余撓對與余傾斜模

吳德軍, 移晨剛

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

傾斜模與余傾斜模是同調(diào)代數(shù)與代數(shù)表示論的重要研究對象.傾斜理論最早出現(xiàn)在Bernstein等[1]證明Gabriel定理中,提出了反射函子和Coxeter函子,并給出了傾斜模的相關(guān)定理.Brenner等[2]給出了傾斜模的定理.傾斜模在對偶函子的作用下即為余傾斜模,傾斜模與余傾斜模是代數(shù)表示論中一個重要的分支.

余撓對是由Salce在阿貝爾群范疇[3]和在模的近似理論的深入研究中提出[4].記KC=A∩B是余撓對C=(A,B)的核.設(shè)M是R-模.則ProdM表示同構(gòu)于模M的直積的直和項(xiàng)所構(gòu)成的模類.對于任意的余撓對C=(A,B),若A是余傾斜類,則對n-余傾斜模C,KC=ProdC[4].汪建等[5]給出了完備遺傳余撓對的核是傾斜模的直積的直和項(xiàng)的充分條件.受此結(jié)論的啟發(fā)，本文給出完備遺傳余撓對的核是余傾斜模的直積的直和項(xiàng)的充分條件.

1 預(yù)備知識

在本文中,R是具有單位元的任意環(huán),R-Mod是左R-模范疇.先給出涉及到的一些符號、定義和性質(zhì),參見文獻(xiàn)[4,6].

符號.設(shè)C是R-Mod的全子范疇,n是非負(fù)整數(shù).類C⊥,⊥C,C⊥∞和⊥∞C的定義如下：

對于C={C},用C⊥,⊥C,C⊥∞和⊥∞C依次代替{C}⊥,⊥{C},{C}⊥∞和∞⊥{C}.

余撓對.設(shè)A和B是在R-Mod中的類.稱E=(A,B)是余撓對[3-4],若滿足A=⊥B,且B=A⊥.

設(shè)C是模類,則C?⊥(C⊥),且C?(⊥C)⊥.若E=(A,B)是余撓對,則稱KC=A∩B為C的核.

稱余撓對(A,B)是完備的[4],若滿足下面兩個條件中的一個條件:

1) 對任意的R-模M,存在正合序列0→M→B→L→0,其中B∈B,且L∈A.

2) 對任意的R-模M,存在正合序列0→D→C→M→0,其中C∈A,且D∈B.

純內(nèi)射模.稱左R-模M是純內(nèi)射模[6],若對每個R-模的純正合列0→T→N,有Hom(N,M)→Hom(T,M)→0是正合的.用PI表示純內(nèi)射模類.顯然,每個內(nèi)射模是純內(nèi)射模.

引理1設(shè)R是環(huán),M是純內(nèi)射模.則(⊥∞M,(⊥∞M)⊥)是完備遺傳余撓對.

在下文中,對于R-模M,記KM=⊥∞M∩(⊥∞M)⊥.由引理1知,C=(⊥∞M,(⊥∞M)⊥)時,KC=KM.關(guān)于余撓對更詳細(xì)的內(nèi)容,可參考文獻(xiàn)[4,6].

Gorenstein內(nèi)射模.稱R-模G為Gorenstein內(nèi)射模[7],若存在內(nèi)射模正合序列

使得

1)G?ker(f0);

2) 對任意的內(nèi)射模L,HomR(L,E)是正合的.

顯然,每個ker(fi)和coker(fi)都是Gorenstein內(nèi)射模.

設(shè)n是非負(fù)整數(shù).R-模G的Gorenstein內(nèi)射維數(shù)GidRG≤n當(dāng)且僅當(dāng)存在R-模正合序列0→G→G0→…→Gn→0,其中Gi是Gorenstein內(nèi)射模,0≤i≤n[7].由文獻(xiàn)[7]命題2.7知,R-模G∈GIn當(dāng)且僅當(dāng)G的第n個上合沖Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模.由文獻(xiàn)[7]定理2.29知,若idRM<∞,則GidRM=idRM,并且任意的內(nèi)射維數(shù)有限的Gorenstein內(nèi)射模是內(nèi)射模.

以下,GIn={G|GidRG≤n,G∈R-Mod}.若R-模G∈GIn當(dāng)且僅當(dāng)G的第n個上合沖Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模.

引理2設(shè)G是R-模,M是純內(nèi)射模,n是非負(fù)整數(shù).則下述論斷成立：

2) 若G∈In,則(⊥∞G)⊥?In.

3) 若M∈GIn,則(⊥∞M)⊥?GIn.

