時滯影響的兩輪自平衡小車的PID控制研究

南京林業大學 張子璇 解文周 臺永鵬

兩輪自平衡小車本質是一種倒立擺，其控制原理為關鍵技術。考慮控制器、傳感器、驅動電機在平衡控制中的延遲現象，建立了兩輪自平衡小車的動力學模型，采取PID控制算法和Smith預估校正模塊的平衡策略，通過Simulink進行仿真研究。討論了階躍與正弦信號下時滯對小車的影響以及PID的控制效果。發現在控制環節中加入Smith預估校正模塊，能有效減小時滯的影響，得到更好的控制效果。

兩輪自平衡小車是一個典型的靜態不穩定系統，具有控制靈活、結構簡單的特點。其本質是一種倒立擺，在控制領域常常作為典型的控制系統來研究。

目前兩輪自平衡小車的平衡控制，常用方法有模糊控制、遺傳算法控制以及PID控制技術等。模糊控制在參數整定上較困難而遺傳算法的計算量較大，在實時控制以及時滯的應用很難實現，通常用于離線狀態的參數優化設計。時滯是指信號傳輸過程中的延遲，是廣泛存在于自然界中的一種物理現象。文中考慮了控制器、傳感器、驅動電機在平衡控制中的延遲現象，主要研究階躍信號與正弦信號輸入對自平衡小車平衡控制的影響，并根據系統的魯棒性和響應性調節PID控制器的參數，加入Smith預估校正模塊以期獲得良好的控制效果。

1 兩輪自平衡車動力學模型

自平衡小車的平衡控制主要是針對前進時的前后傾倒。在實際過程中的運動十分復雜所以我們需要提出合理的假設：（1）不考慮零部件之間的摩擦力和內部能量損耗。（2）不考慮直流電動機空載阻轉矩，電動機輸出轉矩直接為電磁轉矩。（3）小車的車輪和車體均為剛體。如圖1示以兩輪軸線方向為y軸，車體前進方向為x軸，過車輪軸中點豎直向上為z軸，建立坐標系。圖中M為車輪質量，m為車體質量，L為質心到車輪軸線的距離，r為車輪半徑，Tc為外界給車體的轉矩，θ為車體轉過的角度，Mω為電機給車輪的轉矩，Mb為電機給車體的轉矩，φ為車輪轉過的角度，Ff為地面給車輪的摩擦力。Fx，Fy，Fz分別為車輪組件在x，y，z軸方向上給車體的力。對車輪和車體進行受力分析，電動機對小車車輪的扭矩與電動機對小車車體的扭矩大小相等，方向相反，即Mω=Mb=u。根據牛頓第二定律，得到動力學方程：

圖1 受力示意圖

其中A=Iω/r+mr+Mr，B=rmL，C=mL，D=Ib+mL2，E=mgL，Iω為車輪的轉動慣量，Ib為車體的轉動慣量。

2 兩輪自平衡小車的控制模塊的建立

文中兩輪自平衡小車被控對象為車身傾角，根據傾角傳感器檢測到的傾角，通過PID控制器來調節電動機帶動轉子盤旋轉，轉子盤對車身的反作用力矩使車身平衡。我們考慮時滯的影響建立PID控制仿真模塊并對其進行分析。可以根據系統的響應性和魯棒性調節PID控制器的參數。調節參數Kp=-275，Ki=0，Kd=-18時，系統的控制效果較好。當時滯較大時僅僅利用PID不能得到很好的控制效果，可以加入Smith預估控制模塊以期得到更好的控制。圖2所示為Smith預估控制模塊。

3 仿真分析

3.1 階躍信號下不同延遲時間的仿真分析

圖3(a)所示為作用1s的階躍信號得到不同延遲時間的角度變化曲線。圖中無延遲時最大的傾斜角度約為0.235rad，5.8s后逐漸平衡；延遲時間為0.006s時的最大傾斜角度為0.239rad，平衡時間為6s；延遲時間為0.02s時的最大傾斜角度為0.25rad，小車在8s后平衡。隨著延遲時間的增加，小車的最大傾斜角度增加，平衡所需要的時間也增大。圖3(b)所示為在上述階躍信號下加入預估控制模塊，延遲時間為0.02s時不同提前預估時間的角度變化曲線圖。圖中無預估控制時傾斜角度為0.25rad；預估時間為0.02s時最大傾斜角度為0.232rad，平衡時間約為6s；提前預估0.04s時傾斜角度為0.225rad，平衡時間約為5s。

圖3 角度變化曲線圖

3.2 正弦信號下不同延遲時間的仿真分析

圖4(a)為1s的正弦信號得到不同延遲時間的角度變化曲線。圖中沒有延遲時最大傾斜角度為0.047rad，5.8s后回平衡狀態；延遲時間為0.006s時最大傾斜角度為0.048rad，5.9s后回到平衡狀態；延遲時間為0.02s的最大傾斜角度為0.052rad，8s后回到平衡狀態。圖4(b)為在上述正弦信號下加入預估控制模塊，延遲時間為0.02s時不同提前預估時間的角度變化曲線圖。提前預估0.02s和0.04s的最大傾斜角度分別為0.048rad和0.044rad，平衡時間約為6s。與無預估控制時相比較傾斜角度和平衡時間都減小，得到了很好的控制效果。

圖4 角度變化曲線

二輪自平衡小車是靜態不穩定、動態穩定的系統，具有非線性、多變量等特點。本文采取PID控制的平衡策略，對時滯影響的兩輪自平衡小車進行了動力學建模并利用了PID控制，同時加入了Smith 預估校正模塊對其仿真分析。在階躍信號下，延遲時間為0.02s的最大傾斜度為0.25rad，平衡時間為8s。在正弦信號下，延遲0.02s時最大傾斜角度為0.052rad以及平衡時間為8s。由此知在該PID控制器的控制下小車受突然的外力，傾斜角度較小同時能在較短的時間內回到平衡狀態。此PID控制器的控制效果很好。加入了Smith預估控制模塊對時滯影響進行提前預估。隨著預估時間的相應增加小車的傾斜角度減小，回到平衡狀態的時間也縮短。Smith預估控制模塊使得小車的自平衡控制得到了很好的改善。