一類雙層小世界振子網絡的穩定性研究

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2021.08.007

摘? 要：研究了一類具有隨機長連接的雙層小世界振子網絡的穩定性。首先給出雙層小世界振子網絡的結構和矩陣表示，然后分析了網絡連接強度矩陣C的最大特征值γ1在數學期望意義下的取值，討論了雙層小世界振子網絡在無時滯和有時滯兩種情況下，系統平衡點穩定和不穩定時，矩陣C的最大特征值γ1需要滿足的條件。最后，給出了雙層小世界振子網絡的穩定性和不穩定性區域。

關鍵詞：雙層網絡;隨機長連接;時滯;概率;穩定性

中圖分類號：O157.5? ? ? ?文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2021）08-0024-03

Study on the Stability of a Class of Double-layer Small World Oscillator Network

ZHOU Jing

（College of Information Technology，Jilin Agricultural University，Changchun? 130118，China）

Abstract：In this paper，the stability of a class of double-layer small world oscillator network with random long connection is studied. Firstly，the structure and matrix representation of the double-layer small world oscillator network are given，and then the value of the maximum eigenvalue γ1 of the network connection strength matrix C in the sense of mathematical expectation is analyzed. The conditions of the maximum eigenvalue γ1 of matrix C need to be satisfied are discussed under the two conditions of the double-layer small world oscillator network without time delay and with time delay，and when the equilibrium point of the system is stable and unstable. Finally，the stability and instability regions of the double-layer small world oscillator network are given.

Keywords：double-layer network;random long connection;time delay;probability;stability

0? 引? 言

雙層網絡是普遍存在于我們生產生活中的一類比較簡單的多層復雜網絡，它是由兩個單層網絡通過固定的或是隨機的長連接耦合而形成的“網絡的網絡”，如神經網絡、代謝網絡、新冠病毒傳播網絡及交通網絡等一些網絡中都存在著兩個單層網絡的彼此連接和相互作用。近年來，關于雙層網絡的研究已經成為眾多學者的主要研究方向^[1-3]。在大多數的研究中，往往為了方便討論，通常假設雙層網絡的結構和節點間的連接方式是固定不變的，且不存在時滯。然而，在真實的雙層網絡系統中，網絡內部的結構和外部的干擾對雙層網絡的性能有著非常大的影響。特別地，雙層網絡節點間的長連接是一個網絡的重要標志，起著關鍵性的作用，因此，如果對雙層網絡節點間長連接的連接方式的研究更接近于實際網絡的長連接的話，將更有利于人們了解和掌握雙層網絡的結構特征和作用機理，為探索雙層網絡或更復雜的多層網絡的發展奠定良好的基礎。

目前，在雙層網絡的研究中，關于網絡的動力學行為的研究受到了國內外專家和學者們的廣泛關注，如穩定性問題、魯棒性問題、同步問題、分岔問題等。如張楠^[4]利用線性穩定性分析方法，討論了當雙層星型復雜網絡的層間耦合強度不同時，網絡的層間同步問題和層間耦合強度對同步穩定區域的影響;于東元^[5]研究了單層網絡具有相同拓撲結構的一類雙層復雜網絡的層內及層間同步問題，分析了鏡面波和反射波的層間相互作用的動力學原理;周晶^[6]探討了一類層間由固定的連接耦合而成的雙層振子網絡的穩定性和分岔問題，給出了網絡系統平衡點局部穩定性的判定條件和Hopf分岔存在的條件。但是，對于節點間具有隨機長連接，特別是網絡層間具有隨機長連接的雙層復雜網絡模型動力學方面的研究卻較少。本文考慮了一類具有隨機長連接的雙層小世界振子網絡，其網絡節點間的長連接是隨機的，且單層網絡的長連接概率和層間的長連接概率不是必須相等的，我們在以上條件下研究了雙層小世界振子網絡的穩定性問題。

