高等代數(shù)之最

王 麗

(湛江幼兒師范專科學(xué)校數(shù)學(xué)系 廣東湛江 524037)

高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)的必修課程之一，不少學(xué)生在開(kāi)始學(xué)習(xí)高等代數(shù)之后，認(rèn)為它的概念多，理論證明抽象，知識(shí)點(diǎn)分散，即知識(shí)之間的聯(lián)系不強(qiáng)、前后銜接不上，認(rèn)為在學(xué)習(xí)中無(wú)從下手。本文從最常用的詞語(yǔ)“最小”出發(fā)，結(jié)合高等代數(shù)的知識(shí)，通過(guò)最小數(shù)域、最小子空間、最大公因式、最小公倍式以及最小多項(xiàng)式，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)無(wú)從下手的難題、強(qiáng)調(diào)高等代數(shù)中知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生形成對(duì)高等代數(shù)的整體認(rèn)識(shí)。

我們知道，代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象是數(shù)，數(shù)是可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四種運(yùn)算的，還可以比較數(shù)與數(shù)之間的大小（虛數(shù)除外），所以我們可以在有限數(shù)集或某些無(wú)限數(shù)集中找到最小的數(shù)。若把數(shù)集看作一個(gè)整體，那如何比較數(shù)集的大小呢？從歷史上看，我們對(duì)數(shù)集的認(rèn)識(shí)，通常是采用兩種方法進(jìn)行擴(kuò)展的：一是添加元素法；二是構(gòu)造法，而為了適應(yīng)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和接受能力，我們主要采用添加元素并強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的方法來(lái)對(duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)展，即

在這個(gè)意義下，正整數(shù)集可以說(shuō)是最小的數(shù)集。文[1]中也介紹了兩個(gè)特殊的數(shù)集：數(shù)環(huán)（對(duì)加、減、乘三種運(yùn)算封閉的數(shù)集）和數(shù)域（對(duì)加、減、乘、除四種運(yùn)算封閉的數(shù)集）。

一、最小的數(shù)環(huán)、最小的數(shù)域

數(shù)環(huán)、數(shù)域是貫穿高等代數(shù)的一個(gè)基本概念，在每章中都有體現(xiàn)，例如歐式空間，它是實(shí)數(shù)域上定義了內(nèi)積的向量空間，這里就特別指明是實(shí)數(shù)域；再如二次型的典范形，同一個(gè)二次型在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的典范形一般是不同的，如二次型q(x1,x2,x3,x4)=3x22+12x32+6x1x4-12x2x3-8x3x4，在實(shí)數(shù)域上的典范形為y12+y22+y32，而在復(fù)數(shù)域上的典范形為z12+z22+z32，于是實(shí)二次型的典范形由二次型的秩和正慣性指數(shù)決定，而復(fù)二次型的典范形只由二次型的秩唯一決定。無(wú)獨(dú)有偶，使用這種集合的包含關(guān)系來(lái)比較大小的量，在向量空間中也有體現(xiàn)：

2.設(shè)W1，W2是向量空間V的兩個(gè)子空間，則W1+W2也是V的一個(gè)子空間，且W1+W2是既包含W1又包含W2的最小子空間，也就是說(shuō)，既包含W1又包含W2的V的子空間都包含W1+W2。

對(duì)于多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，多項(xiàng)式大小的比較就不是它們之間的包含關(guān)系了。

二、最大公因式、最小公倍式

兩個(gè)多項(xiàng)式一般有多個(gè)公因式，那如何體現(xiàn)公因式中最大的那個(gè)呢？在多項(xiàng)式中，最大公因式是從整除上來(lái)體現(xiàn)的。設(shè)f(x)、g(x)是數(shù)域F上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式，稱F上一個(gè)多項(xiàng)式d(x)為f(x)、g(x)的最大公因式，若

1.d(x)是f(x)、g(x)的公因式；

2.d(x)能被f(x)、g(x)的任一公因式整除。

注意，在此定義下，f(x)與g(x)的最大公因式不止一個(gè)，而是一類，即cd(x)(c≠0)都是f(x)與g(x)的最大公因式，這與我們一般意義下的“最大”相悖。為了體現(xiàn)f(x)與g(x)的最大公因式是唯一的，我們約定把f(x)與g(x)的最大公因式中最高次項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)作為f(x)與g(x)的最大公因式，記為（f(x)，g(x)）。此時(shí)f(x)與g(x)的最大公因式就是唯一確定的。計(jì)算f(x)與g(x)的最大公因式常用的方法：一是輾轉(zhuǎn)相除法；二是比較它們的標(biāo)準(zhǔn)分解式。于是可約多項(xiàng)式、不可約多項(xiàng)式、綜合除法、多項(xiàng)式的根等一系列的問(wèn)題就解決了。同樣的，稱數(shù)域F上一個(gè)多項(xiàng)式m(x)為f(x)、g(x)的最小公倍式，若

