重組知識結(jié)構(gòu) 設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)序列
——《分?jǐn)?shù)、小數(shù)的初步認(rèn)識》整合實(shí)踐與反思

文|邵 虹（特級教師） 管淑芬

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，存在兩種結(jié)構(gòu)。一種是數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系所構(gòu)成的知識結(jié)構(gòu)；另一種是學(xué)生頭腦中逐漸形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。新知識只有與學(xué)生的原有知識建立聯(lián)系，產(chǎn)生了相互作用后，才能幫助學(xué)生更好地理解新知識。基于以上觀點(diǎn)，浙教版《數(shù)學(xué)》三年級下冊第四單元《豐收的果園——分?jǐn)?shù)、小數(shù)的初步認(rèn)識》，改變了原來的教材結(jié)構(gòu)體系，著眼于數(shù)學(xué)知識的邏輯順序與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展順序之間的關(guān)系，對數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整與重組，構(gòu)建利于教與學(xué)的新序列。

一、單元教材解讀

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要的數(shù)概念，而小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，是十進(jìn)制記數(shù)向相反方向延伸的結(jié)果，學(xué)生生活中小數(shù)的經(jīng)驗(yàn)要比分?jǐn)?shù)多。

1.知識序列分析。

教材的知識結(jié)構(gòu)影響著知識展開的方式，從結(jié)構(gòu)的視角去改變知識的分割狀態(tài)，讓學(xué)生在知識的有機(jī)聯(lián)系中學(xué)習(xí)。浙教版《數(shù)學(xué)》將分?jǐn)?shù)與小數(shù)的認(rèn)識穿插安排：三年級下冊，借助數(shù)形結(jié)合初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)和小數(shù)，進(jìn)行直觀運(yùn)算；四年級下冊，從最初直觀的“份數(shù)”定義過渡到“商”的定義，并把分?jǐn)?shù)分為真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)；五年級上冊，通過十進(jìn)分?jǐn)?shù)理解小數(shù)的意義，掌握小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和小數(shù)的數(shù)位順序；五年級下冊，理解分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)的等值性質(zhì)，以“位值制”為基本線索更清晰地揭示出分?jǐn)?shù)、小數(shù)的本質(zhì)意義。而分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上都屬于相同計(jì)數(shù)單位個數(shù)的整數(shù)運(yùn)算。（見圖1）

圖1 分?jǐn)?shù)與小數(shù)知識體系思維導(dǎo)圖

2.單元內(nèi)容分析。

《豐收的果園》是浙教版三年級下冊第四單元的教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，對單元內(nèi)容和課時安排的順序進(jìn)行重組。

圖2《豐收的果園》單元目錄

教材將分?jǐn)?shù)、小數(shù)的初步認(rèn)識安排在同一個單元，它們是學(xué)生接觸的數(shù)域第一次突破了整數(shù)的范圍，同時整數(shù)的認(rèn)識、計(jì)算方法都能夠有效地遷移到分?jǐn)?shù)和小數(shù)中。教材利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從幾分之一到幾分之幾，突出對分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識。借助數(shù)形結(jié)合、折紙和涂色等活動，直觀地認(rèn)識和的關(guān)系，進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)的簡單運(yùn)算。創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境引導(dǎo)學(xué)生感知從單位“1”的均分到整體“1”的均分。引用“歸一”的思路求一個數(shù)的幾分之幾是多少的內(nèi)容，加深對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法奠定基礎(chǔ)。小數(shù)的初步認(rèn)識強(qiáng)調(diào)計(jì)數(shù)單位的意義，結(jié)合情境教學(xué)小數(shù)的大小比較與簡單計(jì)算，同樣與整數(shù)的知識作了溝通，真正使知識網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化。

二、學(xué)情診斷數(shù)據(jù)分析

1.前測試卷設(shè)計(jì)。

為更精準(zhǔn)地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，我們設(shè)計(jì)了（三年級下冊《豐收的果園》單元前測卷）對學(xué)生進(jìn)行了前測。試卷旨在測試學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的簡單計(jì)算、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、小數(shù)的意義等知識的了解情況。

圖3《豐收的果園》單元前測卷

2.測試結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析。

杭州市某小學(xué)三年級132 名學(xué)生參與了前測，以課堂作業(yè)的形式讓學(xué)生在15 分鐘內(nèi)獨(dú)立完成，教師不作任何干預(yù)。測試后各小題的正確率如下：

