中考數學試題中陰影部分面積的解題策略

陳 瑗

(浙江省義烏市丹溪中學 浙江金華 322000)

近年來，在中考數學試題中，對陰影部分面積的求解計算已經成為目前一大新的考查熱點。經過總結分析發現，在中考數學試題中，圖形陰影部分面積的計算一般不會只是簡單地針對某一個圖形或者是某一個規則圖形的面積計算，而是經常會涉及求圓形、扇形、三角形、正方形等多種圖形組合而成的不規則圖形的陰影部分的面積[1]。在計算這種不規則圖形的陰影面積時，學生經常會出現找不到解題突破口的情況，教師對陰影部分面積的解題策略進行總結整理，便可以更好地幫助他們觀察和分析圖形，使其學會分解或組合圖形，繼而明確所求面積并計算出結果。對此，本文簡單總結分析了中考數學試題中陰影部分面積的解題策略，以期借此進一步提升學生的解題效率和知識運用能力。

一、利用作差法去計算陰影部分的面積

作差法，其實是指在不改變原來圖形位置的前提下，將原來圖形的面積通過若干個相關規則圖形的面積差來表示，最終得出需要求得的陰影部分的面積。

例如，在邊長為2的正三角形當中，從內部挖去其內切圓和三個角內切圓（如圖1所示，三個角內切圓與角的兩邊和內切圓都相切）求剩下圖形面積，即陰影部分的面積是多少。

圖1

分析：連接OB，連接內切圓O與邊BC的切點（記為D），就能夠構造出一個直角三角形，通過求解直角三角形我們便很容易求出來內切圓O的半徑。然后我們再將內切圓O與小的角內切圓的公切線記為EF，很明顯就能看出來三角形BEF也是一個小的等邊三角形，從而得知小圓的圓心P也就是等邊三角形BEF的中心，繼而得出小圓的半徑，也就能計算出這四個圓的總面積。最后再由等邊三角形ABC的面積減去這四個圓的總面積，就是我們需要計算的陰影部分的面積。

圖2

分析：這個陰影部分的面積（圖形CBD）是一個不規則的扇形圖形，在計算這種圖形面積時，我們一般可以利用作差法將其轉化成為規則圖形面積的計算。針對上述問題，如果我們連接點OC，并過點C作OB的垂線CE，就可以得出CE的長度，繼而得出扇形COB的面積和三角形COD的面積，然后再用扇形COB的面積減去三角形COD的面積，就是我們需要求出的陰影部分的面積。

利用作差法去計算陰影部分的面積時，需要認真觀察規則圖形和陰影部分圖形之間的聯系，從中找到圖形之間存在的異同點，尤其是當圖形比較復雜時，可以將陰影部分的面積轉化成為我們所熟知的面積來計算，最終經過作差得出陰影圖形的面積。而在這一計算過程中，對學生的空間想象能力有著較高的要求，這需要教師多培養和訓練學生的數學轉換思維和空間想象力，使得他們在面對這類問題時可以靈活多變。

二、利用移動法去計算陰影部分的面積

移動法是指對原來圖形的位置通過平移、旋轉、割補、等積變換等方法進行“移動”，從而為作差法創設計算條件，通過這種方法實現不規則圖形面積的轉換。

圖3

分析：如果我們將兩個圓弧的交點記為點O，分別連接OA、OB、OC，就可以發現線段OA將陰影部分的上半部分平均分了兩個弓形，然后再將弓形的左右兩部分分別按照逆時針、順時針的方向旋轉120°以后，就能得到一個完整的三角形OBC（陰影圖形）的面積，也就是三角形ABC面積的三分之一，然后利用等邊三角形面積的計算公式就能得出來陰影部分的面積。

