量子近似優化算法在我國股票市場的應用研究

吳永飛 紀瑞樸 王彥博 馬寅

2020年10月16日，習近平總書記在主持中共中央政治局第24次集體學習時強調：“要充分認識推動量子科技發展的重要性和緊迫性，加強量子科技發展戰略謀劃和系統布局，把握大趨勢，下好先手棋。”隨著量子科技時代的來臨，量子計算機、量子加密通信、量子算法、量子算料與存儲、量子金融市場等諸多領域取得蓬勃發展。其中，量子計算機作為顛覆性挑戰經典計算機的新時代算力基礎，近年來在全球范圍內已取得了一系列突破性進展;然而，真正能為量子計算賦予靈魂的量子算法研究仍是等待開發的一片藍海。本文聚焦量子算法在我國金融市場上的創新應用，以期助力量子金融科技時代的加速到來。

量子算法概述

早在20世紀90年代，量子算法的發展就已逐步興起。1994年，美國麻省理工學院貝爾實驗室彼得·舒爾（Peter Shor）提出了大整數質因子分解的Shor算法，理論上可以在100秒之內破解一個2048比特強度的RSA密鑰，而使用經典計算機則可能需要10億年;兩年后，貝爾實驗室的格羅弗（Lov K. Grover）提出了Grover搜索算法，可以在大約2128次迭代內窮舉破解一個256比特的密鑰，較經典計算機有了平方級別的加速。而后，量子算法研究逐步發展，各研究方向不斷涌現出相關成果。

在量子神經網絡算法方面。1995年，卡克（Subhash C. Kak）提出了量子神經計算的概念;2000年，松井（Nobuyuki Matsui）研究了量子門電路神經網絡;2006年，周日貴研究了量子感知機。

在量子金融算法方面。2004年，陳澤謙從薛定諤方程等量子力學連續方程的角度對經典Black-Scholes-Merton方程進行量化，開啟了量子力學算法與金融領域結合的篇章;2020年，在量子科技的基礎上，吳永飛等人提出了量子金融科技的概念和量子科技應用于金融領域的“6M”框架，重點強調量子技術應聚焦于量子算法、算料、算力，為將量子科技批量引入金融科技領域提出可行的框架方法論。

在量子近似優化算法方面。2014年，量子近似優化算法（Quantum Approximate Optimization Algorithm，QAOA）由Edward Farhi等人提出。QAOA算法是一種經典計算與量子計算的混合算法，可用于解決組合優化問題、最大分割問題等難題。該算法在解決某些NP-hard問題時有明顯的加速效果，可以在多項式復雜度下給出問題的近似解。QAOA算法的核心思想是通過量子絕熱優化算法從初始哈密頓量的基態，逐步迭代演化至目標問題的哈密頓量的基態;在此過程中需要逐步優化量子絕熱算法的參數，參數的優化過程主要是在經典計算上完成，絕熱演化過程是在量子計算上完成。原則上，QAOA算法需要在通用量子計算機上完成運算，即要求量子計算機能實現圖靈完備的量子門操作;然而，受限于通用量子計算機的物理實現，目前停留在幾十個量子比特的規模，近年來有一些其他架構的量子計算方案，例如相干依辛機（Coherent Ising Machine），專門針對組合優化問題有更強的加速效果，同時實驗上規模能提升到上萬量子比特。

以QAOA適用的最大分割問題經典場景為例：假設有A、B、C、D四個主體需進行分割，其相互之間存在的關聯性緊密度用權重表示，如圖1所示。

現需將四個主體分配到兩個組合中，目的是使得每個組合內相關性最小且組合間相關性最大（即組合內權重和最小，組合間權重和最大）。以圖1為例，若將AC置于一個組合中、BD置于另一個組合中，由于AC和BD的權重為零，所以在此分配下，組合內的權重之和均為零，組合間的權重之和為4，此時為最大分割問題的一個解。

在使用QAOA算法求解時，根據QAOA的原理，如果可以得到目標問題的哈密頓量，其對應的基態就是目標問題的解。因此，可以通過絕熱演化算法從初始哈密頓量逐漸變化得到目標問題哈密頓量。根據最大分割問題，不難得到目標問題哈密頓量Hc 和Hb初始狀態哈密頓量如下：

為使初始狀態Hb轉化為目標Hc狀態，需使用如下U矩陣進行絕熱演化。其中，m表示次數，β、γ為待優化參數。

基于前述推演，相應量子線路見圖2。

圖2中四個量子比特表分別代表A、B、C、D四個主體;使用四個Hadamard門來構造最初問題哈密頓量;電路中的Rz、Rx和受控門的組合構成了絕熱演化過程，使得哈密頓量從初態逐漸演化至目標態;Rz門和Rx門中的參數為待優化參數β、γ;通過測量門可以得到目標哈密頓量的基態，此問題對應的基態為|0101>或|1010>（即將AC放置于一個組合，BD放置于另一個組合）。

