V型電熱驅動器理論模型及動態特性

陳 浩, 王新杰, 王 炅, 席占穩, 聶偉榮

(南京理工大學 機械工程學院， 南京 210094)

與靜電、壓電和電磁等驅動器相比，電熱驅動器由于具有輸出位移、力大、工藝兼容性好等優點[1-3]，一直是微驅動研究的熱點之一.電熱驅動器的驅動原理為驅動器通電，由焦耳熱效應產生熱，然后由熱膨脹變形最終產生運動位移.目前，電熱驅動器主要分為U型和V型驅動器.相較于U型驅動器，V型電熱驅動器的輸出力更穩定.因此，構建V型電熱驅動器多物理場耦合模型有助于優化設計，進而提高其使用性能.

目前，關于V型電熱驅動器的諸多理論研究均采用以下方法，即只考慮單向耦合作用，依次分別建立電-熱和熱-力耦合子模型，并根據電-熱模型得到的溫度結果計算驅動器的膨脹變形，將其代入熱-力模型最終得到驅動器位移.針對電-熱耦合子模型，文獻[4]基于能量守恒原理，構建V型電熱驅動器的瞬態電熱偏微分方程，并借助有限差分法進行求解.文獻[5]分別考慮真空和空氣情況下的熱損失效應，建立了V型電熱驅動器一維和瞬態模型.采用分離變量法分離出模型中的時間項，獲得穩態模型.通過Fourier級數結合加權余量法對穩態模型求解，最終得到含時間指數項和含空間三角函數項的瞬態溫度解.文獻[6]將V型電熱驅動器簡化成3個集成單元，根據等效電流法建立驅動器瞬態電-熱模型，最終獲得各個單元的平均溫度.在熱-力耦合子模型方面，文獻[7]根據V型電熱驅動器的對稱性和Castigliano定理建立熱力耦合模型.文獻[8]基于虛功原理將V型電熱驅動器一側的約束用力和力矩代替，建立了驅動器熱-力模型，并用有限元(FEM)仿真進行驗證.文獻[7]認為V型電熱驅動器的應變是由于受熱和力作用導致的，然后基于Euler-Bernoulli梁理論得到V型電熱驅動器熱-力耦合方程.通過對方程進行單元離散，并假設每個單元解的形式為Hermitian形函數，使用Galerkin法求得驅動器位移.文獻[9]假設V型電熱驅動器中存在自由熱膨脹變形，即不考慮熱變形伸長而產生的反力作用，根據超靜定原理和Pythagoras定理獲得驅動器的穩態位移.而在V型電熱驅動器的動態特性方面，目前主要研究其在恒定加載電壓下，位移隨時間的變化關系.這遠遠無法滿足電熱驅動器在精密快速定位[10-11]、微夾鉗[12-13]等一系列應用中的需求.

本文首先提出一種正弦變換結合隱式差分的方法，用于求解V型電熱驅動器瞬態電-熱模型中的偏微分方程.同時，基于受迫振動理論建立V型電熱驅動器熱-力模型，計算獲得V型電熱驅動器的位移.然后，對驅動器理論模型的計算進行收斂性分析，獲得最大計算收斂步長.接著，使用有限元仿真對V型電熱驅動器的瞬態、穩態溫度和位移進行驗證，同時通過實驗驗證V型電熱驅動器理論模型下的位移.最后，研究V型電熱驅動器在變電壓下的動態響應特性.本文研究可為V型電熱驅動器的優化設計及控制研究提供理論依據.

1 電熱耦合模型

1.1 能量守恒方程

V型電熱驅動器的長度遠大于其寬度和厚度，V型電熱驅動器可以被簡化成一維模型，如圖1所示.其中：L為驅動器的長度；b為驅動器寬度；d為驅動器厚度；θ0為驅動器彎曲角度；g為驅動器與基底間的距離；x為微元的位置；dx為微元的長度；T(x,t)為驅動器上關于位置x和時間t的溫度函數.

圖1 V型電熱驅動器結構Fig.1 Structure of V-shaped electrothermal actuator

取驅動器上一微元dx進行傳熱分析，以熱傳導的方式流入微元熱量Qin、流出微元熱量Qout，可以表示為

(1)

(2)

式中：κ為硅的熱傳導率；T為溫度函數T(x,t)的簡寫形式.