（1）分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識。

題目1 作答人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

人數(shù)百分比舉例4836.4%畫圖4433.3%文字3224.2%沒聽說過86.1%

從表中看出，93.9%的學(xué)生聽過分?jǐn)?shù)，能用舉例、畫圖、文字來表示。其中，舉例說明的學(xué)生人數(shù)較多，比如“就是一個蘋果的一半”“5 角就是1 元的”。33.3%的學(xué)生采用畫圖說明，圖示以“將圓平均分成若干份表示其中一份”為主。24.2%的學(xué)生選用文字表示，提到了分?jǐn)?shù)的讀法和寫法，也有個別學(xué)生把二分之一寫成“”。綜上，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識不是一張白紙，但是缺乏對分?jǐn)?shù)意義的理解。后繼教學(xué)應(yīng)更多地采取動手操作、實(shí)物演示、圖形直觀等教學(xué)方式。

題目2 正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

人數(shù)百分比1 2 個5642.4%0.5 個43%一半64.5%4332.6%圖示其他錯誤答案2317.4%畫圖images/BZ_15_1219_3039_1440_3132.png

（2）看圖寫分?jǐn)?shù)。

正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

題1題2人數(shù)百分比典型錯例人數(shù)百分比典型錯例128 97%52 39.4%images/BZ_15_1807_1198_1877_1306.pngimages/BZ_15_2100_1217_2227_1294.png

從表中看出，第1 題在直觀圖示幫助下，97%的學(xué)生能正確寫出“幾分之一”，個別學(xué)生出現(xiàn)錯誤的主要原因是對整體1 的感知不夠。相比幾分之一，學(xué)生正確寫出“幾分之幾”的人數(shù)比較低。后繼教學(xué)，要重視結(jié)合具體實(shí)物，揭示部分與整體之間的關(guān)系。

（3）分?jǐn)?shù)的計(jì)算。

正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

題1.1題1.2題2.1人數(shù)百分比人數(shù)百分比人數(shù)百分比95 72% 89 67.4% 46 34.8%典型錯例題2.2人數(shù)43百分比32.6%images/BZ_15_1600_2417_1735_2501.pngimages/BZ_15_1773_2416_1907_2503.pngimages/BZ_15_1934_2420_2073_2492.pngimages/BZ_15_2093_2418_2255_2495.png

從表中看出，近70%的學(xué)生能夠進(jìn)行簡單分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算，近30%的學(xué)生嘗試進(jìn)行分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法運(yùn)算。但實(shí)質(zhì)上學(xué)生并非都是理解分?jǐn)?shù)意義后進(jìn)行運(yùn)算，所以在后繼教學(xué)中要重視分?jǐn)?shù)的意義和乘法的意義教學(xué)。

（4）小數(shù)的認(rèn)識。

題目1 正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

題1人數(shù)百分比典型錯例9168.9%題2人數(shù)百分比典型錯例8161.4%images/BZ_16_484_513_793_567.pngimages/BZ_16_493_726_798_780.png

從表中看出，60%的學(xué)生能正確理解分?jǐn)?shù)與元、角、分之間的關(guān)系，可見學(xué)生已經(jīng)有購買物品的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，對于貨幣中的小數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)比較豐富。建議在“小數(shù)的初步認(rèn)識”時，充分利用“人民幣制”模型展開教學(xué)，而在綜合應(yīng)用中要引入“米制”模型加深小數(shù)意義的理解。

題目2 正確人數(shù)統(tǒng)計(jì)分析：

空格1人數(shù)百分比典型錯例6146.2%空格2人數(shù)百分比典型錯例5138.6%images/BZ_16_494_1714_789_1772.pngimages/BZ_16_484_1937_795_1989.png

從表中看出，學(xué)生對整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的知識遷移稍有難度。在小數(shù)的認(rèn)識過程中，有必要讓學(xué)生溝通小數(shù)與分?jǐn)?shù)和整數(shù)的聯(lián)系，并且充分經(jīng)歷計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生以及計(jì)數(shù)單位的累加過程。

三、單元教材整合重構(gòu)

