光纖F-P腔干涉雙路信號解包裹相位恢復

趙 忖,劉徑舟

(1.東北石油大學秦皇島校區,河北 秦皇島 066004；2.大慶油田有限責任公司,黑龍江 大慶 163000)

1 引 言

光纖F-P(Fabry-Perot)干涉儀結構簡單,體積小,抗干擾性好,復用能力強,當待測目標與其端面距離發生變化時,對導致該變化的物理量靈敏度極高。使用一套光纖F-P干涉儀測量雙路正弦信號時,可基于主頻階次算法分別獲取待測信號的頻率和幅度[1]。為了全面恢復雙路正弦信號,還需要獲取其相位信息。由于F-P腔干涉信號呈三角函數特性,故需要對相位解包裹,以期恢復待測信號[2],對于雙外腔反饋混合干涉信號,分段閾值跳變點檢測算法解決了重建誤差累積問題,且使得閾值確定更為靈活[3],但上述方法主要用于適度反饋。強反饋時,條紋缺失將導致跳變點缺失,可通過增加補償丟失條紋的算法解決[4-5]。弱反饋時,則無法通過閾值確定得到跳變點。多次希爾伯特變換相位提取法給出了條紋之間的反向點求取方式[6],實現了弱反饋條件下信號重構。為此,在弱反饋環境中,對光纖F-P腔干涉雙正弦信號進行多次解包絡分離,基于多次希爾伯特變換解包裹相位,利用新的跳變點檢測算法恢復待測信號,并進行誤差分析。

2 光纖F-P腔干涉信號的相位特性

光纖F-P腔干涉測量微振動原理如圖1所示。F-P內腔由兩個鏡面R1和R2構成,長度為LD。F-P外腔由R2與待測目標M構成,長度為L,隨著待測目標正弦振動,其位移為ΔL。光波從R1鏡發出,光電探測器PD接收F-P腔干涉信號。

圖1 F-P腔干涉測量原理Fig.1 Principle of F-P cavity interferometry for micro-vibration measurement

設波源為:

E(t)=E0exp[i(ωt+φ)]

(1)

式中,E(t)為光波強度;E0為光強初始值;ω為光波初始角頻率;φ為光波初始相位。分析光波傳播過程,可推出F-P腔干涉信號頻率、功率、相位特性[1]。頻率方程為:

ω0τD=ωτD+Csin(ωτ-arctan(α))

(2)

0式中,ω0、ω分別為系統無反饋和有反饋時的角頻率;τD、τ分別為光波在內、外腔往返一次所需要的時間;C為光反饋因子;α為線形展寬因子。相位方程為:

φF=φ0-C×sin(φF+arctanα)

(3)

式中,φF、φ0分別為有、無反饋時的相位。相應功率方程為:

PF=P0[1+mcos(φF)]

(4)

式中,m為干涉條紋可見度。將相位方程代入功率方程,得:

PF=P0[1+mcos(φ0-C×sin[φ0-C×sin(φ0…+arctanα)+arctanα])]

(5)

令:

PNor=cos(φ0-C×sin[φ0-C×sin(φ0…

+arctanα)+arctanα])]

(6)

為歸一化功率,則:

PNor=(φ0±2ξπ),ξ=0,±1,±2…

(7)

由上式可知,光纖F-P腔干涉信號的光強隨著相位的變化以2π為周期變化。相位φ0的變換量為:

Δφ0(t)=ω0Δτext

(8)

式中,Δτext=2ΔL(t)/c為光波傳送時間變化量,將其與ω0=2πc/λ0代入式(8),得:

(9)

可見,待測目標變化量ΔL(t)為±λ0/2時,相位Δφ0(t)的變化為±2π。即待測目標每發生半個波長移動時,產生一個干涉條紋。

3 光纖F-P腔干涉雙路正弦信號

雙路正弦信號反饋光纖F-P腔干涉測量原理如圖2所示。激光器發出的光波被分光鏡分成兩部分,分別傳送到兩個待測目標別M1和M2。設定目標1的峰峰值2 μm、頻率60 Hz；目標2峰峰值4 μm、頻率為0.5 Hz。選取λ0=1550 nm,C=0.5,α=4.6。

圖2 光纖F-P干涉兩路微振動測量原理Fig.2 Principle of micro-vibration measurement offiber F-P interferometry

在弱反饋環境中,為了降低環境高頻噪聲的影響,采用巴特沃斯低通濾波器對光纖F-P腔干涉信號進行預處理。巴特沃斯濾波器幅度平方特性為:

(10)

式中:ω為信號頻率;ωc為截止頻率;N為濾波器階數。根據待測信號特性,選取截止頻率為1500 Hz,計算出其階數N=4。為此得到預處理后的信號如圖3所示,小窗口為局部放大圖。

圖3 光纖F-P腔干涉信號預處理后波形Fig.3 Waveforms after preprocessing ofinterference signal in fiber F-P cavity

