單軸晶體中非尋常光的折射關系式及其應用

邢 容，朱湘萍，韓 鑫

(湖南科技學院 理學院物理系，湖南 永州 425199)

眾所周知，當光入射到雙折射晶體時，會出現分別被稱作o光(尋常光)和e光(非尋常光)的兩種不同的折射光．其中的o光可由折射定律來確定它的傳播方向，而e光則一般并不滿足折射定律，確定它的傳播方向相對較難.

但是在一些應用場合中，掌握e光的傳播方向是有用甚至是必須的．例如，2018年，高波等人[1]指出，當KDP/DKDP晶體被用作頻率轉化元件時，因相位匹配的需要，必須確定e光的傳播方向．對于這種情況，若是事先掌握有e光光線的折射關系式，那么只需要代入參數計算就可得出結果了，無需通過實驗來獲取.

迄今為止，已有多篇文獻給出了e光光線的折射關系式[2-6]，只是這些關系式有的給出的是e光波矢的折射角[2]；有的給出的是e光光線與光軸的夾角[3，6]；有的表達式中含有與o光有關的角度[4]，較為繁瑣；還有的只是給出了e光光線折射角所滿足的四次方程[5]，難以應用．此外，以上這些關系式還有一個共同的不足，即都沒有給出相應的符號規則，這進一步增加了應用上的麻煩.

除了上述文獻之外，另有一些文獻避開了e光光線普遍性折射關系式的繁瑣推導，轉而就一些特殊的簡單情形進行討論，也得到了一些有價值的結論．2006年，何波[7,8]推出了e光光線折射角恰為90°時入射角所滿足的關系式，借之討論了入射角超過何值時e光不會出現．2008年，劉麗敏[9]就e光光線恰沿著晶體表面法向這一特殊情形，推出了入射角所滿足的關系式，然后討論了e光會發生負折射現象的條件．2012年，張小宇等人[10]借助惠更斯作圖法，推導了e光全反射和負折射現象的臨界條件．上述文獻實際上都只是得到了臨界情形下的折射關系式，雖足以討論臨界點處的情況，但是對偏離臨界點后會發生什么就無能為力了.

本文就光軸位于入射面內此一特殊情形，推得了入射光線自各向同性介質入射到單軸晶體時的e光光線折射關系式，以及e光自單軸晶體內出射到各向同性介質時的折射關系式，還給出了相應的符號規則．之后，本文還用得到的折射關系式對幾種特殊情況做了討論.

1 任意單軸晶體中e光的折射關系式及符號規則

設某晶體的光軸與其表面法線夾角為α．現有一束平面波以入射角i自各向同性介質入射于該晶體表面，晶體光軸恰位于其入射面內．取入射在O點處的一條光線考慮，其折射光中e光光線可利用惠更斯作圖法得到，結果如圖1所示.

圖1 惠更斯作圖法得到的e光光線

圖1中的ie就是e光光線的折射角．可以看到，圖中建立有兩套坐標系：坐標系x′Oy′ 的縱軸處于界面法向上，并指向各向同性介質一側；坐標系xOy的縱軸處于光軸方向上，并指向單軸晶體一側．圖中的橢圓曲線代表的是相應時刻下e光的射線面，其方程在xOy中可寫作

(1)

式中的no是o光折射率，ne是e光折射率，L則是光從子波源O點發射出來到圖中所繪時刻為止所走過的光程．容易知道，A點到O點的距離為

(2)

式中的n是各向同性介質的折射率．圖中的射線AB是橢圓曲線的切線，B點是切點．若設B點在xOy中的坐標為(xB,yB)，則利用以上條件不難推得

(3)

(4)

(5)

(6)

將式(3)和式(4)代入式(5)、式(6)中可得

(7)

(8)

在x′Oy′ 下，折射角ie滿足

(9)

將式(7)和式(8)代入到式(9)中可得

(10)

此式就是e光光線折射角ie所滿足的關系式．此式是在圖1所示的入射方向及光軸取向下得到的．對于其他情形，只需按照下面的規則令各角帶上相應的符號，那么式(10)依然能夠成立(以下的“左”“右”是沿著界面法線自單軸晶體看向各向同性介質時所看到的)：

1) 當光軸處于法線的右側時，α取為正值；否則，α取作負值；

2) 當各向同性介質中光線處于法線的左側時，i取為正值；否則，i取作負值；

3) 當單軸晶體中e光光線處于法線的右側時，ie取作正值；否則，ie取作負值.