強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模[9].若存在內(nèi)射R-模的正合序列

滿足:

(1)M?ker(f)；

(2) 任意的內(nèi)射R-模L,用Hom(-,L)作用上面正合序列仍保持正合,則稱M是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模.

由上面定義知,所有的內(nèi)射R-模是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模在直積下封閉.文獻(xiàn)[9]定理2.7,證明了一個R-模是Gorenstein內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)它是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模的直和項(xiàng).通過該證明過程，可以給出下面的引理.

R-Mod的全子范疇C稱為厚子范疇,若C在直和項(xiàng)下封閉,并且具有三分之二性質(zhì):對R-模正合序列0→A→B→C→0,其中任意兩項(xiàng)在C中,則第三項(xiàng)也在C中[10].

內(nèi)射余撓對[11].設(shè)A是有足夠多內(nèi)射模的阿貝爾模范疇.稱完備余撓對(W,F)是內(nèi)射余撓對,若滿足W是厚子范疇,且W∩F與內(nèi)射模對象的類一致.

引理4對于任意的強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射R-模N,下述論斷成立：

1)⊥N是R-Mod的厚子范疇；

2) 若N是純內(nèi)射模,(⊥N,(⊥N)⊥)是內(nèi)射余撓對.

2) 由文獻(xiàn)[4]推論3.2.12知，(⊥N,(⊥N)⊥)是完備余撓對.另一方面，由1)知⊥N是厚子范疇.又因?yàn)閮?nèi)射模是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,所以由文獻(xiàn)[11]命題3.6即證.

余傾斜模.左R-模C稱為余傾斜模[4],如果滿足：

(C1) idRC≤n;

(C3) 存在r≥0和長正合序0→Cr→…→C0→W→0，其中Ci∈ProdC,i≤k,W是R-Mod的內(nèi)射余生成子.

若n≤ω,并且C∈In的余傾斜模,則C稱為n-余傾斜模.類⊥∞C(?R-Mod)是由C誘導(dǎo)出的n-余傾斜模類.顯然,(⊥∞C,(⊥∞C)⊥)是遺傳余撓對,稱為由C誘導(dǎo)的n-余撓對.由文獻(xiàn)[12]定理4.2的證明，可以得到下面的引理.

引理5設(shè)C=(A,B)是環(huán)R上的完備遺傳余撓對.若A是n-余傾斜模,則對于余傾斜R-模C,有KE=ProdC.

2 主要定理的證明

引理6設(shè)G是R-模,n是正整數(shù).則下列條件等價：

1) GidRG≤n;

2) 存在R-模正合序列

其中:idREj≤n,使得對任意的內(nèi)射R-模L,有

2)?1) 要證明GidRG≤n,即證明Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模.考慮正合序列0→coker(fm+2)→Em→coker(fm+1)→0.由文獻(xiàn)[6]引理8.2.2知,可以構(gòu)造交換圖,如圖1所示.

其中:行和列都是正合的,Ft,k是內(nèi)射模.因?yàn)閷λ械膎≥0,idREm≤n,所以Ω-nEm是內(nèi)射模.記Ω-nG=Ω-ncoker(f1),則有下面正合的交換圖,如圖2所示.

圖1 交換圖

Fig.1 Commutative diagram

…→Ω-nEm→Ω-nEm-1→…→Ω-nE0→Ω-nG→0

Ω-ncokerfm+1

0 0

圖2 交換圖

Fig.2 Commutative diagram

引理7設(shè)R是環(huán),C=(A,B)是R-模完備遺傳余撓對.如果KE?In,B?GIn和G∈B,那么存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模N∈B,使得Ω-nG是N的直和項(xiàng).

證明設(shè)G∈B,因?yàn)?A,B)是完備余撓對,所以存在R-模正合序列

Ω-ncokerfm+1

0 0

其中:coker(h-j)是Gorenstein內(nèi)射模,并且coker(h-j)∈B,j≥1.另一方面，Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模,且Ω-nG∈B,所以存在R-模正合序列

其中:Ej是內(nèi)射模,coker(hj)是Gorenstein內(nèi)射模,并且coker(hj)∈B,j≥1.

將E-和E+連接起來,獲得內(nèi)射模正合序列

使coker(hj)是Gorenstein內(nèi)射模,且coker(hj)∈B.設(shè)N=∏coker(hj),則由引理3知,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,故N∈B,且Ω-nG是N的直和項(xiàng).

