高職數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)計(jì)算常見(jiàn)錯(cuò)題分析

黃惠玲

（福建船政交通職業(yè)學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 福建福州 350007）

導(dǎo)數(shù)是高職數(shù)學(xué)中很重要的部分，它具有承上啟下的作用，對(duì)后面積分的學(xué)習(xí)具有很大的影響.筆者根據(jù)自己的實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)并加以分析[1]。

一、自創(chuàng)公式，亂用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則

例1 求y=x2sinx的導(dǎo)數(shù).

錯(cuò)解分析 該題解法錯(cuò)在(x2sinx)'=(x2)'(sinx)'這一步，這等式是不成立的，

是學(xué)生把導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算法則錯(cuò)記為[u(x)·v(x)]'=u'(x)v'(x)，這是學(xué)生自創(chuàng)的公式.實(shí)際上，正確的公式是[u(x)·v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

正確解法y'=(x2sinx)'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.

二、基本求導(dǎo)公式掌握不扎實(shí)，從而導(dǎo)致出錯(cuò)

基本求導(dǎo)公式表是基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，是學(xué)好導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ).萬(wàn)丈高樓平地起，如果基本求導(dǎo)公式掌握得不扎實(shí)，就會(huì)像沒(méi)有打好地基的高樓一樣容易坍塌[3]。

1.函數(shù)類型分辨不清導(dǎo)致出錯(cuò)

基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)y=ax與冪函數(shù)y=xa的表達(dá)式較為相似，學(xué)生常常會(huì)混淆這兩類函數(shù)，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤套用它們的求導(dǎo)公式。

例2 求y=3x的導(dǎo)數(shù).

錯(cuò)解 由公式(ax)'=xax-1可得：y'=(3x)'=x·3x-1.

錯(cuò)解分析 此解法錯(cuò)誤的原因是混淆指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)這兩類函數(shù)，導(dǎo)致用錯(cuò)基本求導(dǎo)公式.此題是指數(shù)函數(shù)，但是卻套用冪函數(shù)y=xa的求導(dǎo)公式.指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別就是自變量的位置，如果自變量在指數(shù)的位置，那就是指數(shù)函數(shù)，如果自變量在底數(shù)的位置，那就是冪函數(shù)。

正確解法 由公式(ax)'=axlna可知，y'=(3x)'=3xln3.

學(xué)生會(huì)記錯(cuò)求導(dǎo)基本公式，主要原因在于他們都是死記硬背，知其然而不知其所以然的記憶公式，而不是通過(guò)理解公式，再去記憶公式.教師在教學(xué)過(guò)程中可以對(duì)以上幾個(gè)學(xué)生常會(huì)出錯(cuò)的求導(dǎo)公式進(jìn)行推導(dǎo)，學(xué)生通過(guò)理解求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程，自然而然就會(huì)對(duì)公式牢記在心。

三、忽略復(fù)合函數(shù)的分解，隨心所欲自創(chuàng)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)計(jì)算的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，它與基本初等函數(shù)及簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)不同，須先把復(fù)合函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，然后再根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，學(xué)生常犯的錯(cuò)誤有以下兩種[4]。

1.簡(jiǎn)單地以為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與基本初等函數(shù)求導(dǎo)一樣，從而導(dǎo)致把中間變量當(dāng)成自變量進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)致求導(dǎo)不完整。

例4 求y=(5x+4)4的導(dǎo)數(shù).

錯(cuò)解y'=4(5x+4)3.

錯(cuò)解分析 此解法錯(cuò)誤的原因是把復(fù)合函數(shù)當(dāng)成基本初等函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，題目是要求yx'，而此解法是把中間變量u=5x+4當(dāng)成自變量求導(dǎo)，變成求yu'，漏掉了5x+4對(duì)x求導(dǎo)這一層，顯然是錯(cuò)誤的.

正確解法 函數(shù)可分解為y=u3，u=5x+4則

y'=yu'·ux'=4u3·(5x+4)'=4u3·5=20(5x+4)3

2.簡(jiǎn)單地認(rèn)為復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是內(nèi)外各層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的復(fù)合.在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，學(xué)生常常是把內(nèi)外各層函數(shù)都換成各自的導(dǎo)數(shù)作為最后的結(jié)果。

例5 求y=sinx3的導(dǎo)數(shù).

錯(cuò)解y'=cos3x2

錯(cuò)解分析 此解法錯(cuò)誤的原因是自創(chuàng)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法，想當(dāng)然的以為對(duì)各層函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)就是所求的結(jié)果.

正確解法 函數(shù)可分解為y=sinu,u=x3，由鏈?zhǔn)椒▌t可得

y'=yu'·ux'=cosu·(x3)'=cosu·3x2=3x2cosx3

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中常犯的錯(cuò)誤主要是以上兩種，教師在教學(xué)過(guò)程中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)要分解，重視復(fù)合函數(shù)的分解，并讓學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成先分解的習(xí)慣.同時(shí)可把求導(dǎo)步驟歸納為：一分，二導(dǎo)，三連乘，以便于學(xué)生牢記心中，提高解題的正確率.

四、隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)沒(méi)把含y的函數(shù)當(dāng)作復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)計(jì)算中最難、最容易出錯(cuò)的部分.在教學(xué)過(guò)程中我發(fā)覺(jué)學(xué)生大部分出錯(cuò)的地方是沒(méi)有把關(guān)于y的函數(shù)當(dāng)作是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，即y是中間變量進(jìn)行求導(dǎo)，從而導(dǎo)致出錯(cuò)[5]。

例6 求由y=x2y3=ex所確定的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)y'.

錯(cuò)解 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

y'+2xy3+3x2y2=ex

所以y'=ex-2xy3-3x2y2.

錯(cuò)解分析 此解法錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有y3把當(dāng)作是關(guān)于的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，而是把它當(dāng)作對(duì)y求導(dǎo)，不是對(duì)x求導(dǎo)，從而導(dǎo)致出錯(cuò).

正確解法 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

y'+2xy3+3x2y2y'=ex

在隱函數(shù)中，遇到對(duì)含有y的函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要把y的函數(shù)當(dāng)作關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，即先按基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)，再乘以y'。

總結(jié)學(xué)生在計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，其實(shí)只要學(xué)生真正理解基本求導(dǎo)公式的推導(dǎo)，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的分解及鏈?zhǔn)椒▌t，這些錯(cuò)誤就可以避免.在教學(xué)過(guò)程中，教師要注重讓學(xué)生參與求導(dǎo)公式的推導(dǎo)，只有讓學(xué)生體驗(yàn)求導(dǎo)公式的推導(dǎo)，才能避免學(xué)生盲目接受和被動(dòng)記憶這些公式，這樣就可以減少學(xué)生出錯(cuò)的概率.另外，在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可以對(duì)學(xué)生容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)采用“故意出錯(cuò)”的教學(xué)策略，來(lái)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，避免學(xué)生出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤。