從波動光學角度解析彩虹

賈嘉琪，黃 振，許清瀅，吳青林

(華中師范大學 物理科學與技術學院,湖北 武漢 430079)

波動光學以光的電磁理論為基礎研究光的傳播規(guī)律.相比于幾何光學，波動光學的物理模型和所得計算結(jié)果更加直觀，理論上所有用幾何光學解釋的光學現(xiàn)象都可以用波動光學來解釋.在傳統(tǒng)的光學教學中，為了照顧學生的認知水平，彩虹現(xiàn)象的探究大多放在幾何光學部分，運用費馬原理推導出彩虹角[1]來解釋彩虹現(xiàn)象，但除彩虹角以外的許多現(xiàn)象單單使用幾何光學是無法解釋的.在電磁學課程中，學生學習了電磁波理論、能流密度、電磁波在電介質(zhì)界面的邊界條件等知識，應用電磁場的邊界條件推導出的菲涅耳公式可以定量計算反射和折射光強.因而本文從光的電磁理論[2]出發(fā)，對彩虹的形成機制給出解釋，以彌補用幾何光學探究其現(xiàn)象時的不足之處.

1 彩虹角的幾何光學解釋

早在1637年笛卡爾就指出，彩虹是太陽光經(jīng)過空氣中的水滴折射-反射-折射后形成的[3]，如圖1所示，1為入射光線，3為折射后進入人眼的光線.D為折射光線相對于入射光線的偏轉(zhuǎn)角，入射光線和折射光線的夾角φ就是地面上的人所看到的彩虹的視場角.彩虹一般出現(xiàn)在清晨或傍晚時分雨后天晴的天空，地面觀察者看到的彩虹的視場角約為42°. 根據(jù)幾何光學中光的反射和折射定律并結(jié)合費馬原理可以計算出這個角度.

圖1 彩虹光路示意圖

由費馬原理可知，實際光線對應的光程總是取平穩(wěn)值.對于圖1所示的彩虹的光路圖，光程取平穩(wěn)值等效于偏轉(zhuǎn)角D或視場角φ取平穩(wěn)值.雨后天空形成彩虹的水滴尺寸約為毫米量級，可看作是理想的球形，由平面幾何知識可得空氣水滴界面的入射角、反射角和折射角與偏轉(zhuǎn)角D或視角φ的關系，如圖1所示.設入射光的波長為λ，水滴的折射率為n，可得偏轉(zhuǎn)角D、視角φ隨入射角θ1之間的關系為

(1)

由式(1)可知φ與折射率n有關，太陽光可看作是由不同波長的復色光組成的，水滴對不同波長光的折射率及對應的視場角如表1所示.

折射率n給定時，視角φ是入射角θ1的連續(xù)函數(shù)，如圖2所示，φ隨入射角θ1先增后減，在42°附近達到最大值，這就是由費馬原理求解的彩虹角.由圖2可以定性的解釋為何人眼看到的彩虹角是42°.

圖2 視場角φ隨入射角θ1變化曲線

在彩虹形成過程中，可以認為入射的太陽光是平行光線，通過Matlab[4]模擬多條平行光線入射，對同一偏轉(zhuǎn)角的出射光線計數(shù)，分析各個偏轉(zhuǎn)角處的光強.如圖3所示，在偏轉(zhuǎn)角42～43°能量最為集中，與費馬原理得出的結(jié)論相符.但是根據(jù)幾何光學和費馬原理無法定量計算出光強.為給出光強的具體數(shù)值，需要從波動光學入手，應用菲涅耳公式進行定量計算.

圖3 Matlab模擬入射光

2 彩虹角的波動光學解釋

在光學課程中，應用電磁場的邊界條件推導出菲涅耳公式，可以定量計算反射和折射光強.如圖4所示，應用菲涅耳公式計算出射光的振幅與入射角的關系.

圖4 主虹光路圖

1)E⊥于入射面

(2)

(3)

(4)

聯(lián)立式(1)～(3), 可得

(5)

2)E∥于入射面

(6)

(7)

(8)

聯(lián)立式(5)～(7), 可得

(9)

2.1 主虹的視場角——彩虹角

通過代入紅橙黃綠藍靛紫七種顏色的光在水中的折射率，并利用計算機進行定量計算，可以得到各種頻率的出射光s分量與p分量光強隨偏轉(zhuǎn)角的變化.