微元熱對流Qco以及與基地間的熱損失Qlo分別為

Qco=kv(T-T0)(b+2d)Δx

(3)

Qlo=ks(T-T0)bΔx

(4)

式中：T0為室溫；kv為驅動器表面與空氣的熱對流系數；ks為驅動器表面和基底之間的形狀熱損失系數，由文獻[14], 這里ks取為 6 000 W/(m2·K).微元焦耳熱可以表示為

Qg=J2ρbdΔx

(5)

式中：J為電流密度；ρ為摻雜硅的電阻率.綜合式(1)～(4)并根據能量守恒原理可以得到,電熱驅動器的瞬態偏微分方程如下所示:

(6)

式中：c為硅的比熱容；ρd為硅密度.由于驅動器兩側與錨點連接，所以其邊界條件和初始條件分別為

(7)

T(x,0)=T0

(8)

1.2 穩態分析

通過整理式(6)并簡化得到驅動器的穩態傳熱微分方程如下所示：

(9)

式中：Ta為絕對溫度.正弦變換可用于求解滿足邊界條件為0的微分方程[15-16]，離散型正弦變換的正、反變換公式分別表示為[15]

(10)

n=1,2,…,N

(11)

i=1,2,…,I

首先，對式(9)進行差分離散，可以得到：

(12)

式中：Δh為空間步長.這里令正弦變換中I=N，根據式(11)，Ta,i可表示為

(13)

進一步，Ta,i+1+Ta,i-1可變換為

Ta,i+1+Ta,i-1=

(14)

將式(13)和(14)代入式(12)，整理得到：

(15)

kv(b+2d)/(bd)+ks/d}

(16)

1.3 瞬態分析

根據式(6)，簡化得到驅動器的瞬態方程為

(17)

對該方程進行差分離散，其中，時域采用隱式差分形式，可以得到：

(18)

式中：Δt為時間步長；s為時間步序號.類似地，式(18)可以變換為

(19)

kv(b+2d)/(bd)+ks/d

(20)

1.4 收斂性分析

根據前文所述方法，V型電熱驅動器的溫度分布可看作是一系列正弦波疊加的結果.V型電熱驅動器上離散點越多，所疊加的正弦波個數也就越多，得到的結果也就越接近于真實解，但同時也會導致求解時間的急劇增加.因此，合理的步長既能保證求解精度，也能提高計算效率.所用V型電熱驅動器的材料為硅，其尺寸和材料參數分別如表1和2所示.其中：α為熱膨脹系數；E為彈性模量；μ為泊松比.為進行收斂性分析，首先選取通過251個離散點計算得到的V型電熱驅動器穩態溫度作為參考溫度，分別通過11、21、31、51個離散點計算得到的驅動器穩態溫度與參考溫度的差值如圖2所示，其中：e為溫度誤差.從圖2中可以看出， 隨著離散點數的減小，溫度誤差越來越大，最大的溫度誤差約為8 K.在驅動器上，溫度誤差總體呈現由中心往兩側遞減的趨勢.51個離散點的溫度誤差十分微小，可忽略不計.因此，當離散點數不少于51個時，驅動器溫度計算結果即可認為收斂.綜合考慮計算精度和時間成本，選擇251個離散點用于V型電熱驅動器的溫度分布計算.

表1 V型電熱驅動器尺寸參數

表2 硅的材料參數Tab.2 Material parameters of silicon

圖2 不同離散點數的V型電熱驅動器溫度計算誤差Fig.2 Temperature calculation errors of V-shaped electrothermal actuator at different discrete points

2 熱力耦合模型

由于V型電熱驅動器的長度遠大于其寬度和厚度，所以可將驅動器視為簡支梁.將其中心處的位置變化作為其位移，即驅動器上的最大位移.由于該位移相對較小，可將其等效成離散振動系統.在此基礎上，為進一步簡化模型，忽略振動系統中的阻尼集中參數元件.該模型的詳細推導可以參考文獻[17],此處不再贅述.V型電熱驅動器的受迫振動方程[18]如下所示：

(21)

(22)

式中：Δlt為當前時刻熱膨脹變形，可根據文獻[17]計算得到；A為驅動器的橫截面積；θ(t)為當前時刻t的V型電熱驅動器彎曲角度.

