二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性計(jì)算和可視化

王培穎，卓海珊，黃思敏

（廣州理工學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院，廣東 廣州 510540）

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，二元函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)重點(diǎn)，難點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB的計(jì)算和圖形功能，可以幫助我們深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性的概念[1-3]。

1 問(wèn)題和解答及其圖示

[問(wèn)題]

[解答]

利用MATLAB可以畫(huà)出二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f′x(x,y)和f′y(x,y)的曲面[5]。如圖1和圖2所示。在二元函數(shù)f′x(x,y)曲面上，點(diǎn)(0,0)處是一條縫，沒(méi)有固定函數(shù)值，說(shuō)明f′x(0,0)不存在。在二元函數(shù)f′y(x,y)曲面上，f′y(0,0)存在且為0。

圖1 二元函數(shù)z=(x2+y4)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)曲面

圖2 二元函數(shù)z=(x2+y4)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)曲面

2 問(wèn)題的推廣和圖示

圖3 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)沿y=kx趨于(0,0)時(shí)的極限

圖4 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)沿y=kx趨于(0,0)時(shí)的極限

圖5 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)沿x=ky2趨于(0,0)時(shí)的極限

圖6 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)沿x=ky2趨于(0,0)時(shí)的極限

圖7 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2的曲面

圖8 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2在Oxz平面上的投影

圖9 二元函數(shù)z=(x2+y4)1/2在Oyz平面上的投影

3 結(jié)論

一個(gè)問(wèn)題的解決可能比較簡(jiǎn)單，將問(wèn)題推廣，就能提出新的問(wèn)題，進(jìn)而解決系列問(wèn)題。在研究多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性時(shí)，手工演算是必不可少的。應(yīng)用MATLAB計(jì)算和繪圖，可以檢驗(yàn)手工計(jì)算結(jié)果的正確性。這種方法也可以應(yīng)用于判斷二元函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性。

MATLAB功能強(qiáng)大，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著重要應(yīng)用。建議大學(xué)第一學(xué)期就開(kāi)設(shè)有關(guān)的課程，為學(xué)生學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的學(xué)習(xí)工具，提高學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。