基于EGO加點策略的動力電池包多目標優化*

王普毅，白影春，林程，武振江，王保華

（1.北京理工大學，電動車輛國家工程實驗室，北京100081；2.湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙410082；3.西北機電工程研究所，咸陽712099；4.中汽研（天津）汽車工程研究院有限公司，天津300300）

前言

動力電池包是電動汽車動力系統的重要組成部分，在確保結構承載能力和機械防護能力的前提下，開展針對電池箱的輕量化設計可提升動力電池能量密度進而延長電動汽車續駛里程。

國內外研究人員圍繞電池箱結構輕量化和結構安全做了大量的研究工作。趙紅偉等［1］采用拓撲優化方法實現了電池箱的輕量化設計。陳靜等［2］和Chen等［3］采用輕質材料實現了電池箱的輕量化和強度設計。孫小卯［4］根據靜力學、模態和疲勞分析結果，對電池箱進行改進設計，提高了其動、靜態性能和疲勞壽命。Choi等［5］采用熱塑性纖維復合材料研制了一種輕量化電池組殼體，并完成了沖擊振動和耐久性分析；朱新春［6］完成了極限工況下電池箱的輕量化和形貌優化。蘭鳳崇等［7］采用拓撲優化、綜合多項性能和質量的多目標優化，提升了電池箱動、靜態特性和輕量化水平。李志杰等［8］運用復雜系統安全理論結合電動汽車實際工況，提出機械外力下基于整體精細化模型可量化、層次化的動力電池包系統安全性評價方法。黃培鑫等［9］建立了動力電池包結構及其內部精細化模型和分析方法，蘭鳳崇等［10］在此基礎上分析了電連接結構在穩態隨機振動和瞬態沖擊下的損傷和接觸可靠性。盡管以上研究工作為電池箱輕量化和安全性設計提出了方法和思路，但針對基于代理模型的動力電池包結構多目標優化和通過動態更新代理模型以實現高效全局優化方面的研究仍較少。

在實現高效全局優化方面，Jones等［11］提出了單目標優化問題的高效全局優化（efficient global optimization，EGO）策略，優化算法通過求解期望改進（expected improvement，EI）函數的最大值來確定EI點，進而用于模型更新。Koji等［12］通過超體積指標來尋求Pareto前沿（Pareto front，PF）EI點，但超體積指標求解復雜、耗時，且存在較大計算誤差。Yang等［13］在粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）算法中增加輔助代理模型，采用EGO策略尋找優勢粒子和更新非劣解，在高效求解單目標全局優化方面取得了較好效果。Lin等［14］提出了一種基于代理模型的多目標優化智能抽樣方法，該方法在當前優化解最大化最小距離點、極端采樣點、最近邊界點之間進行權衡，進而獲得新的采樣點并用于代理模型的更新，但確定加權系數過于依賴經驗。以上研究在高效全局尋優方面為動力電池包結構的多目標優化提供了思路，然而針對復雜結構的高維多目標優化設計問題，有必要在優化過程中降低計算復雜度和難度，實現快速求解。

本文中針對動力電池包結構多目標優化問題，在分析初始設計的基礎上，提出多目標優化模型和優化流程。根據優化流程，基于試驗設計和Pareto法則開展變量影響分析以縮減優化參數；基于樣本點構建的優化目標KRG模型，采用多目標粒子群優化（multi?objective particle swarm optimization，MO?PSO）算法求解多目標優化問題；以過程優化解為插值點構造EI采樣函數，采用EGO加點策略求解新增樣本點，進而更新代理模型。最后，使用測試函數對優化方法進行驗證，并將其用于隨機振動下的電池包結構的多目標優化。