在此符號規則之下，式(10)中的3個角α、i、ie的取值范圍皆為[-π/2,π/2]．結合該符號規則，式(10)可適用于任何光軸位于入射面內的情形，無論單軸晶體是正晶體還是負晶體，光線的入射方向如何，以及光軸的取向如何，都可以使用．此外，對式(10)稍作變形之后可得

(11)

利用此式即可計算出當e光自晶體內部出射到各向同性介質時的折射角．式中各角依然滿足前述符號規則.

為了驗證式(10)的正確性，我們基于惠更斯原理用幾何畫板繪制了一束光自各向同性介質入射到單軸晶體邊界面上時e光光線的光路圖．然后利用幾何畫板自帶的度量功能獲得了e光光線的折射角，發現與式(10)的計算結果完全一致.

2 e光光線折射角隨入射角的變化情況

對于滿足折射定律的o光，其折射角會隨著入射角的增加而增加，對于e光來說，它的折射角ie隨入射角i又是如何變化的呢？

在式(10)中令y=tanie,x=sini，則可有

計算y對x的一階導數可得

此式表明y′ > 0，因此y會隨著x的增加而增加．由此即可知，e光光線的折射角ie會隨著入射角i的增加而增加．需要注意的是，這里的ie和i都是在[-π/2，π/2]范圍上取值的．由前面給出的符號規則可知，當入射光與e光分處法線兩側時，ie和i要么同取負值要么同取正值．利用上述結論可知，此時與o光相似，若令入射光靠近法線，那么e光必然也同時向法線靠攏．但是，如下文中即將討論的情形，在一定條件下，入射光可以和e光處于法線的同側．此時，ie和i的取值必定有相反的符號，若令入射光靠近法線，e光反而會遠離法線，這與o光是不同的．若將光線對法線的靠近(或遠離)看作為是光線繞法線與界面的交點作相應方向的轉動，那么上述e光隨入射光變化的兩種情況又可以總結為一句話，即當入射光繞入射點轉動時，e光必隨之作相同方向的轉動．這樣一來，e光與o光在隨入射光變化這一點上是完全相似的，無論e光是否與入射光處于法線的異側.

3 e光的“負折射”現象

對于滿足折射定律的o光，它必定與入射光分列界面法線兩側，而e光卻并不會如此，它甚至有時會與入射光處于同側.

在式(11)中令e光折射角ie= 0可得

(12)

已知ie和i異號時入射光就會與e光處于界面法線同側，又知道ie會隨著i的增加而增加，再結合式(12)即可知，只要sini滿足下面的兩個條件之一，入射光必與e光處于界面法線同側

(13)

(14)

需要注意的是，對于給定的晶體，也只有上述兩式之一會成立．若某負(正)晶體中成立的是式(13)，那么必須有

這就要求該晶體的光軸只能位于法線的右側(左側).

4 垂直入射時ie的最大值及其成立條件

利用單軸晶體來產生線偏振光利用的就是晶體中o光與e光在傳播方向上的差異．因此，一般而言這種差異越大就越有利于產生較好的線偏振光.

若入射光垂直入射于晶體之上，那么o光就會沿界面法線方向傳播，而此時的e光光線卻是存在最大折射角的．在式(10)中令入射角i= 0可得

(15)

對此式兩邊取絕對值可得

容易看出，當

(16)

時，tan|ie|(即|ie|)有最大值．式(16)可化作

(17)

將之代入式(15)可得

(18)

即當光軸的方向滿足式(17)時，晶體內e光的偏折程度達到最大，其折射角由式(18)給出.

5 結論

本文就光軸位于入射面內這一特殊情形，推得了單軸晶體中e光的折射關系式，并給出了相應的符號規則．之后，利用該關系式討論了相關的幾個問題．結果發現，e光折射角ie會隨著入射角i的增加而增加．這在光路圖上表現為，若令入射光在入射面內繞入射點轉動，那么與此同時，e光就必定會隨之作相同方向的轉動．另外還發現，在一定條件下，e光會與入射光出現在界面法線的同側．此類條件存在兩種，任何給定單軸晶體都只能符合其中一種，不存在兩種條件都能符合者．最后，本文還推導了垂直入射時e光的最大偏折角及其得以實現的條件.