單元主題教學(xué)下《圓的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

文|郝曉鑫 宋美辰

部分教師習(xí)慣采用“課時教學(xué)”的形式進(jìn)行備課上課，這樣的形式，便于教師“吃透講透”某一節(jié)課，發(fā)揮教學(xué)活動的最優(yōu)化作用。但是，單一的課時教學(xué)割裂了單元知識的整體聯(lián)系，使知識變得碎片化，不利于學(xué)生系統(tǒng)化知識框架的建立，容易導(dǎo)致學(xué)生相對狹隘的知識視野，不利于培養(yǎng)學(xué)生的整體思考能力。相比較于課時教學(xué)，單元教學(xué)有著顯著的優(yōu)勢，它打破課時之間的界限，站在單元這一高層面上整合知識，借助各種探究手段，發(fā)揮知識遷移作用，促進(jìn)學(xué)生理解知識，最終指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。

【教學(xué)過程】

環(huán)節(jié)1：開門見山，明確圓面積的概念。

師：圓將平面分成三部分，圓內(nèi)、圓上和圓外。圓內(nèi)區(qū)域的大小就是圓的面積。圓雖是一個曲邊圖形，但有精確計(jì)算其面積的公式——S=πr2。這節(jié)課我們來研究、探討圓的面積公式，思考如何借助各種知識得到圓的面積公式。

【設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生明確圓面積是圓內(nèi)區(qū)域的大小，這是研究圓面積計(jì)算方法的前提。此外，課前的學(xué)情調(diào)研也表明，大多數(shù)學(xué)生知道圓的面積公式，能夠說出S=πr2，但是，圓的面積公式是如何推導(dǎo)出來的，大多數(shù)學(xué)生是一知半解的。因此，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)開門見山的將圓的面積公式告訴學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注如何借助學(xué)過的知識推導(dǎo)出圓的面積公式，突出本節(jié)課的重點(diǎn)。】

環(huán)節(jié)2：估算探路，確定圓面積的范圍。

師：在推導(dǎo)圓面積公式前，我們通過估算圓面積來初步驗(yàn)證圓面積公式的合理性。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生具備估算的意識和能力是課程教學(xué)的目標(biāo)；同時會估計(jì)給定圖形的面積是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的具體要求。在確定一個數(shù)學(xué)結(jié)論時往往先是通過估算進(jìn)行初步判斷其合理性，然后再進(jìn)行嚴(yán)格推理。因此，在推導(dǎo)圓面積公式前，通過估算探路是理論要求和教學(xué)實(shí)際的需要。】

師：圓面積公式S=πr2，它是圓周率π 和r2的乘積。r2會讓你聯(lián)想到哪個圖形的面積呢？你能在圓中畫出來嗎？

生：用圓規(guī)畫圓，半徑標(biāo)注為r。在圓中畫出正方形。（如圖1）

圖1

師：正方形面積和扇形面積的大小關(guān)系是什么？

生：扇形的面積小于正方形的面積。

師：你能構(gòu)造一個已經(jīng)學(xué)過的，并且其面積小于扇形面積的圖形嗎？請?jiān)趫D中畫出來。

生：我在扇形中畫出了直角三角形。（如圖2）

圖2

師：圓可以分成這樣的4 組（如圖3），請結(jié)合圓外切正方形和圓內(nèi)接正方形計(jì)算圓面積的范圍。

圖3

生：直觀看出圓外切正方形的面積＞圓的面積＞圓內(nèi)接正方形的面積。通過計(jì)算得出4r2＞圓的面積＞2r2。

師：通過公式求出的圓面積是否在此范圍中呢？

生：因?yàn)?＞π＞2，所以4r2＞πr2＞2r2，這與直觀觀察的結(jié)果是一致的，因此初步判斷圓面積公式是合理的。

【設(shè)計(jì)意圖：古代數(shù)學(xué)家曾用圓外切正多邊形和圓內(nèi)接正多邊形的面積無限逼近圓的面積，而“方中圓”和“圓中方”是研究圓面積過程中化曲為直、無限逼近的雛形。將圓外切正方形和圓內(nèi)接正方形生成的過程展現(xiàn)出來，能夠加深學(xué)生對它們的理解，為后續(xù)進(jìn)一步研究圓的面積打下基礎(chǔ)。】

環(huán)節(jié)3：多措并舉，無限逼近圓的面積。

師：六邊形ABCDEF 是圓內(nèi)接正六邊形，分別取弧AB、BC、CD、DE、EF、FA 的中點(diǎn)，依次標(biāo)記為A1、B1、C1、D1、E1、F1，依次連接這些頂點(diǎn)形成圓內(nèi)接正12 邊形。（如圖4）

圖4

師：圓內(nèi)接正六邊形的面積和正12 邊形的面積相比較，大小關(guān)系如何？

生：圓內(nèi)接正12 邊形的面積大于正六邊形的面積。

師：請你想象一下，通過這樣不斷地取弧的中點(diǎn)，構(gòu)成圓內(nèi)接正24 邊形、圓內(nèi)接正48 邊形……它們的面積會有怎樣的變化？與圓面積的大小關(guān)系如何？

生：當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加時，正多邊形的面積也隨著增加，其面積也更加接近圓的面積。

師：古代劉徽的割圓術(shù)就是增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，用正多邊形的面積去逼近圓的面積。現(xiàn)在將圓內(nèi)接正多邊形逼近法用組圖的形式展現(xiàn)給大家（如圖5～7）。

