相對論下的鐘慢效應公式推導及其應用

王 勇 朱小芹 唐 煌

（1.江蘇省常州高級中學，江蘇 常州 213003；2.江蘇理工學院數理學院，江蘇 常州 213001）

1905年，愛因斯坦發表了狹義相對論的第一篇論文《論動體的電動力學》，提出了狹義相對論的兩個基本原理.

（1）相對性原理：物理定律在所有慣性系中都是相同的，所有的慣性系都是等價的.

（2）光速不變原理：在所有慣性系中，真空中光速等于恒定值，它不依賴慣性系之間的運動，也與光源、觀察者的運動無關.

經典時空觀認為時間和空間是兩個獨立的觀念，彼此之間沒有聯系，分別具有絕對性，時間與空間的度量與慣性參考系的運動狀態無關.

愛因斯坦相對論時空觀認為：空間和時間的特性是相對的，是隨著物質運動狀態的變化而變化的，并不是永恒不變的.

1 鐘慢效應公式推導

在相對論時空觀中，運動的時鐘比靜止的時鐘走得慢，這種效應叫做時間延緩或時間膨脹，也叫鐘慢效應，鐘慢效應公式推導過程如下.

圖1

假定列車（慣性系S′）以速度v相對路基行駛.車廂后壁裝有光源，緊挨著它有一標準鐘，在對面放置一面反射鏡M，可使縱向發射的光脈沖原路返回，設車廂寬度為l0.

2 鐘慢效應的應用

例題.慣性系S中3艘已處于勻速直線運動狀態的飛船1、2、3，各自的速度大小同為v，航向已在圖中標出.某時刻3艘飛船“相聚”（彼此靠近，但不相碰）于S系的O點.此時各自時鐘都校準在零點.飛船1到達圖中與O點相距l的P處時，發出兩束無線電信號.而后分別被飛船2、3接受到.

圖2

（1）在飛船1中確定發射信號的時刻t1；

（2）在飛船2中確定接收信號的時刻t2；

（3）在飛船3中確定接收信號的時刻t3.

解析：（1）S系中飛船1從O點到達P點所經過的時間為，飛船1中發射信號的時刻為飛船1從出發到發射信號的時間，兩事件在飛船1中為發生在同一地點的兩事件，此經歷的時間是本征時間，本征時間與S系中飛船1從O點到達P點所經過的時間關系為，其中（下同），所以飛船1中發射信號的時刻為

（2）方法1：在慣性S系中討論.

在S系中飛船1發射信號后相當于光追飛船2，則在S系中飛船2從相聚點出發到收到信號的時間為

所以根據鐘慢效應，飛船2中接受到信號的時刻為

將（7）式代入（8）式可得飛船2中確定接收信號的時刻為

方法2：在慣性系飛船2中討論.

由速度變換公式可得1相對2的遠離的速度為

在慣性系飛船2中，飛船1從出發到發射信號的本征時間為

在慣性系飛船2中，飛船1從出發到發射信號用了

將（9）、（10）式代入（11）式可得

在慣性系飛船2中，飛船2認為飛船1走了v12Δt2才發射信號.從飛船1發射到飛船2接收信號用了時間

將（9）、（12）式代入（13）式可得

飛船2中接受到信號的時刻為

將（12）、（14）式代入（15）式可得

方法3：在慣性系飛船1中討論.

由速度變換公式可得2相對1的遠離的速度為

飛船1從出發到發射信號的本征時間為

此時飛船1系中觀察者認為飛船2前進了v21Δt1，則從1發出信號到2接收信號，相當于光追及飛船2，飛船1發出的信號到飛船2接受到信號經過時間為

從相聚點到飛船2接收到信號，飛船1系中共經過了

將（17）-（19）式代入（20）式可得

變換回2系，慣性系飛船2中的為本征時間為

將（21）式代入（22）式可得

問題（3）：（3）問中分析飛船3中確定接收信號的時刻時，只需通過相對論下速度變換公式分別對x方向、y方向的速度變換，飛船1將相對于飛船3斜向運動，相對速度為，參照問題（2）的解答只需將飛船1與飛船2間的相對速度v12變換為飛船1與飛船3的相對速度v13即可求解可得

在狹義相對論的時空觀中，運動的時鐘走慢.利用動鐘變慢公式，變換參考系分析相對論下的時鐘問題，充分鍛煉學生的思維能力，使學生從不同的角度對鐘慢效應進行思考，深入理解狹義相對論的時空觀.