順邏輯而教 依心理而學
——以《平行與垂直》教學為例

文|馮舒瑩

《平行與垂直》是小學數學的經典課例，研究的教師比比皆是。在《小學教學設計》2020年11月刊“典型課例”欄目中就刊登了張森、居曉紅老師關于這節課同課異構的兩篇課例，著名特級教師劉松對這兩節課進行了深度點評，閱讀下來感悟很深。張老師借助智慧課堂技術，致力于發展學生的空間觀念；居老師從學生知識起點出發，引導學生經歷數學抽象的學習歷程。仔細分析兩位老師的課堂，除了都是精彩紛呈、各有巧思之外，還有一個最大的區別：張老師先教平行后教垂直，居老師則先教垂直后教平行。對此，劉松老師在點評中這樣說：“基于兒童視角，平行與垂直這兩個抽象概念中垂直更直觀可檢驗，學生會更容易掌握，但人教版等教材均是先學平行（不相交）后學相交和特例（垂直），這不是教學設計的絕對順序，也不是課堂教學的唯一選擇?！?/p>

平行與垂直是并列的兩個概念，不同的教學順序具體有怎樣的區別呢？為了弄清楚這個問題，根據張老師和居老師的課例，我整理出兩種教學流程：

同一平面內兩直線的位置關系可分為相交、不相交與重合。相交研究兩直線的角度，不相交（平行）研究兩直線間的距離，重合既沒有角度也沒有距離，因此一般不研究。

兩種教學順序都抓住了同一種重要但學生易混淆的模型，即看似不相交但延長后會相交的兩直線，以凸顯平行與垂直的最大區別——相交，以“相交”為概念起點，之后教學順序走向分流。下面分別摘錄了張老師和居老師課例的教學片斷，試圖分析兩種不同順序的教學邏輯。

【教學片斷1】

師：③號圖形看似不相交，實際則相交。那④號圖形延長后，會不會相交？

（學生猜想后，在平板電腦上驗證）

師：無限延長都不會相交嗎？

生：都不會。

師：除了延長，是否會相交還可以怎么看？

生：還可以看它們之間的距離。

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師：通過剛才的分類辨析，我們知道同一個平面內，兩條直線的位置關系分為相交和不相交兩種。不相交的這兩條線叫做平行線。

在學生已經猜想驗證兩條直線是否相交后，張老師直接驗證平行，前后任務銜接非常自然，學生能馬上猜想操作，思維沒有停滯，這是因為這一過程符合邏輯。判斷平行與垂直的鑰匙在于“相交”。由“相交”到“垂直”的過程需經歷尋找特殊位置關系的一步，不能直接跳躍到“垂直”。而到“平行”卻只要否定就能直接指向目標。以“相交”為判定標準，按照教材從否定方向推出“平行”的概念，思維可以一步到位，遵循的是一種更加簡潔明晰的邏輯順序。

【教學片斷2】

教師講解“相交”和“交點”的概念。

師：仔細觀察這五組相交的直線，你發現了什么相同點和不同點？

生1：每一組直線都相交，都有一個交點。

生2：兩條相交的直線會形成一個角，每一組角的大小都不同。

學生驗證直角，教師小結垂直的概念。

居老師是為數不多先教垂直的。找相交直線的不同時，學生馬上分析角度不同，抓住了垂直的本質，這是因為角與角度是學生已有的認知，學生在本冊第三單元剛學過角的度量，對再次出現的角度比較敏感，能馬上調動起相關經驗，對平行則較為陌生；從操作簡易程度來說，相較于驗證平行要測量距離，驗證垂直僅需一把三角尺或量角器，操作時學生更為輕松、迅速，表達時更加自如、規范，能將抽象的概念層層內化。同時，按照皮亞杰同化與順應的理論，新知識的學習可以被舊知識包容，也可以順著已有知識延伸生長，由熟悉的“相交”“直角”到新知識“垂直”，符合學生的認知規律。

結合上述分析可以發現，兩種教學順序分別從教學內容的內在邏輯和學生心理特點、認識能力兩方面考量，安排教學順序，看似過程相左，實則殊途同歸。

教學順序是教學邏輯的體現，數學是一門邏輯性很強的學科，知識體系具有嚴謹的系統性，故而數學教學的邏輯非常重要。因此，依據以上分析與思考，結合數學知識邏輯和學生心理發展的特點，筆者認為在數學教學時應該處理好以下三種關系：

1.各個教學內容之間的邏輯關系。

在教學圖形與幾何時，不能割裂地看待各個教學內容，不僅要注重對每一個教學內容的準確理解，還要關注該教學內容在整個知識系統中的位置以及它們之間的關系。這種關系一方面體現在一節課的教學內容在其所處的學科知識中的結構關聯性；另一方面體現在前后教學內容之間的聯系上。以點、線、面、體的邏輯關系為例，點動成線，線動成面，面動成體，四者關系密切。但因為課時、學段、教學內容的劃分等多種原因，無法一次性連貫地把相關知識教授完畢，那么在教學相關內容時，應有意識地互相滲透、互相溝通。

2.教學內容自身的邏輯關系。

教學內容不管是陳述性知識還是程序性知識，都需關注其自身的邏輯關系，學生以這種邏輯將新知識融合匹配到原有的認知結構中。以《平行與垂直》為例，“相交”就是知識點之間的邏輯連接，不能跳過“相交”孤立地來看“平行”“垂直”，故本課所有課例都先拋出相交的概念，借由這一邏輯連接，后續知識才能一一銜接，學生的知識體系才能環環相扣、越來越完善。

計算教學同樣也有自身的邏輯關系，以乘法為例，乘法以同數連加為現實模型，各個版本教材都是以加法作為邏輯連接，浙教版教材更是在一年級連續教學加法與乘法。這告訴我們對數學內容的理解要環環相扣、層層遞進，切不可跳躍式教學。

3.學生心理特點和認知能力與教學順序的關系。

學生是教與學互動中的主體，教學順序要依據學生的心理特點和認知發展規律，遵循由簡單到復雜、由具體到抽象、由低級到高級螺旋上升的過程。教學中要處理好學生心理特點和認知能力與教學順序的關系。第一，要考慮同一學生在不同階段呈現的心理特點和認知能力。第二，要照顧學生群體間認知水平的差異，制定個性化難度適宜的教學活動，因材施教。

以上對《平行與垂直》教學順序的思考，提醒我們：課堂教學不僅要理清教學的邏輯，也需要關注學生的心理特點，順邏輯而教，依心理而學，才能事半功倍。