圖5 圓內(nèi)接正六邊形

圖6 圓內(nèi)接正12 邊形

圖7 圓內(nèi)接正18 邊形

師：下面請大家創(chuàng)造新的逼近方法，用組圖形式表達(dá)自己的想法。

方法一：三角形逼近法（如圖8～10）。

圖8

圖9

圖10

方法二：正方形網(wǎng)格逼近法（如圖11～13）。

圖11

圖12

圖13

方法三：增添法（如圖14～16）。

圖14

圖15

圖16

師：剛才大家通過不同的方法逐步逼近圓的面積，逼近的過程一直持續(xù)下去就會得到圓面積的精確值。

【設(shè)計(jì)意圖：直觀展示出圓內(nèi)接正多邊形的面積隨著邊數(shù)的增加而增加，不斷引導(dǎo)學(xué)生體會正多邊形的邊數(shù)越來越多時，它的面積也就越接近圓的面積，滲透極限思想。同時，展示多種不同的“割圓”方法，鼓勵學(xué)生嘗試不同方法進(jìn)行分割，體現(xiàn)算法的多樣化。此外，簡單介紹我國數(shù)學(xué)家劉徽及其數(shù)學(xué)成就，滲透數(shù)學(xué)文化。】

環(huán)節(jié)4：新舊銜接，推導(dǎo)圓面積的公式。

師：圓面積公式S=πr2能幫助我們精確求出圓面積，我們除了知道圓面積公式是什么，還需要探索其推導(dǎo)過程。大家對于面積公式的推導(dǎo)有什么經(jīng)驗(yàn)？

生：之前學(xué)習(xí)平行四邊形和三角形面積時，是將新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形進(jìn)行推導(dǎo)的。

師：那圓的面積能否轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形呢？大家嘗試?yán)靡韵聝商讓W(xué)具將它們近似地轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形。學(xué)具一是平均分成12 個扇形的圓形紙片（如圖17）。學(xué)具二是用圓環(huán)拼成的圓面（如圖19）。

圖17

方法一：利用等分成12 個扇形的圓形紙片轉(zhuǎn)化成平行四邊形（如圖18）。

圖18

圖19

師：怎么能讓轉(zhuǎn)化成的圖形更像平行四邊形呢？

生：當(dāng)?shù)确值姆輸?shù)越來越多時，扇形的曲邊就越接近直邊，拼出來的圖形就越像平行四邊形。

師：當(dāng)?shù)确值倪^程一直進(jìn)行下去，拼出來的圖形就會變成平行四邊形。

方法二：沿著圓面的一條半徑剪開，將圓環(huán)拼成的圓面轉(zhuǎn)化成三角形（如圖20）。

圖20

環(huán)節(jié)5：舉一反三，圓面積公式的運(yùn)用。

題目一：如圖21，有一個直徑為20 米的圓形花壇，要在花壇內(nèi)種植4 種花，每種花種植的面積是多少？（解答略）

圖21

題目二：如圖22，一個半徑為10 米的圓形草坪，準(zhǔn)備在草坪中一個半徑為8 米的圓形區(qū)域內(nèi)種植鮮花，求剩余草坪的面積是多少？

圖22

生：先計(jì)算出圓形草坪的面積S=πr2=3.14×10×10=314（平方米）；再計(jì)算出鮮花的占地面積S=πr2=3.14×8×8=200.96（平方米）；最后計(jì)算剩余草坪的面積314-200.96=113.04（平方米）。

【設(shè)計(jì)意圖：鞏固圓面積公式的同時，對接了扇形面積和圓環(huán)面積。】

【教學(xué)思考】

1.單元主題教學(xué)的優(yōu)勢在圓的面積中的兩點(diǎn)體現(xiàn)。

其一，圓面積推導(dǎo)邏輯更合理。在圓面積的推導(dǎo)過程中，課本編排將圓分割成一些完全相同的扇形，但是學(xué)生在此之前并沒有接觸過扇形，扇形的學(xué)習(xí)被安排到了圓面積之后進(jìn)行學(xué)習(xí)。而單元主題教學(xué)就是鼓勵教師打破原有的知識順序，重新構(gòu)建知識體系。因此將扇形的認(rèn)識放在了圓面積教學(xué)之前。

其二，圓面積推導(dǎo)方式更豐富。此外，課本中只安排了將圓分割成扇形這一種方式來推導(dǎo)圓面積公式，而將圓分割成圓環(huán)也是圓面積公式推導(dǎo)的一種方法，多種方式去探究圓面積公式的由來有助于加深學(xué)生的理解，拓展學(xué)生的思維。但是課本中圓環(huán)的學(xué)習(xí)安排在圓面積之后。因此，利用單元主題教學(xué)的思路，將圓環(huán)的初步認(rèn)識提前學(xué)習(xí)。

2.如何在圓面積教學(xué)中為小學(xué)生滲透極限思想。

極限是一個固定的數(shù)，它是無限逼近的終點(diǎn)。利用圓面積公式求出的數(shù)是圓面積的精確值，也就是無限逼近的極限值。在環(huán)節(jié)一中就明確指出了這一點(diǎn)。

學(xué)生理解極限的前提是理解無限，而在圓面積公式的探索過程中，學(xué)生所做的操作都是有限的，將這個分割的過程無限地進(jìn)行下去需要學(xué)生去想象，這正是極限思想的難點(diǎn)所在。要想讓學(xué)生初步感受極限思想，就要讓學(xué)生多次想象無限逼近的過程。環(huán)節(jié)3 通過不同的方法逼近圓的面積，每種方法后都提到當(dāng)這樣的操作過程一直持續(xù)下去時它們的面積就會等于圓的面積。在環(huán)節(jié)4中，圓要轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形，由“像”到“是”的過程，就是從“有限”到“無限”的過程。

（“第十三屆小學(xué)教學(xué)特色設(shè)計(jì)大賽”獲獎作品選登）