1? 雙層小世界振子網絡的結構

本文考慮一類具有隨機長連接的雙層小世界振子網絡模型，其結構用以下微分方程表示：

這里，xi（t）表示第i個振子的位移，f（xi）表示一個非線性函數，滿足f（0）=0，f '（0）=1，τ≥0表示時滯，cij表示網絡的第i個節點和第j個節點之間的連接強度，如果兩個節點間不存在相互連接，則cij=0，如果兩個節點之間存在相互連接，則c_ij≠0，且c_ij=c_ji（i≠j）。雙層小世界振子網絡的結構示意圖如圖1所示，它是由A層和B層兩層網絡構成的，其中每一層網絡都是一個含有n個節點的Newman-Watts小世界網絡，圖中每個小圓圈代表網絡的一個節點，每一條實線或者虛線代表網絡的兩個節點之間的一個連接。單層小世界網絡的構建方式為：首先，在每個單層網絡上，建立一個含有n（n充分大）個節點的規則環形網絡，其中每個節點都與它左右各兩個節點相連，且每個節點都不與它自身相連。然后，在規則環形網絡的基礎上，以概率p₁（p₁=1）隨機的選取兩個節點用直線連接起來，形成小世界網絡的長連接。同時，兩個單層網絡的節點之間也存在著長連接，這里，設A層與B層網絡以概率p₂（p₂=1）隨機的選取兩個節點進行連接。本文規定雙層網絡的任意兩個節點之間的連接（包括規則連接和長連接）均是激勵的連接，圖中使用“+”來表示，如果節點i與節點j之間存在連接，則連接強度都是固定的常數，即c_ij=c_ji=k>0（i≠j）。本文規定，雙層網絡的任意兩個節點之間只有一條連接。

2? 雙層小世界振子網絡的局部穩定性

為討論雙層小世界振子網絡的動力學性質，將式（1）在零平衡點處進行線性化，可得：

這里，矩陣x=（x₁，x₂，…，x_2n）^T表示雙層網絡節點間的狀態矩陣，矩陣C=（c_ij）_2n×2n是一個隨機的實對稱矩陣，表示雙層網絡任意兩個節點間的連接強度構成的矩陣。由于規則環形網絡的連接是確定的，而單層小世界網絡的長連接和兩層網絡之間的長連接都是隨機的，所以，構成矩陣C的元素是比較復雜的。為了方便問題的研究，我們設單層網絡的節點數n充分大，則矩陣C就可以近似的表示為兩個矩陣V和W的和矩陣，即C=V+W的形式，其中V=（v_ij）_2n×2n是網絡固定連接的連接強度矩陣，W=（w_ij）_2n×2n是長連接強度矩陣。根據所構建的雙層小世界網絡模型的結構特點，可知矩陣C，V，W均為實對稱矩陣。

下面，我們討論雙層小世界振子網絡的穩定性。

顯然，當γ₁<1時，所有的特征值γ₁都滿足γ_i<1，（i=1，2，…，2n），此時λ_1，2的實部都是負數，式（1）所示的系統的平衡點是穩定的。因此，可以得出如下結論。

結論2：對于式（1）所示的無時滯的雙層小世界振子網絡，當網絡連接強度矩陣的最大特值γ_i<1時，系統的平衡點是穩定的;而當γ₁≥1時，系統的平衡點是不穩定的。

當時滯τ≠0時，通過文獻^[8]的研究發現，當網絡節點間的連接都是激勵的連接時，網絡的最大特征值γ₁首先離開穩定性區域。因此，如果網絡特征值的取值為最大值γ₁時，系統是穩定的，那么對于取其他小于γ₁的值時，系統也一定是穩定的。所以，只需討論最大值γ₁處系統的穩定性即可。考慮如下特征方程：

3? 結? 論

綜上，本文研究了一類具有隨機長連接的雙層小世界振子網絡的穩定性。首先我們給出了雙層小世界振子網絡的結構示意圖，它是一類以兩個單層的Newman-Watts小世界網絡為基礎，兩層節點之間以一定概率隨機連接的復雜網絡。在數學期望意義下，分析了網絡連接強度矩陣C的最大特征值γ₁=[（n-3）p₁+np₂+2]k。顯然，網絡節點間的連接強度k、單層網絡的節點個數n和長連接概率p₁、以及層間的長連接概率p₂都對γ₁的取值有著非常重要的影響。然后，分別討論了雙層小世界振子網絡在無時滯和有時滯兩種情況下，系統平衡點穩定和不穩定時，最大特征值γ₁需要滿足的條件。最后，給出了雙層小世界振子網絡的穩定性和不穩定性區域。通過以上討論和研究，有利于深入了解真實雙層復雜網絡的結構和性能，能夠為我們繼續探索多層復雜網絡的動力學性質奠定良好的基礎。

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作者簡介：周晶（1980—），女，漢族，吉林德惠人，講師，博士，研究方向：復雜網絡的動力學與控制。

收稿日期：2021-02-25

基金項目：吉林省教育廳“十三五”科學技術項目（JJKH20180636KJ）