量子近似優化算法在股票市場的應用實證

鑒于金融市場中存在著大量的資產組合配置、投資組合構建等優化問題，QAOA算法在金融市場表現出巨大的應用潛力。以基于QAOA算法的股票組合優化為例：擬從N只股票中選擇M 只股票，將所選出的股票進行等權重組合，構建為權益類資產策略。組合的風險可以用期望收益率的波動率來衡量。其中，期望收益可通過各只股票的收盤價進行計算;波動可以通過所選股票之間收盤價的協方差矩陣進行計算。因此，借鑒QAOA算法解決最大分割問題的思想，可以找到一種特定的組合，使得在達到期望收益目標的前提下，使得組合內股票間的相關性盡可能小，從而起到降低風險、優化組合表現的效果。

模型的目標函數為，?定義資產的預期回報， 即收盤價的均值; 為不同資產之間收盤價的協方差矩陣;q表示投資者的風險類別（即其風險偏好）。

實證分析中，本文采集從2018年1月1日到2021年4月1日期間五糧液（000858）、貴州茅臺（600519）、恒力液壓（601100）、芒果超媒（300413）、華大基因（300676）、宏亞數控（002833）等6只股票日收盤價;基于IBM Quantum Experience 模擬量子計算機實驗環境;根據投資者不同的風險偏好程度（即風險厭惡、風險中性和風險偏好），在6只股票中選擇3只，基于QAOA算法生成權益類組合。在構建資產組合時，本文采用窗體平移的方式，通過過去四個季度的股票數據來計算未來一個季度的股票持倉，即：使用2018年1月1日～2018年12月31日期間6只股票日收盤價數據，生成均值和協方差矩陣作為預期，從而計算2019年1月1日至2019年3月31日期間的持倉情況，確定該季度選擇哪三只股票作為組合。

實驗結果顯示，表1中從左至右分別代表量子比特位、所選股票、目標函數值和量子測算出的概率值。6個量子比特位分別代表一只股票（量子比特位為1表示選擇該股票進入組合;若為0則表示不選擇該股票）。以第一行為例，量子比特為1者是q1、q2、q3 三位（量子比特從q0開始計算），表示選擇進入組合的股票依次對應為600519、601100、300413。在表1的時間段中，構建的組合即為這三只股票的等權組合，并依此計算后續組合凈值。

為測算量子算法長期效果，本文共進行10次組合持倉計算，重新計算并換倉的日期分別為2019-01-01、2019-04-01、2 0 1 9 - 0 7 - 0 1 、2 0 1 9 - 1 0 - 1 、2 0 2 0 - 0 1 - 0 1 、2 0 2 0 - 4 - 1 、2020-07-01、2020-10-01、2021-01-01和2021-04-01，總體時間跨度為三年。在每一時間段中各進行100次量子計算，取概率最高的三個量子比特作為此次計算的結果，計算加權收益率作為本季度收益并記錄轉為凈值曲線。為驗證策略效果，對照組選取同時將6只股票平均持有的組合，同樣記錄當期收益率。

從組合凈值來看，在不同的投資者風險偏好場景下，將量子QAOA算法與對照組凈值進行對比。圖3中橙色表示等權重持有股票池中股票的組合凈值，紅色表示使用QAOA算法計算的凈值，橫坐標為交易日期，縱坐標為模擬交易凈值初始為1。結果顯示，在投資者風險厭惡（q=0.15）、投資者風險中性（q=0.5）、投資者風險偏好（q=0.85）的環境中，與等權重持有股票的對照組相比，量子QAOA算法篩選出的組合長期來看凈值表現均優于對照組。且隨著投資者風險偏好的上升，量子QAOA算法篩選出的組合表現也不斷提升。

從組合指標來看，在不同的投資者風險偏好場景下，針對收益率（Return，RET）、累計收益（Accumulated Return， ACC）、夏普比率（Sharp Ratio）和索提諾比率（Sortino Ratio）四個維度，將量子QAOA算法與對照組進行對比。結果顯示，除風險厭惡環境下量子QAOA算法組合的夏普比率略低于對照組外，量子QAOA算法所構造的組合在其余各指標表現均優于對照組。

結語

在量子金融科技時代，量子算法憑借獨有的優勢在金融行業展現出巨大前景。在金融投資領域，資產的配置與組合問題一直是業界和學界的焦點。本文聚焦于量子算法在我國A股市場的應用，通過將量子近似優化算法運用于股票組合配置這一場景，對金融投資智能決策的量子化改進進行了探索。本文所使用的量子算法，不僅可以作為經典大類資產配置中的一個步驟，快速篩選出一籃子資產作為資產池;未來也有望探索成為一種資產配置方法的分支，考慮持有量子算法篩選后的具體資產用于直接投資。受限于當前量子比特的數目，量子QAOA算法暫時難以處理海量的金融市場數據。未來，隨著量子計算機量子比特數的不斷增加，量子算法將進一步與經典資產配置模型相結合，為個人及機構投資者在股票、基金或大類資產投資上，帶來更大的價值。

（龍盈智達（北京）科技有限公司大數據中心楊璇、王一多、徐奇、史杰、宮雅菲對本文亦有貢獻。）

（作者單位：華夏銀行股份有限公司，中國人民銀行丹東市中心支行，龍盈智達（北京）科技有限公司，北京玻色量子科技有限公司）