3 模型驗證

由正弦變換計算得到的16 V電壓下，驅動器在0～200 ms內的瞬態溫度云圖如圖3所示.在驅動器上共選取251個離散點用于溫度分布計算.從圖3中可以看出，初始時刻V型電熱驅動器上的溫度變化較快.V型電熱驅動器中間位置溫升較快，兩端溫度變化緩慢，這是由于中心處的熱損失較于兩側邊界相對較小.

不同時刻驅動器上的溫度分布曲線如圖4所示.從圖4中可以明顯看出，隨著時間的增加，驅動器上不同點處的溫度差異有所增大；V型電熱驅動器在t=50 ms時的溫度分布即趨近于穩態下的溫度分布，這與瞬時溫度云圖中驅動器溫度分布(見圖3)在t=50 ms之后幾乎沒有變化的現象一致.

圖3 16 V電壓下V型電熱驅動器的瞬態溫度分布Fig.3 Transient temperature distributions of V-shaped electrothermal actuator at 16 V

圖4 16 V電壓下不同時刻的V型電熱驅動器的溫度分布Fig.4 Temperature distributions of V-shaped electrothermal actuator at different times and 16 V

3.1 仿真驗證

在有限元軟件中，建立V型電熱驅動器的三維模型，如圖5所示.首先，選擇Solid226電-熱-力耦合單元對驅動器的幾何模型進行網格劃分.其次，在錨點處分別加載恒溫和電壓條件.接著，對驅動器各個面分別施加熱對流條件，底面的對流系數為ks，其他面的對流系數為kv.最后，設置熱、力及變形收斂容差，并進行求解和后處理.

圖5 V型電熱驅動器有限元模型Fig.5 FEM model of V-shaped electrothermal actuator

16 V電壓下，理論、仿真模型獲得的不同時刻驅動器的溫度分布如圖6所示.由圖6可知，總體上，理論模型的溫度計算結果與仿真結果幾乎一致.但在初始時刻，理論模型的計算溫度稍大于仿真溫度；隨著時間的增加，兩者的溫度差異越來越小.這主要是由于理論模型中對時域的離散采用隱式差分法，該方法的精度只有1階；而在有限元軟件中一般使用Runge-Kutta法處理時域，該方法精度很高.同時，理論計算采用的是一維簡化模型，而仿真中建立的V型驅動器模型更為完整.16 V電壓下，理論與仿真模型的瞬態溫度差值云圖如圖7所示.由圖7可知，最大溫度差發生在初始時刻，約為35 K，且初始時刻溫差較大， 這進一步驗證了圖6中溫差隨著時間的增加而減小的結論.V型電熱驅動器兩端的溫差較大，這是由于驅動器兩端的溫度梯度大于中間的溫度梯度，而理論模型中的離散點數小于有限元模型造成的，理論計算的溫度結果誤差較大.

圖6 16 V電壓下不同時刻的V型電熱驅動器理論和仿真溫度分布對比Fig.6 Theory and simulation temperature distribution differences of V-shaped electrothermal actuator at different times and 16 V

圖7 16 V電壓下V型電熱驅動器的理論和仿真瞬態溫度差值分布Fig.7 Theory and simulation transient temperature distribution differences of V-shaped electrothermal actuator at 16 V

不同加載電壓下，通過理論和仿真模型計算得到的V型電熱驅動器的穩態溫度分布如圖8所示，其中：U為電壓.由圖8可知，驅動器穩態下的溫度計算結果與仿真結果完全一致；隨著電壓的升高，驅動器的最高溫度急劇增加.V型電熱驅動器在14 V和16 V電壓下的瞬態理論和仿真位移如圖9所示.其中：y為瞬態位移.從圖9中可以看出，理論和仿真位移較為接近.由于在初始時刻的理論溫度大于仿真溫度，導致理論計算位移在初始時刻也同樣大于仿真位移.

圖8 不同電壓下V型電熱驅動器的理論和仿真穩態溫度分布Fig.8 Theory and simulation static temperature distributions of V-shaped electrothermal actuator at different voltages

圖9 14 V和16 V電壓下V型電熱驅動器的瞬態位移Fig.9 Transient displacements of V-shaped electrothermal actuator at 14 V and 16 V

3.2 實驗驗證

V型電熱驅動器的加工采用反應離子干法深刻蝕工藝[19-20]，主要包含刻蝕、鍵合、濺射等步驟.經劃片、封裝和引線后，最終如圖10所示.

