各向異性應力條件下大變形柱孔擴張彈塑性解析解

李雪苑

(中鐵第五勘察設計院集團有限公司，北京102600)

1 引言

經典孔擴張理論的研究未考慮初始應力各向異性對擴張機理的影響，對此Galin[1]、Detournay[2]引入了復變函數(shù)理論和保角變換技術，并分別推導了應力和彈塑性邊界（EP Boundary）的解析解。進而，周航[3]及Zhuang等[4]等在此基礎上，分別推導了雙軸應力下基于Tresca準則和摩爾-庫倫準則的半解析解，但基于摩爾-庫倫準則的解答并未建立起完整的應力-位移關系。綜上，有必要對基于摩爾-庫倫準則的應力各向異性柱孔擴張問題進行分析，建立完整的大變形壓力-擴張關系。

2 問題定義

圖1 為雙軸應力場下柱孔在無限不可壓縮土體中擴張的理論模型，定義σa為孔所受內壓力；σ0為初始豎向應力；K為各向異性應力系數(shù)。

圖1 雙軸應力場中的柱孔擴張模型

引入理論假設：孔的擴張近似視為平面應變問題；土的彈性區(qū)服從小應變條件，塑性區(qū)服從大應變條件；孔的邊界由徑向位移條件控制；土的變形以徑向位移為主，塑性區(qū)形狀保持不變。

3 服從摩爾-庫倫準則的彈塑性解

Galin指出，當理想彈塑性介質因孔的擴張形成完全包圍孔的閉合塑性區(qū)時，孔的擴張可視為彈、塑性區(qū)的邊值問題。

3.1 塑性區(qū)應力

對服從摩爾-庫倫準則的柱孔擴張問題，定義以下變量：

式中，c為土的有效黏聚力；φ為內摩擦角。Kp、Y、δ為內摩擦角φ的相關參數(shù)；p∞為初始平均應力；Sp為初始平均應力及內摩擦角的相關參數(shù)。

忽略體力分量，聯(lián)立土體平衡條件、屈服準則及應力邊界條件，可得塑性區(qū)應力分量表達式：

式中，σr，σθ為極坐標下的應力分量；a為擴張后的孔半徑；r為極坐標系下的徑向變量；σa為徑向孔內壓。

3.2 保角變換方程及彈塑性邊界

對彈性區(qū)的邊值問題，可采用Kolosov-Muskhelishvili提出的復變勢函數(shù)及保角映射方程通用形式求解彈塑性邊界映射方程：

式（4）～式（7）中，w(ξ)為保角映射函數(shù)；λ、β為映射方程的系數(shù)；ξ為像平面內的復變量；τ∞為初始平均剪應力；χ為映射參數(shù)；，ξp、，ξp分別為彈塑性邊界在像平面內的空間復變量及其共軛變量，彈塑性邊界在像平面內為單位圓，因此有ξpξp=1。

則物理平面內塑性區(qū)半徑可以表示為：

式中，rb為彈塑性邊界在物理平面中的半徑；w(ξ)為w(ξ)的共軛變量。

3.3 大變形壓力-擴張關系

若忽略環(huán)向位移，則彈塑性邊界處土的徑向位移可表示為：

式中，Δσrb、Δσθb分別為彈塑性邊界處的徑、環(huán)向正應力增量；G為土的剪切模量；urb為彈塑性邊界的徑向位移；E為土體的彈性模量；μ為泊松比。

假設土為不可壓縮介質，忽略徑向位移的高階小量，則體積守恒關系可表示為：

式中，Spla為塑性區(qū)的面積；f1（σa，θ）為孔內壓的函數(shù)；f1(σa)為函數(shù)f1(σa，θ）關于變量θ的平均值，如式(12)所示。

聯(lián)立映射參數(shù)χ、塑性區(qū)半徑rb及體積守恒關系，可得到孔內壓與孔體積變量的關系，即壓力-擴張關系：

達到極限狀態(tài)時，可認為比值a0/a收斂為0，則極限壓力可以表示為：

式中，σalim為雙軸應力下孔擴張極限內壓力。

4 結果分析

圖2 a給出了采用摩爾-庫倫準則的壓力-擴張關系曲線。曲線變化可劃分為急劇變化、緩慢變化和極限狀態(tài)3個階段，分別以擴張比a/a0=2.5/3.8為分界。當土體進入極限狀態(tài)，內壓力達到極限值。圖2 b給出了孔內壓隨參數(shù)K的變化曲線。以K=1.2為分界，孔內壓力隨K呈先增后減趨勢；當K＞2，曲線近似呈線性變化。同時，由于參數(shù)β受初始平均應力影響，區(qū)別于Tresca準則下的規(guī)律，K在0～2范圍內應力分布不具有對稱性。

圖2 摩爾-庫倫準則下極限孔內壓變化規(guī)律

5 結論和建議

本文利用復變函數(shù)保角變換理論，推導了雙軸應力場下服從摩爾-庫倫準則的柱孔擴張大變形壓力-擴張關系及極限內壓力半解析解。基于壓力-擴張關系的半解析解研究了初始應力條件對應力分布特性的影響。結果表明，在摩爾-庫倫準則下，極限孔內壓力達到最大值時，K大于1，且應力分布規(guī)律不具有對稱性。該半解析解進一步拓展了孔擴張理論的適用范圍，可應用在水平成孔的巖土工程中。