利用手機傳感器測定剛體的慣性張量

樓晨煊，周婧琳，鄭雪瑤，劉珂溦，羅丹楠，白在橋

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

在研究轉動問題時，剛體的慣性張量是一個重要的參量. 在大學物理實驗中，慣性張量的測量一般只限于剛體繞某固定軸的轉動慣量. 對于質量分布情況未知的剛體，至少需要測量六個繞不同軸的轉動慣量才可以得到完整的慣性張量[1].

目前利用手機傳感器測定剛體某個方向上的轉動慣量已是比較成熟的物理實驗[2,3]. 事實上，手機陀螺儀傳感器可以同時記錄手機(作為一個剛體)3個方向的角速度變化曲線，可利用這個便利性研究剛體的三維轉動. 本文討論一種測量手機慣性張量(相對值)的測量方法. 這個方法只需要以不同初始角速度釋放手機，利用phyphox軟件記錄手機在空中下落并自由轉動過程中的角速度變化曲線，然后利用質心系中的轉動動能守恒與總角動量守恒，就可以計算出手機慣性張量各矩陣元的相對大小. 這個方法的一大優點是:由于轉動動能與總角動量都是標量，在數據處理中可以避開繁瑣的坐標變換計算.

1 實驗原理

1.1 簡化慣性張量

剛體的慣性張量通常表示為以下的3×3對陣矩陣，

(1)

因為手機幾何對稱性好，質量分布大致均勻，不妨先僅假設M的非對角元素為零，即

(2)

這里為方便起見，已將Ixx、Iyy,、Izz分別簡記為Ix、Iy、Iz.

在自由落體運動過程中，如果忽略空氣阻力，手機在質心系中滿足轉動動能守恒與總角動量守恒[4]. 設phyphox軟件在一次自由落體運動過程中記錄到的角速度矢量為

(3)

其中k=1, 2, 3, … ,N為數據點編號. 質心系中的轉動動能和總角動量的平方可以表示為

(4)

(5)

先考慮轉動動能守恒.可把極小化的目標函數定為

(6)

容易證明，當該目標函數取極小值時，

(7)

這樣目標函數可化簡為

(Ix,Iy,Iz)A(Ix,Iy,Iz)T

(8)

其中

(9)

(10)

a=x、y、z.類似地,總角動量平方守恒對應的目標函數為

(11)

(12)

(αe11+βe21)2e31+(αe12+βe22)2e32+

(αe13+βe23)2e33=0

(13)

pγ2+2qγ+w=0

(14)

其中

q=e11e21e31+e12e22e32+e13e23e33,

(15)

γ至多有兩個實數解. 此外，由于三個轉動慣量平方和為1,如果用到的3個特征向量已經歸一化,則要求α2+β2=1. 考慮到Ix、Iy、Iz>0,上面的方程組至多有兩個物理上合理的解，容易根據實際情況選擇正確的解. 需要指出的是：由于矩陣A的形式并不依賴于轉動動能與總角動量的大小,為了減小測量的隨機誤差,可以記錄多次落體運動,先計算每條軌道測量的A,然后把結果相加,用所得矩陣進行后續的計算.

1.2 完整慣性張量

如果考慮慣性張量的非對角元，k時刻手機的轉動動能和總角動量平方可以表示為

(16)

假設優化目標函數為

(17)

其中sE、sJ為權重系數,下面為簡單起見,取sE=2,sJ=1/2.

類似前面的推導，先對E和J2求極值，目標函數可以表示為

(18)

其中

(19)

(20)

除了對稱性MT=M，可要求M滿足Tr(M2)=1. 注意現在可以把不同軌道的數據合并,得到更全面的目標函數，即每條軌道的數據獨立計算出一個目標函數，再把所有結果相加.為簡單起見，下面的公式略去了對不同軌道的求和.目標函數的梯度可以表示為

(21)

為使得Tr(M2)=1, 梯度方向應修正為

(22)

2 實驗方法

2.1 坐標軸的確定

打開phyphox軟件,將手機分別繞長寬高轉動，監視陀螺儀角速度數據. 可以發現，當手機繞短邊轉動時，y軸有明顯的數據變化，另外兩個方向數據幾乎為0，因此判斷手機長邊的方向對應y軸. 類似地可確定x軸和z軸，結果如圖1所示.

圖1 phyphox與質心系坐標

2.2 角速度測量

打開phyphox軟件中的陀螺儀模塊，設置定時運行，0.5 s后開始測量. 運行后將手機從高處釋放，使其自由下落到柔軟的平面上. 為豐富測量數據,每次盡可能給手機一個不同的初始角速度. 最后截取出手機在空中自由轉動過程中的數據用于后面的分析.

2.3 阻尼修正

圖2 修正前后的能量，角動量平方隨時間變化圖

3 實驗結果

3.1 簡化的慣性張量

表1 慣量矩陣對角元素相對值

3.2 計算完整慣性張量

將記錄的18條角速度曲線進行阻尼修正，按照2.2中的方法，在Matlab中編寫程序進行計算.可以將上一步中計算得到的對角元作為初始值,以加快收斂.

18組數據得出的慣性張量結果為

為評估各個矩陣元的誤差大小，將這18組數據分為三組，分別利用相同方法求解出相對慣量矩陣，結果如下.

基于這3次結果,估計各個矩陣元的不確定度，結果為

3.3 結果驗證

為驗證結果的準確性，可以將手機近似認為質量均勻分布的長方體剛體，根據測量得到的長度參數，計算三個對角元的相對值. 手機的長寬高分別為155.3 mm，75.0 mm，7.5 mm，根據

計算得到

結果均和前文測量結果吻合較好.

在上述測量、計算方法過程中，將角動量的平方作為一個守恒量. 事實上，角動量本身也是一個守恒量，而歐拉動力學則描述了這個過程:

(23)

注意角加速度只與慣性矩陣的相對大小有關. 將測量的慣性矩陣代入歐拉動力學方程的三個分量式中，計算出角加速度曲線. 同時,對測得的角速度-時間曲線，取相鄰的5個點進行二次多項式擬合，求得中間點的斜率作為此時的角加速度,得到實測角加速度曲線. 圖3和圖4給出在兩條軌道上得到的兩種角加速度結果. 圖中‘×’表示實測的角加速度值，實線為由歐拉方程計算得到的角加速度. 可以看到，兩種方法計算得到的三個方向上的角加速度基本一致，這進一步驗證了本文方法所得慣性張量的可靠性.

圖3 角加速度-時間曲線1

圖4 角加速度-時間曲線2

4 總結

本文利用質心系中的轉動動能守恒和角動量守恒,從一條或多條剛體自由下落軌道的角速度曲線計算了剛體的慣性矩陣. 目前利用了手機陀螺儀和phyphox軟件測量了手機的慣性矩陣. 原則上,使用無線陀螺儀模塊,也可以對其它剛體進行測量. 這種方法利用較多的剛體轉動規律和數據處理方法,對剛體動力學和物理實驗教學都有一定的參考意義.