一個幾何問題的代數思考

馬紀英 賈慧羨 姜文鵬

摘要：文章以一道幾何問題的三種解題思路為依托，融合正弦定理、塞瓦定理、三角函數、導數應用等幾何、代數、微積分內容為一體，反對解題思路的割裂，體現數學的關聯性，為數學的綜合應用提供思路。

關鍵詞：正弦定理;導數應用;塞瓦定理;融合

中圖分類號：O13文獻標識碼：A

Algebraicthinkingofageometricproblem

MaJiyingJiaHuixianJiangWenpeng

ShijiazhuangPostsandTelecommunicationsTechnicalCollegeHebeiShijiazhuang050021

Abstract：Basedonthreesolutionstoageometricproblem，thispaperintegratesthegeometry，algebraandcalculuscontentssuchassinetheorem，Ceva'sTheorem，trigonometricfunctionandderivativeapplication，opposestheseparationofsolutions，embodiestherelevanceofmathematics，andprovidesideasforthecomprehensiveapplicationofmathematics.

Keywords：sinetheorem;derivativeapplication;Ceva'sTheorem;fusion

在我們的學習過程中，無論是中學生還是大學生，一般幾何相對來說是一個稍顯封閉的學科。在初高中的平面幾何、立體幾何中，幾何問題是采用獨特的幾何證明方法或計算方法自行內部解決的;在高中和大學的平面解析幾何和立體解析幾何中，幾何問題開始與函數進行了結合，開始使用函數的形式或向量運算的形式表示直線、平面以及他們的關系或者一些具體的運算，更進一步是正弦定理、余弦定理或者行列式的表示和引入，總體來說，幾何問題在我們觸及的學習過程中與強大的微積分工具結合不是很深入。

文章引入的是一道直觀的幾何問題，但又不是純粹的幾何問題，也不是單純的解析幾何問題，解題過程中不同程度地涉及代數計算、函數推導、三角公式、導數應用等多方面內容，適用于多個數學分支的綜合應用。

1問題描述

如圖1，三角形ΔABC，D為ΔABC內一點，連接DA、DB、DC，已知∠DBA=30°、∠DBC=40°、∠DCA=50°、∠DCB=20°。問∠DAC=？

2解法一（正弦定理+解析計算）

正弦定理是三角學的一個基本定理，在三角形的代數運算中具有非常廣泛的應用，它的描述是：在任意一個平面三角形中，各角的正弦值和它所對應的邊的比值是相等的，并且它的倒數等于外接圓的直徑。也就是：

asinA=bsinB=csinC=2r=d

正弦定理最早可以追溯到13世紀阿拉伯數學家、天文學家納綏爾丁和15世紀德國數學家雷格蒙塔努斯的“同徑法”，也就是將三角形內角的正弦作為同半徑圓的正弦線，再使用三角形的相似性質計算出兩個正弦值之比和角的對邊之比相等。17到18世紀，我國數學家、天文學家梅文鼎和英國數學家辛普森又分別獨立對“同徑法”進行了簡化。19世紀，英國數學家伍德豪斯把半徑選取為1，把正弦線發展為比值的三角函數，最后得到了今天普遍采用的正弦定理表達式。

如圖2，令∠ADC=α，則∠ADB=360°-α-（180°-40°-20°）=240°-α，并且α∈（90°，130°）;又有∠ABC=∠ACB=70°，則ΔABC為等腰三角形，設AB=AC=a，AD=b。

在ΔACD內使用正弦定理，有：

asinα=bsin50°（1）

在ΔABD內使用正弦定理，有：

asin（240°-α）=bsin30°（2）

由（2）式得：

b=12asin（240°-α）

代入（1）式有：

asinα=12asin（240°-α）sin50°

整理有：

12sinα=sin（240°-α）sin50°（3）

=sin240°cosαsin50°-cos240°sinαsin50°

=-32cosαsin50°+12sinαsin50°

于是：

（12-12sin50°）sinα=-32sin50°cosα

tanα=-32sin50°12-12sin50°

計算，由：

sin50°≈0.766

可得：

tanα≈-5.6697

即：

α≈-79.99727°+180°k

k為整數。

從而α≈100.00273°，可以估算為α=100°。

代入（3）式中驗證：

右邊=sin（240°-100°）sin50°

=12（cos90°-cos190°）=-12cos190°