1 動力電池包初始設計

1.1 某型電池包初始設計參數

某型動力電池包主要由電池箱（即電池包的殼體）、電池模組和電池管理系統組成，初始總質量為549.5 kg。電池箱作為電池結構的主要組成部分，初始設計質量為90.55 kg，其組成零件材料采用高強鋼，初始設計參數和材料性能如表1所示。表1中，支板包含前、后支板；橫梁包含前、后、左、右和中橫梁；縱梁包含前、后、第一、第二、第三和第四縱梁；托架包含左、右托架；壓板包含上、下壓板。

表1 電池箱主要零件初始幾何參數與材料特性

1.2 電池包初始設計模態分析

電池包結構阻尼小，通常被當做線性結構來分析［9，15］，其簡化自由振動動力學方程為

式中：M和K分別為系統質量矩陣和剛度矩陣；x?(t)、x(t)分別為加速度和位移向量。

考慮約束模態引入的附加剛度K'，由式（1）可得約束模態頻率ω的方程為

如圖1所示，約束電池包托架6個自由度，利用Lanczos法獲取前6階模態。分析結果顯示，電池包初始1階模態頻率值達到了31.52 Hz，高于常見車輛激振頻率范圍（17-25 Hz）。

圖1 電池包有限元模型及約束位置

2 優化模型和優化流程

2.1 優化模型的建立

提高電池包1階模態頻率可使其遠離低頻共振區，降低結構部分質量可提升電池能量密度。因此，電池包多目標優化模型可表示為

式中：f1（x）和f2（x）分別為電池包質量和1階模態頻率；x=［x1，…，xk，…，xm］表示電池箱零件厚度；xl和xu分別為設計變量上、下邊界。

2.2 優化流程

為解決上述優化問題，本文中提出了基于EGO加點策略的多目標粒子群優化（EGO-MOPSO）流程，如圖2所示。首先根據分析要求定義初始條件。其次，通過多變量試驗設計樣本和多變量影響分析，選出對目標貢獻較大的變量作為優化對象。然后，以上述條件為基礎生成新試驗樣本，構建優化目標的KRG模型。使用MOPSO算法求解優化問題，并采用過程優化解構建EI采樣函數，利用EGO加點策略求解EI采樣點，進而獲取真實填充樣本，用于更新代理模型。最后，若滿足條件則輸出結果。為防止樣本重合而導致KRG模型構建失敗，采用過濾策略刪除重疊樣本。

圖2 電池包結構優化流程

3 基于EGO加點策略的多目標優化

3.1 試驗設計和優化設計變量的選取

以電池箱19個零件厚度作為設計變量（x1~x19），以電池包的總質量和1階模態頻率作為響應，通過拉丁超立方抽樣完成試驗設計，并利用多變量線性影響分析和Pareto法則分析變量對響應的影響，結果如圖3和圖4所示。圖中分別列出了對電池包的總質量和1階模態頻率影響較大的7個設計變量。為充分縮減優化規模，并優先考慮變量對電池包模態性能的影響，最終選擇電池箱的上箱蓋、下箱體、后支板、前支板、第二縱梁、左橫梁和右橫梁等7個零件（圖5）的厚度值作為設計變量，優化設計的取值范圍如表2所示。最后，以此為基礎再次開展試驗設計，獲得用于后續優化所需的試驗樣本。

表2 設計變量取值范圍及初始值 mm

圖3 設計變量對電池包質量的影響

圖4 設計變量對電池包1階固有頻率的影響

圖5 電池箱的優化零件

3.2 構建優化目標的代理模型

KRG模型因具有無偏估計特性、可選相關函數范圍廣且靈活，而得到廣泛應用［16-17］。本文構建優化目標所用的KRG代理模型可表示為

式中：G（x）為全局近似模型；z（x）為局部偏差，其均值為零、方差為σ2、協方差非零。

3.3 多目標粒子群優化

采用MOPSO算法，可調參數少，無需梯度信息，僅通過粒子速度和位置的不斷進化而得到最優解，算法易實現且效率高［18］。

由式（3）多目標參數優化問題可描述為

式中：Ff（x）為粒子適應度函數，即目標函數值；Rm為設計變量域，m=7；x=［x1，…，x7］。

另外，在粒子群優化算法中，第i個粒子的速度更新策略為

式中：vi(t-1)和vi(t)分別為更新前后粒子的速度；w為慣性權重系數；wd為慣性權重阻尼率；xi為粒子當前位置為當前粒子局部最優位置為當前粒子全局最優位置；C1為局部學習因子；C2為全局學習因子。