再如，（如圖4所示）AB為直徑的半圓，AB=2R，點C、D均為半圓的三等分點，計算陰影部分的面積。

圖4

圖5

分析：該例題所考查的知識點是扇形面積的計算問題，如果直接去求陰影部分的面積時比較困難的，這個時候可以采用畫輔助線的方式將弓形OB補到弓形OC處，此時就很明顯看出來所求的陰影面積就是扇形OAC的面積。在這一解題思路中采用的計算方法就是移動法中的割補法，在原有圖形面積保持不變的情況下，通過適當的分割、添補將原本零散的陰影面積轉化成為規則圖形的面積[3]。

利用移動法去計算陰影部分的面積時，需要對各種圖形的基本性質等有足夠的了解，并能靈活運用，盡可能將這些不規則的圖形轉化成為較為完整且容易計算的圖形去計算面積。因此，教師在訓練學生利用這一方法解題時，還要注意幫助他們總結一些基本圖形的性質和計算公式等，方便學生對知識的提取和運用。

三、利用代數法去計算陰影部分的面積

代數法是根據陰影部分圖形的特點，通過列方程或者是方程組的方式去計算其面積，解出方程或者方程組就能求出對應的陰影部分的面積，也就是我們常說的設元法。

圖6

圖7

分析：本題目中考查的數學知識點比較多，主要包括了正方形的基本性質、整式的混合運算、扇形的面積計算等，其中，小正方形EBGF的邊長這一中間量就是我們解決問題的關鍵[4]。如果我們可以設出小正方形的邊長，就能成功表示出其他線段的長度，然后就可以得出陰影部分的面積就是：扇形ABC的面積、正方形EBGF的面積、三角形CFE的面積三者之和再減去三角形AGF的面積。然后就是點E的位置，該點雖然是一個不定點，陰影部分的圖形也隨著點E的變化而變化，但可以發現其面積是一個定值，也就是我們經常遇到的“變與不變”的數學問題，需要引起重視。

由此可見，在利用代數法（或者是設元法）去計算陰影部分的面積時，需要多引導學生去觀察陰影部分圖形的特點，從中找到關鍵突破點并進行設元，然后通過求解計算最終計算出陰影部分的面積。

四、利用整體法去計算陰影部分的面積

所謂整體法，其實就是一種從整體的角度出發去計算陰影部分面積的一種解題方法，尤其是在求解與圓相關的陰影部分的面積時，如果我們仍然按照常規的求解思路就會很容易多走“彎路”。這個時候，如果可以換一種思維視角去解決問題，將那些看似獨立，實質上卻有著緊密關聯的數量關系看成一個整體來計算，就會變得非常容易。

例如，在直角三角形ABC中，∠C為直角，CA=CB=4，分別以點A、點B、點C為圓心，以AC為半徑畫圓弧（如圖8所示），計算三條圓弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積。

圖8

分析：如果直接去求陰影部分的面積，并不簡單。仔細分析題目，觀察圖形，就可以知道這三條圓弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積，就是直角三角形的面積減去三個扇形的面積。但是，由于我們并知道以點A、點B為圓心的兩個扇形部分的面積，就很容易陷入解題困境，此時可以轉換思維，嘗試將它們看成一個整體，就能解決問題。由于以點A、點B為圓心的兩個扇形圖形的半徑是相等的，而且圓心角的和就是90°（因為∠C=90°），此時，陰影部分的面積就是用三角形ABC的面積減去扇形C的面積再減去扇形A與扇形B的面積和就可以了。

由此可見，當我們利用整體法去求解陰影部分的面積時，極大能地優化解題思路，還能讓整個解題過程更簡單，這需要教師訓練學生多從整體的角度出發去看待問題，學會轉換思維，進而讓問題得以解決[5]。

五、結束語

除了上述所提到的作差法、代數法、整體法、移動法陰影部分的計算方法，還有很多其他解題方法，如公式法、直接法等，而且每種方法的題型種類還存在一定的差異。這樣的方式可以讓數學學習更加系統，也更容易總結規律，找到方法，從而讓學生在考試中應對自如。