1.m(x)是f(x)、g(x)的公倍式；

2.m(x)能整除f(x)、g(x)的任一公倍式。

同樣的，在此定義下，f(x)與g(x)的最小公倍式不止一個(gè)，而是一類，即cm(x)(c≠0)都是f(x)與g(x)的最小公倍式，這與我們一般意義下的“最小”相悖。為了體現(xiàn)f(x)與g(x)的最小公倍式是唯一的，我們約定把f(x)與g(x)的最小公倍式中最高次項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)作為f(x)與g(x)的最小公倍式，記為[f(x)，g(x)]。此時(shí)f(x)與g(x)的最小公倍式就是唯一確定的，且若f(x)與g(x)都是最高次項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，則有f(x)·g(x)=（f(x)，g(x)）·[f(x)，g(x)]。

例1：設(shè)f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-x-1，使用輾轉(zhuǎn)相除法：

所以(f(x)，g(x))=x+1。

另外還可以分別寫出f(x)與g(x)的在有理數(shù)域上的典型分解式：

f(x)=(x+1)(x3-3x-1),g(x)=(x+1)2(x-1)，

顯然(f(x)，g(x))=x+1，且x3-3x-1在有理數(shù)域上是不可約多項(xiàng)式（不能直接使用愛(ài)森斯坦因判別法判別，用代替后再使用愛(ài)森斯坦因判別法證明x3-3x-1在有理數(shù)域上是不可約多項(xiàng)式），而且從典型分解式中很容易看出f(x)與g(x)的有理根。

三、最小多項(xiàng)式

在一元多項(xiàng)式環(huán)F[x]中，還有一類多項(xiàng)式，稱為最小多項(xiàng)式[2][3]。它是代數(shù)論中的一個(gè)基本概念，與矩陣有關(guān)，是使f(A)=0的最高次項(xiàng)系數(shù)為1、次數(shù)最低的一個(gè)多項(xiàng)式，其中A為n階矩陣。首先A這樣的矩陣是存在的，因?yàn)锳為n階矩陣，而A所在向量空間Mn(F)的維數(shù)是n2，所以Mn(F)在中任意n2+1為矩陣總是線性相關(guān)的，不妨設(shè)這n2+1個(gè)矩陣為

解：由于矩陣A的特征多項(xiàng)式為

于是fA(λ)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的因式有：

λ-2，λ+1，(λ-2)(λ+1)，(λ-2)2，(λ-2)2(λ+1)

直接計(jì)算可得A-2I≠0，A+I≠0，(A-2I)(A+I)=0，從而矩陣A的最小多項(xiàng)式為(λ-2)(λ+1)。

從此題中可以得到矩陣A的特征值、特征向量，由此判斷矩陣A可否對(duì)角化；再有，矩陣在給定基下與線性變換建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以還可以得到相應(yīng)線性變換的本征值、本征向量，特別地，歐式空間中有兩個(gè)特殊的線性變換：正交變換和對(duì)稱變換。

于是，通過(guò)“最小”二字，我們把高等代數(shù)中的二次型、多項(xiàng)式、矩陣、行列式、歐式空間、線性變換等內(nèi)容聯(lián)系在一起，在這個(gè)基礎(chǔ)上再對(duì)內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)展，就可以得到高等代數(shù)中更多的內(nèi)容。再如，給出“向量”，我們的第一反應(yīng)“這是解析幾何中的概念”，在解析幾何中我們研究了向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算（統(tǒng)稱為線性運(yùn)算）、向量的線性相關(guān)性等內(nèi)容，這些內(nèi)容在高等代數(shù)中同樣成立，可以說(shuō)高等代數(shù)中的向量是解析幾何中的向量的推廣：從二維、三維向量空間推廣到n維向量空間、無(wú)限維向量空間。向量空間從具體的二維、三維向量空間抽象出向量空間的本質(zhì)：數(shù)域F、非空集合V、叫做加法和數(shù)乘的兩種運(yùn)算、兩種運(yùn)算滿足8條運(yùn)算規(guī)律。常見(jiàn)的向量空間有V2、V3、Fn、Mn(F)、C[a,b]、F[x]、Fn[x]等。由向量組的線性相關(guān)性的定義，可以得到向量組的線性相關(guān)性取決于齊次線性方程組是否有非零解：若齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無(wú)關(guān)；若齊次線性方程組有非零解，則向量組線性相關(guān)；向量的線性表示則與線性方程組是否有解有關(guān)，而方程組的解問(wèn)題又取決于它的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等，這是線性方程組的內(nèi)容。當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，解的表示又可以使用基礎(chǔ)解系等。

總之，高等代數(shù)中的內(nèi)容不是孤立的知識(shí)點(diǎn)的累積，是初等代數(shù)的繼續(xù)和提高。整體來(lái)看，高等代數(shù)主要是三部分內(nèi)容：多項(xiàng)式理論、線性代數(shù)和群環(huán)域簡(jiǎn)介，其中重點(diǎn)內(nèi)容是線性代數(shù)部分。下面用一個(gè)圖表說(shuō)明高等代數(shù)中各知識(shí)之間的聯(lián)系，解決學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)無(wú)從下手的難題，使學(xué)生形成對(duì)高等代數(shù)的整體認(rèn)識(shí)。