巧妙求解均勻帶電殘缺球面球心處的電場強度
——“氣體對半球面壓力的計算方法”的遷移應用

俞 翔

（江蘇省阜寧中學，江蘇 鹽城 224400）

關于均勻帶電的殘缺球面球心處的電場強度，文獻中一般應用圓環帶法、場強疊加原理及球坐標法、端面積分法、電勢梯度法等求解.相比較而言，端面積分法和電勢梯度法是比較簡單的方法，計算過程相對簡潔，而圓環帶積分法和電場強度疊加原理及球坐標法計算繁雜，這些方法大多數中學生均難以理解和掌握.本文通過模型構建，給出巧妙計算均勻帶電的殘缺球面球心處電場強度的幾種初等方法，以供參考.

1 氣體對半球面壓力的計算方法

例1.如圖1所示，半徑為R的半球形封閉容器內充滿壓強為p的氣體（重力忽略不計），求氣體對半球面的壓力.

圖1 氣體充滿半球形容器

分析：直接計算氣體對半球面的壓力，一般要用微元法疊加求積分，才能得出結果.若應用轉化的思想方法，可通過求解氣體對底部圓面的壓力，也很容易得出了氣體對半球面的壓力.

解析：以半球形容器內的氣體為研究對象，底部圓面對氣體有向上的支持力F1，半球面對氣體有向下的壓力F2.對半球形容器內的氣體有平衡條件有F2=F1.根據牛頓第三定律，氣體對底部圓面的壓力等于F1，而氣體對半球面的壓力方向向上，其大小F=F2=F1=pπR2.

2 均勻帶電殘缺球面球心處電場強度的分析與計算

如圖2所示，半徑為R的殘缺球面均勻帶電，電荷面密度為σ.求球心O點的電場強度.

圖2 均勻帶電的殘缺球面

2.1 均勻帶電殘缺球面球心處電場強度方向的分析

圖3 場強方向的分析

2.2 均勻帶電殘缺球面球心處電場強度大小的計算

均勻帶電殘缺球面球心處電場強度大小的計算，一般采用積分和偏微分計算，對中學生而言數學要求過高.

筆者研究發現，若把氣體對半球面壓力的計算方法，遷移到這個問題的求解之中，也可十分順利地用初等方法解決該問題.

（1）試探電荷對球面的作用力產生的壓強.

圖4 試探電荷對面元的作用

所以，半球面單位面積上受的庫侖力是定值，即壓強為

可見，求殘缺球面上所有小面元所受試探電荷的庫侖力之和，就轉化成了求壓強對殘缺球面的壓力之和.這樣，可引導學生構建氣體的封閉容器模型，遷移學生已經熟練掌握的氣體對半球面壓力的計算方法，實現對所求問題的巧妙轉化.

（2）構建多種氣體的封閉容器模型，計算殘缺球面球心處場強的大小.

構建模型（1）：以半徑為R的球面與半徑為R的水平半圓AO、豎直半圓DO3部分構成一個封閉容器，如圖5所示.容器內部充滿壓強為的氣體，則氣體對球面的壓力的矢量和F（圖中未畫出），與氣體對水平半圓AO向下的壓力FAO和豎直半圓形DO向左的壓力FDO的合力等值反向.則

圖5 間接計算球面的受力

構建模型（2）：以半徑為R的球面BC與半徑為R的豎直半圓BO、水平半圓CO3部分構成一個封閉容器，如圖6所示.容器內部充滿壓強為的氣體，則氣體對球面BC的作用力的大小，等于豎直半圓BO所受的向左的壓力FBO和水平半圓CO所受的向下的壓力FCO的矢量和，同理可以得到與模型（1）相同的結果.

圖6 間接計算球面BC的受力

說明：學生構建封閉容器模型時，容易在圖5中以AD為直徑構建一個圓面（其實此圓面與球面ABCD不能構成封閉容器），或者在圖6中以BC為直徑構建一個圓面（此圓面與球面BC不能構成封閉容器），得出的結果與上述模型得出的結果不一致.這時，教師通過引導學生觀察球面的立體模型，讓學生自己發現其錯誤，并糾正錯誤.

構建模型（3）：以半徑為R的半球面ABC和它的底面圓構成一個封閉容器，如圖7所示.容器內部充滿壓強為的氣體，則氣體對半球面ABC的壓力的矢量和，與氣體對半球形容器底部圓面的壓力等值反向，求氣體對半球面的壓力，可轉化為求氣體對底部圓面積πR2的壓力，其大小為

圖7 場強合成圖

根據牛頓第三定律和電場強度的定義式，半球面上的電荷在球心處產生的電場強度為

（9）式與（6）式的結果一致.