相應地，第i個粒子的位置更新策略為

為避免算法過早收斂，算法中采用變異策略來更新粒子速度和位置，以盡量避免局部最優。變異函數系數為

式中：pm為變異系數；t為當前迭代數；N為最大迭代數；mu為變異率。

MOPSO算法設置如下：種群規模取100，最大迭代數取80，權重系數取0.5，個體學習因子取1，全局學習因子取2，慣性權重阻尼率取0.99，外部存檔網格數取10，變異率取0.1。

3.4 基于EGO加點策略的代理模型更新方法

一次性的代理模型對于近似復雜結構高維優化問題往往精度不理想。為此，基于EGO加點策略，通過有針對性地增加樣本點來快速開發設計域和提高模型精度［11，13］。

EGO以KRG為代理模型，點x處的預測值f?(x)~N(μ，s2)，其均值μ和方差s2由當前模型確定，以EI函數作為填充采樣準則［11］，即

式中：fmin為當前最優響應；f?(x)和s（x）分別為當前模型預測響應和標準差；Φ（·）和φ（·）分別為標準正態概率分布和概率密度函數。EI（x）值越大，表明在x處的近似精度就越差，設計空間應在此處增加樣本點。代理模型更新流程如下。

輸出：第k次更新后的樣本Sk。

步驟1：開始。

步驟2：若k>n且σδ≤3%，轉步驟9。

步驟3：更新代理模型，獲得mass_new_KRG和freq._new_KRG。

步驟4：利用MOPSO獲得Pareto解和目標函數值，即（xk，f1，k）和（xk，f2，k）。

步驟5：以（xk，f1，k）和（xk，f2，k）為插值點集，構建mass_Pareto_KRG和freq._Pareto_KRG代理 模型、mass_EI和freq._EI函數。

步驟6：求解EI點mass_xnew和freq._xnew、EI點響應mass_xnew_f1，2和freq._xnew_f1，2。產生新樣本點。

步驟7：新樣本點過濾。若全部為重疊點，轉步驟4。

步驟8：樣本更新為Sk+1，k=k+1。轉步驟2。

步驟9：輸出優化解。

步驟10：結束。

該流程始于第一次獲得更新樣本之后。

步驟2是對填充采樣和樣本更新是否結束的判斷。若滿足要求，轉步驟9，輸出優化解。否則，在步驟3構建新質量模型mass_new_KRG和1階模態頻率模型freq._new_KRG。

步驟4采用MOPSO算法求解優化問題，獲得Pareto解和目標值，組成插值點集（xk，f1，k）和（xk，f2，k）。

步驟5和步驟6構建基于電池包質量和1階模態頻率KRG模型，即mass_Pareto_KRG和freq._Pareto_KRG。由式（9）構造質量和1階模態頻率的EI采樣函數，即mass_EI和freq._EI，期望函數最大的點即為兩個優化目標的EI采樣點，即mass_xnew和freq._xnew。進而獲得新樣本點（mass_xnew，mass_xnew_f1，2）和（freq._xnew，freq._xnew_f1，2）。

步驟7對新樣本點進行過濾。新試驗點若滿足式（10），則判定該點為重疊試驗點。

max{|xi，j-xnew|，|f1，j-f1，new|，|f2，j-f2，new|}≤ε（10）式中：xi，j、f1，i和f2，i分別表示已有樣本中第i個試驗點的第j個變量、質量和1階模態頻率，i=1，…，N，j=1，…，7；xnew，j、f1，new和f2，new分別表示新試驗點的第j個變量、質量和1階模態頻率響應；ε為給定閾值，文中取為10-3。若填充采樣點均為重疊試驗點，則轉入步驟4。