對圖3可利用其上下包絡進行分解,流程如圖4所示[7],首次分離出的信號如圖5所示,其中b為上包絡信號,c為下包絡信號,a為一路新的低頻信號。再次分離后得到一路新的高頻信號如圖6所示。至此,已將F-P腔信號分解為頻率不同的兩路信號。

圖4 雙路反饋光纖F-P腔干涉信號分離流程Fig.4 Decomposition process of interferencesignal in two feedback fiber F-P cavity

圖5 雙路反饋光纖F-P腔干涉信號的分離Fig.5 Separation of interference signals indouble feedback fiber F-P cavity

圖6 分離出的較高頻率的一路信號Fig.6 The separated signal of higher frequency

4 雙路正弦信號的解包裹相位恢復

多次希爾伯特變換相位提取法流程如圖7所示[6],據此可得到反正切函數arctan(φF(t)),其將相位φF(t)包裹在-π到π之間。再經過反正切解包裹,結合F-P腔干涉有關方程,即可恢復出原始信號如圖8所示。左、右圖分別為光纖F-P腔干涉信號分離出的兩路不同頻率信號,圖8(a)中實線系對干涉信號多次取包絡所得,虛線為多次希爾伯特變換相位提取法所得。圖8(b)中虛線為原始信號,實線對應相位解包裹恢復出的信號。圖8(c)所示為誤差。由圖8可知,對峰峰值為2 μm、頻率為60 Hz的待測目標,其恢復的最大誤差為0.134 μm；對峰峰值為4 μm、頻率為0.5 Hz的待測目標,其恢復的最大誤差為0.195 μm。

圖7 多次希爾伯特變換相位提取法流程Fig.7 Block diagram of the multiple Hilbert transform algorithm

圖8 多次希爾伯特變換相位提取法恢復信號Fig.4 Signal recovery by multiple Hilbert transform phase extraction

跳變點檢測也是相位解包裹的重要途徑之一。前已述及,混合干涉信號條紋與波長有關,而條紋數量即跳變點數量。弱反饋環境下(C<1),難以通過確定閾值得到跳變點,且從信號波形上不易判定條紋傾斜方向。為此首先對光纖F-P腔干涉分離后的信號進行求導,然后對求導的信號做歸一化處理,之后選取上閾值略小于上條紋中最低條紋的最高點,選取下閾值略大于下條紋中最高條紋的最低點。將閾值內信號歸零,閾值外的所有點置1或負1。為了確定門限函數方向,對求導信號取上包絡和下包絡,再取中間值。

待測目標做正弦振動時,每變換一次振動方向,條紋方向就反轉一次。反轉點均在中間值的過零點上,對應位置如圖9中箭頭所示。圖9(b)4線為符號函數,其正負與待測目標運動方向有關。

圖9 識別方波圖(a)固定閾值方波(①線)與微分信號中間值(②線)(b)求得的識別方波(③線)與中間值確定的門限函數(④線)Fig.9 Identification square wave diagram(a)square wave withfixed threshold value(line ①)and differential signal intermediatevalue(line ②)(b)obtained from identification square wave(line ③)and threshold function(line ④)determined by intermediate value

為了更清晰的觀察符號函數與待測目標移動的關系,將幅度放大后,得到跳變點與待測目標移動關系如圖10(a)所示。符號函數為負值時,待測目標向遠離PD的方向移動；為正值時,向靠近PD的方向移動。正方波的極大值與負方波的極小值構成跳變點,將正值跳變點置1,負值跳變點置負1,得到跳變點如圖10(b)中圓圈所示。在給定區間獲取離散數據,通過計算方程組矩陣,得到每段的樣條插值函數,進而獲得在相應區間的三次樣條插值函數,從而恢復出信號如圖10(b)中a曲線所示。

圖10 跳變點及信號重構(a)信號跳變點(b)重構信號(a線)與對應跳變點及其連接折線(b線)Fig.10 Jump point and signal reconstruction(a)signal jump point(b)reconstructed signal(line a)and corresponding jump pointand its connecting broken line(line b)

基于新的跳變點檢測方法,將從光纖F-P腔干涉信號多次去包絡恢復出的兩路微振動信號與原始信號對比如圖11和圖12所示,圖11是分解后相對較高頻率信號與原信號比較,圖12則為相對較低頻率信號與原信號比較。結果表明,對于峰峰值2 μm、頻率60 Hz的一路微振動信號,最大誤差為0.095 μm；對于峰峰值4 μm、頻率0.5 Hz的另一路微振動正弦信號,最大誤差為0.145 μm。

圖11 分解后相對較高頻率信號與原信號比較Fig.11 The relatively high frequency decomposedsignal is compared with the original signal

圖12 分解后相對較低頻率信號與原信號比較Fig.12 The relatively low frequency decomposedsignal is compared with the original signal

5 結 論

(1)雙路正弦信號反饋到光纖F-P腔干涉后,通過解包裹相位,可較全面的將其恢復。

(2)通過多次希爾伯特變換相位提取法恢復雙路正弦信號,最大誤差分別為0.134 μm和0.195 μm。利用新的跳變點檢測算法恢復兩路微振動信號,最大誤差分別為0.095 μm和0.145 μm,誤差較前者更小。