圖10 封裝芯片結構Fig.10 Structure of packaged chip

驅動器位移測量實驗裝置如圖11所示.通過實驗裝置，獲取不同加載電壓下的驅動器穩態時的圖像.首先，對圖像進行灰度化處理，接著對圖像中驅動器的中心區域使用邊緣檢測算法[21]，獲得驅動器中心區域的輪廓特征,如圖12所示.從圖12中可以明顯看出，0 V電壓下驅動器中心到邊框左側框線的距離g0遠大于16 V電壓的距離g1.根據驅動器中心與邊框左側框線的相對位置變化，可得到不同電壓下V型電熱驅動器的位移，如圖13所示.其中.經過對標尺(邊框)的計算，圖像中一個像素代表3.9 μm, 因此實驗測量位移存在上下3.9 μm 的偏差.從圖13中可以看出，不同電壓下，驅動器理論、仿真和實驗的穩態位移總體保持一致，理論和仿真位移結果在合理的實驗測量誤差范圍之內.

圖11 V型電熱驅動器位移測量實驗裝置Fig.11 Experimental setup for measuring displacement of V-shaped electrothermal actuator

圖12 0和16 V電壓下V型電熱驅動器圖像的中心區域輪廓特征Fig.12 Contour feature pictures in the middle of V-shaped electrothermal actuator at 0 V and 16 V

圖13 不同電壓下V型電熱驅動器的理論、仿真和實驗穩態位移Fig.13 Theory, simulation, and experiment steady state displacements of V-shaped electrothermal actuator at different voltages

4 動態特性分析

由圖13可知，V型電熱驅動器的加載電壓直接決定了其位移的大小.通過不斷改變電壓值即能夠實現對驅動器運動的有效控制.因此，基于上述方法所建立的多物理場耦合模型，分析驅動器在變電壓下的動態特性可為驅動器制定合理的位移控制策略提供理論支撐.這里選取兩種典型電壓信號(階躍和正弦偏置電壓)，分別研究V型電熱驅動器在其作用下的溫度和位移響應特性.

在階躍電壓下，V型電熱驅動器的中心溫度和位移隨時間的變化曲線如圖14所示.從圖14中可以看出，驅動器的溫度和位移均在50 ms時達到最大值;當結束電壓加載后，驅動器中心處的瞬態溫度和位移急劇下降，隨著時間的不斷增加，溫度和位移的變化逐漸平緩.

圖14 階躍電壓下V型電熱驅動器中心溫度的瞬態溫度和位移Fig.14 Transient temperature and displacement in the middle of V-shaped electrothermal actuator at step voltage

不同正弦偏置電壓下，電熱驅動器的瞬態溫度和位移如圖15所示.由圖15可知，當正弦電壓作用時間大于5個周期，即50 ms后，驅動器中心處的溫度與位移也呈現正弦波形變化.此時，驅動器中心處的溫度與位移的平均值均等于驅動器在等效直流電壓作用下的穩態溫度和位移.正弦電壓幅值越大，驅動器中心處的溫度與位移的變化幅度也就越大.因此，在周期性加載電壓作用下，電熱驅動器中心處的溫度呈現周期性變化，電熱驅動器的位移變化最終也近似周期運動，且運動變化周期與電壓變化周期相同.

圖15 不同正弦偏置電壓下V型電熱驅動器中心處的瞬態溫度與位移Fig.15 Transient temperature and displacement in the middle of V-shaped electrothermal actuator at different sine bias voltages

5 結論

(1) 本文建立了V型電熱驅動器多物理場耦合模型，使用正弦型變換結合隱式差分法求解驅動器電-熱耦合偏微分方程；經過穩定性測試發現, 該方法在求解時具有良好的收斂性；基于振動理論建立熱-力耦合模型.

(2) 基于電-熱模型得到的不同電壓下的驅動器瞬態和穩態溫度分布與有限元仿真結果幾乎一致；而基于熱-力模型得到的不同電壓下的驅動器穩態位移與實驗、仿真結果也幾乎一致.

(3) 在周期性電壓下，V型電熱驅動器最終也呈現周期性運動，且兩者周期相等.