在步驟8中，將獲取新試驗點填充到原樣本Sk中，得到新樣本Sk+1。由算法流程可知，只需至少存在一個不重疊的填充采樣點，便可實施樣本更新?；氐讲襟E2中，若不滿足條件，則對代理模型進行更新。

3.5 優化終止條件

將同時滿足不少于試驗樣本更新次數n和不大于新增試驗點預測值相對誤差的標準差σδ作為收斂條件，其中n=10，σδ=3%。

4 優化結果分析與討論

使用測試函數ZDT1和ZDT3對EGO?MOPSO進行驗證［19-20］，并與MOPSO對比。隨后用于電池包結構多目標優化。優化計算均在同一條件下運行。其中，硬件：CPU?Intel Core i5?7360U，2.3 GHz，內存8 GB；軟件：Win10（64位）操作系統；MATLAB（R2020a）。

4.1 優化算法數值測試與驗證對比

4.1.1 測試1

ZDT1函數為

式中nx為變量個數，本例中取2。

初始樣本數取100，MOPSO種群規模取100，最大迭代數取20，非劣解存儲容量取30。經過3次加點，結果如圖6所示。

圖6 使用ZDT1函數驗證時的PF對比

4.1.2 測試2

ZDT3函數為

式中nx為變量個數，本例中取2。

初始樣本數取180，MOPSO種群規模取100，最大迭代數取40，非劣解存儲容量取50。經過4次加點，結果如圖7所示。

圖7 使用ZDT3函數驗證時的PF對比

從圖6和圖7看出：對于以ZDT1函數為代表、PF呈連續分布的優化問題，通過加點3次便能使優化結果快速收斂至真實PF附近；對于以ZDT3函數為代表、PF呈斷續分布的優化問題，在較少的初始樣本和迭代次數條件下，也能通過加點4次較快地靠近真實PF。

4.1.3 收斂性能和PF分布均勻性評價

多目標優化算法收斂性能、PF分布均勻性的常用評價指標［19］為反向世代距離（inverted generational distance，IGD）。IGD值越小，表明算法越好。沿用測試函數優化求解設置，隨機生成3組不同的初始樣本，每組樣本分別使用MOPSO和EGO?MOPSO進行優化求解10次。計算平均IGD和平均耗時；ZDT1和ZDT3函數分別按3次和4次加點驗證設計。

兩種算法的平均IGD和平均耗時如表3和表4所示。結果顯示，EGO?MOPSO的IGD值明顯占優，但求解耗時稍長。經分析，多消耗的求解時間主要花在EI點計算模塊，但這部分時間占比較小。在工程應用中，為尋求更高質量的IGD，特別是在提高計算機硬件性能的情況下，多消耗的這點求解時間是可接受的。

表3 兩種算法求解ZDT1的平均IGD和平均耗時

表4 兩種算法求解ZDT3的平均IGD和平均耗時

4.2 電池包結構多目標優化結果分析

經數值驗證有效后，將所提出的優化方法應用于某電池包結構多目標優化。

4.2.1 計算資源消耗

選取256個初始試驗點，樣本最大更新次數設置為10。優化過程一共產生12個EI采樣點，包括兩個質量采樣點和10個1階模態頻率采樣點，計算總耗時約230 min。其中，EI采樣點的物理響應須調用有限元分析，耗時較長。

4.2.2 EGO加點策略效果與收斂性分析討論

表5 為優化前后的代理模型精度對比。由表可見，使用該方法后，目標響應代理模型預測精度有較明顯的提高。決定系數分別增加到0.979 9和0.913 1，增加了2.4%和2.8%；均方根誤差分別減小到0.98 kg和0.14 Hz，減小了29.5%和6.7%，說明所用方法可有效提高代理模型精度。