圖5 主虹出射光s分量光強隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

圖6 主虹出射光p 分量光強隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

將s分量和p分量相加即得總光強，出射光總光強隨偏轉(zhuǎn)角變化如圖7所示，由圖7可以看出光強幾乎都集中在最大偏轉(zhuǎn)角附近，無論是何種顏色的光，出射光的最大光強對應的偏轉(zhuǎn)角都在40～42°區(qū)間中.如表2所示，各個波段出射光的光強最大值所對應角度不同，隨著光波長的增加，最大光強所對應的偏轉(zhuǎn)角也會增加，且運用波動光學計算得到的彩虹角與幾何光學結(jié)果相同.

圖7 主虹出射光總光強隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

2.2 主虹顏色排列順序

依據(jù)表2將紅光與紫光的光路單獨畫出，得到圖8，可以看出白光經(jīng)過小水珠兩次折射一次反射形成了一個40～42°上紫下紅的彩色光錐.而人眼看到的彩虹顏色的順序卻是上下顛倒的，這是由于人眼的入瞳很小，可以近似將人眼看做一個點，每一個彩色光錐發(fā)出的光在人眼中成像需要滿足：入射光經(jīng)過水珠的偏轉(zhuǎn)角=人眼與水滴的連線和入射光的夾角.如圖9(a)所示，在任一平面內(nèi)，上方水珠出射的紅光進入人眼，下方水珠出射的紫光進入人眼，因此人眼所見彩虹的顏色由上至下為紅橙黃綠藍靛紫.如圖9(b)所示[5]，太陽光入射到彌漫了小水珠的環(huán)境中，對人眼而言就在視場角為40～42°的范圍內(nèi)看到彩虹.

表2 主虹各波段出射光的偏轉(zhuǎn)角和相對光強

圖8 白光經(jīng)過小水珠兩次折射一次反射

圖9 彩虹在人眼中成像的示意圖

人在地面上時，只有空中的小水珠折射光線，所以看到的都是半弧狀的彩虹.當人在飛機或高山上觀察時，人的水平線以下也有小水珠折射光線進入人眼，此時就可以看到完整的圓環(huán)狀彩虹了.如圖10所示[6].

圖10 高空中看到的圓環(huán)狀的彩虹

2.3 副虹

副虹也稱霓，位于主虹的外側(cè)，光路圖如圖11所示，其形成的原因和主虹相同，只是光線在水珠中的反射比形成主虹時多一次，同樣可以運用幾何光學和波動光學分析其原理與特征.副虹的幾何光學計算方法與主虹相同.利用電磁場邊界條件與菲涅耳公式，用計算機模擬得到各頻率的出射光s分量和p分量的光強隨偏轉(zhuǎn)角的變化，如圖12所示，兩者相加即出射光總光強隨偏轉(zhuǎn)角的變化，如圖14所示.

圖11 副虹光路圖

圖12 副虹出射光s分量光強隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

圖13 副虹出射光p分量光強隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

圖14 副虹出射光總光強隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

如表3所示，幾何光學與波動光學的計算所得的副虹彩虹角相同，通過對比主虹與副虹的偏轉(zhuǎn)角不難發(fā)現(xiàn)：主虹紫光的偏轉(zhuǎn)角最大，而副虹與之相反.故結(jié)合上文介紹的彩色環(huán)帶排序原理可知，副虹為內(nèi)紅外紫，與主虹排序相反.觀察圖10可以發(fā)現(xiàn)，此結(jié)論與生活實際觀察現(xiàn)象相符.

表3 主副虹各波段出射光的偏轉(zhuǎn)角和相對光強

2.4 彩虹各部分亮度分布

由上述計算結(jié)果可以看出主虹、副虹以及內(nèi)外側(cè)的光強分布是不均勻的，以黃色光為例，主虹最大光強為7.379 6，副虹的最大光強為1.948 5，僅為主虹的26.4%，所以副虹的亮度比主虹小得多.主虹內(nèi)側(cè)光強為4.477 6，副虹外側(cè)為1.977 0，比主虹內(nèi)側(cè)更暗.主虹和副虹之間光強為零，所以最暗，稱為Alexander 暗帶.

可以看出，副虹出射光在52°左右相對光強最大，是55～65°之間的光強的9～20倍.且副虹的最大光強僅為主虹最大光強的24.3～33.1%，所以副虹的亮度比主虹要小得多.

2.5 彩虹是偏振光

3 總結(jié)

本文闡述了幾何光學解釋彩虹角的過程，并為了對彩虹現(xiàn)象的原理與特征給予更加全面和準確的解釋，從波動光學出發(fā)，應用菲涅耳公式定量計算了出射光強與偏轉(zhuǎn)角的關系,得到了與幾何光學結(jié)果高度吻合的彩虹角，從而給出彩虹角更加直觀的理論解釋.同時運用出射光的光強結(jié)果定量地對比了主虹與副虹的光強大小，解釋了彩虹光的高度偏振現(xiàn)象.