1.單元目標(biāo)定位。

基于以上學(xué)情，本單元內(nèi)容主要涉及兩方面：（1）數(shù)的認(rèn)識；（2）數(shù)的運(yùn)算。數(shù)概念的教學(xué)，從用熟悉的自然數(shù)表示事物的量引入，當(dāng)自然數(shù)不能表示數(shù)量時，需要一種新的數(shù)，感知分?jǐn)?shù)、小數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際意義。分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識首先著眼于具體“量”的理解，再引出分?jǐn)?shù)的“率”的含義，能正確把握分率和對應(yīng)量之間的關(guān)系。在數(shù)的運(yùn)算中，主要有加、減、乘這三種運(yùn)算，借助直觀圖示，通過計(jì)數(shù)單位以及計(jì)數(shù)單位的個數(shù)進(jìn)行聯(lián)通。最后是問題解決，用歸一問題的方法解決“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題。所以我們發(fā)現(xiàn)本單元的立足點(diǎn)其實(shí)就是：理解分?jǐn)?shù)與小數(shù)的含義，凸顯計(jì)數(shù)單位的價值。

2.單元課時整合。

綜上，在實(shí)際教學(xué)中對目前的教材編排結(jié)構(gòu)作適度調(diào)整。（見文末表1）

（1）認(rèn)識幾分之一：從一塊地的一半、一個西瓜的一半、一個圖形的一半引出，初步感知一塊地的與一個圖形的實(shí)際意義是不同的，但又是等價分?jǐn)?shù)。掌握幾分之一的讀法和寫法，初步理解分?jǐn)?shù)單位的意義。在認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過折紙操作進(jìn)一步認(rèn)識其他單位分?jǐn)?shù)。同時借助直觀圖示，讓學(xué)生感受“分?jǐn)?shù)是一個數(shù)”，它與整數(shù)一樣可以比較大小和進(jìn)行四則計(jì)算。比如，2 個合起來是；把平均分成2 份，每份是；將進(jìn)一步均分，可以得到2 個等等。

（2）認(rèn)識幾分之幾：首先借助對一個圖形的分析與觀察，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識幾分之幾。從單個“1”的平均分到整體“1”的平均分，引導(dǎo)學(xué)生從一個物體表示單位“1”過渡到用單位“1”表示整體，逐步擴(kuò)展對單位“1”的認(rèn)識。

（3）分?jǐn)?shù)加法與乘法：溝通同分母分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)加減法的關(guān)聯(lián)，突出相同計(jì)數(shù)單位直接相加的本質(zhì)，理解分?jǐn)?shù)的運(yùn)算算理。

“簡單分?jǐn)?shù)運(yùn)算”教學(xué)，改變了以往指令式教學(xué)，以引導(dǎo)學(xué)生自主探究作為教學(xué)的根本出發(fā)點(diǎn)，充分利用“樹形圖”這一數(shù)學(xué)材料展開數(shù)學(xué)思維教學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了具有較大探究空間的教學(xué)活動——如：“說一說，填一填。”怎樣計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加法？它的運(yùn)算方法是怎樣的？……這些內(nèi)容教師都不越俎代庖，留給學(xué)生自主探究，自主思考的時間和空間。

（4）分?jǐn)?shù)大小比較與減法：引導(dǎo)學(xué)生抓住分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)來理解探究大小的比較，通過三個分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，比較加減法，揭示“分?jǐn)?shù)單位”個數(shù)參與運(yùn)算的本質(zhì)。

（5）應(yīng)用問題：用整數(shù)的方法——“歸一思路”求一個數(shù)的幾分之幾是多少，一方面鞏固分?jǐn)?shù)意義的理解，另一方面為后繼學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

（6）分?jǐn)?shù)拓展課：通過直觀演示，從最初的“把一個物體平均分成若干份，表示這樣1 份”的“份數(shù)”定義過渡到“一個數(shù)除以另一個數(shù)”用“商”定義的過程，滲透分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系。拓展將多個物體看作一個整體，用“1”表示，在平均分的過程中進(jìn)一步感知部分與整體的關(guān)系；在已知分率關(guān)系取相應(yīng)圖形個數(shù)的開放題中，理解單位“1”的真實(shí)意義。

（8）認(rèn)識小數(shù)（二）：通過真實(shí)問題的解決，掌握小數(shù)比較大小的方法，進(jìn)行一位小數(shù)的加、減法。借助幾何直觀模型，對比1 與0.1、0.01、0.001 之間的關(guān)系，溝通整數(shù)、小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，經(jīng)歷計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生過程。

附：表1 單元教材結(jié)構(gòu)對比表