表5 優化前后的代理模型精度

如圖8所示，使質量最小的EI點處，質量和1階模態頻率值僅在第5個試驗樣本循環中出現小幅波動，其余均相同。在EI點處的響應預測值也達到較高精度，相對誤差小且穩定；質量和1階模態頻率預測相對誤差標準差分別為0.001 3%和0.124%。

圖8 質量最優時EI點的預測相對誤差

如圖9所示，使1階模態頻率最大的EI點處的質量和頻率預測值在小幅波動后迅速收窄。在EI點處的響應預測值也達到較高精度，相對誤差較小且迅速趨于穩定；質量和1階模態頻率預測相對誤差的標準差分別為0.393%和1.05%。

圖9 1階模態頻率最優時EI點的預測相對誤差

圖10 給出了試驗樣本更新過程中第2、4、6、8、10次多目標優化的PF。圖中顯示，質量小于545 kg時，幾次迭代后的PF幾乎重合，這主要是由于使質量最小的期望改進很快趨于一致的緣故。在質量大于545 kg、1階模態頻率大于32 Hz后，PF出現了小幅震蕩，這主要是由于不斷新增了使1階頻率最大的期望改進樣本點的緣故。但隨著更新次數的增加，1階頻率最大的期望改進也很快接近一致，因此PF點也趨于平穩、均勻，并向第10次試驗樣本更新后的PF靠攏收斂。

圖10 多目標優化迭代過程中的PF

以上分析結果表明，本文所提出的優化方法能夠高效完成質量和1階模態頻率的設計域全局尋優和填充采樣。利用新試驗點更新代理模型，提高了模型精度。同時，隨著MOPSO的循環尋優，多目標優化解也逐漸趨向穩定。

4.2.3 多目標優化結果的分析與討論

如圖11所示，“MOPSO”代表加點之前的PF；“EGO?MOPSO”表示滿足收斂條件的PF；矩形框內的點是優于初始設計的優化值。結合驗證結果可以看出，使用EGO加點策略后，在不斷改善代理模型精度的同時，PF點逐漸趨于均勻和穩定。

以優于初始設計值為標準，選擇圖11中矩形框內“EGO?MOPSO”PF上的13個點作為初選目標值和優化解進行數據圓整，得到表6中的5組候選設計變量組合。

圖11 多目標優化PF及初始設計對比

表6 圓整后的優化設計變量值 mm

4.3 隨機振動工況下的優化解

根據“電動汽車用動力蓄電池安全要求”中規定的電池包隨機振動測試要求，選取表6中的5組優化解，按表7中載荷要求進行電池包結構強度分析。為高效完成分析，選擇工況最惡劣的Z向進行載荷加載，計算結果如表8所示。

表7 隨機振動載荷加載要求

表8 中第4組和第5組解在結構應力方面表現較好，且具有相同的最大結構應力。選擇質量較小的第4組解進行結構強度分析，電池包結構應力云圖如圖12所示。

表8 隨機振動工況下（Z軸）的優化解

圖12 第4組優化解對應的電池包結構應力云圖

圖12 中電池包結構整體應力水平較低，最大應力位于上箱蓋中后部。根據Steinberg應力三區間法理 論［21］，第4組 解 對 應 的 結 構 最 大3σ應 力 為138.777 MPa，小于材料屈服強度（180 MPa），可滿足隨機振動下結構強度的要求。

5 結論

（1）以電池包為研究對象，提出了基于EGO加點策略的多目標粒子群優化方法。數值驗證和優化分析結果表明，該方法實現了代理模型的高效更新，具有較好的收斂性和多目標優化值分布均勻性。

（2）基于EGO?MOPSO方法開展了電池包結構多目標優化和隨機振動分析。結果表明，隨機振動下的優化結構最大3σ應力為138.777 MPa，低于材料屈服強度，滿足強度安全要求；結構最大可減質量4.89 kg。

（3）通過測試函數和電池包結構多目標優化驗證，表明所提出的方法有效可行，可為復雜結構的多目標優化提供重要的參考。