，二四得八能解決哪些計(jì)算？”學(xué)生探究之后回答出二四得八不僅能解決像20×4、200×4、2000×4一類的問題，還可以解決像22×4、222×4一類的算式。可以看出，通過提問引發(fā)思考，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生利用乘法口訣溝通了整數(shù)乘法前后知識(shí)的聯(lián)系，它們其實(shí)都是利用乘法口訣進(jìn)行計(jì)算，只是計(jì)數(shù)單位不同。通過這樣結(jié)構(gòu)式的教學(xué)，幫助學(xué)生溝通前后知識(shí)的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)串成線、連成面、構(gòu)成體，潛移默化地指導(dǎo)學(xué)生拓展思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：福建省廈門海滄延奎實(shí)驗(yàn)小學(xué)? ?本專輯責(zé)任編輯：王振輝）