命題1設(shè)M是純內(nèi)射模，n是非負(fù)整數(shù).則下列條件等價：

1) 存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模N∈(⊥∞M)⊥,使得Ω-nM是N的直和項(xiàng);

2) (⊥∞M)⊥?GIn,KM?In.

2)?1) 由引理1知,C=(⊥∞M,(⊥∞M)⊥)是完備遺傳余撓對,再由條件知,B=(⊥∞M)⊥?GIn,KM?In,則由引理7可證.

注1假設(shè)M是純內(nèi)射模且idRM≤n,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模.Ω-n(M⊕N)可認(rèn)為是Ω-nM⊕N.因?yàn)棣?nM是內(nèi)射模,所以顯然Ω-nM⊕N∈(⊥∞(M⊕N))⊥是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模.因此,M⊕N滿足命題1的條件1).

證明因?yàn)閕dRM≤n,所以存在正合序列

其中：Ej是內(nèi)射模.因?yàn)镹是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,所以存在正合序列

則有

0→M⊕N→E0⊕E→…→En⊕E→0

引理8[5](維數(shù)轉(zhuǎn)移) 設(shè)R是環(huán),n是正整數(shù),M是R-模,存在R-模正合序列0→K→Tn→…→T1→L→0,則下述論斷成立：

定理1設(shè)R是環(huán),C=(A,B)是完備遺傳余撓對,In(GIn)是內(nèi)射維數(shù)(Gorenstein內(nèi)射維數(shù))至多是n的R-模類.則對于任意正整數(shù)n,下述條件等價：

1) KC=ProdC,C是n-余傾斜模;

2) KC?In,B?GIn,KC在直積下封閉;

3) KC?In,A=⊥∞C∩⊥∞X,其中C是n-余傾斜模,X是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射R-模類;

進(jìn)而,若對于純內(nèi)射模G,A=⊥∞G,并且Ω-nG是G的第n次上合沖,則以上條件等價于:

4) A=⊥∞C∩⊥∞N,其中C是n-余傾斜模,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,且N是純內(nèi)射模;

5) KC在直積下封閉,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模M∈B,且M是純內(nèi)射模,使得Ω-nG是M的直和項(xiàng);

6) KC在直積下封閉,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模N∈B,且N是純內(nèi)射模,使得⊥(Ω-nG)=⊥∞N.

證明1)?2) 由假設(shè)知,A∩B=ProdC,C是n-余傾斜模,idRC≤n,所以KC?In.因此,只需證明B?GIn.設(shè)M∈B,下證GidRM≤n.因?yàn)?A,B)是完備余撓對,所以存在R-模正合序列

使得Xj∈KC,coker(fi)∈B.存在R-模正合序列0→Cn→…→C0→W→0,其中Ci∈ProdC,W是內(nèi)射余生成子.從而,對于任意內(nèi)射模WI,存在R-模正合序列

應(yīng)用引理7，對于任意L∈B,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模NL∈B,使得Ω-nL是NL的直和項(xiàng).設(shè)X={NL|L∈B},則{C}∪X?B.下證A=⊥∞C∩⊥∞X,顯然A?⊥∞C∩⊥∞X.下證A?⊥∞C∩⊥∞X.假設(shè)任意的模L∈B和H∈⊥∞C∩⊥∞NL,由文獻(xiàn)[12]定理3.11知,CogennC=⊥∞C,所以存在R-模正合序列

0→H→C′0→C′1→…→C′n-1→Kn→0

又因?yàn)镃′j∈KC,0≤j≤n-1,由引理8中2)知：

L∈(⊥∞C∩⊥∞NL)⊥?(⊥∞C∩⊥∞X)⊥

因?yàn)長是B任意的模,所以B?(⊥∞C∩⊥∞X)⊥.因此，⊥∞C∩⊥∞X ?A.故A=⊥∞C∩⊥∞X.

由條件知,KC?In,則K∈In.因此

即K?(⊥∞C)⊥.顯然K∈⊥∞C.由KC=ProdC知,K∈ProdC.因此KC?ProdC.即證.

3)?4) 由條件知,對于純內(nèi)射模G,A=⊥∞G,C=(⊥∞G,(⊥∞G)⊥)是完備遺傳余撓對,用2)?3)相似的證明方法知,A=⊥∞C∩⊥∞NG,其中NG是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,使得Ω-nG是NG的直和項(xiàng).

2)?5) 由引理7可證.

5)?2) 由條件知,(A,B)=(⊥∞G,(⊥∞G)⊥),KC=KG.由命題1可證.

6)?5) 由條件知,⊥∞(Ω-nG)=⊥∞N.因?yàn)镹是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,所以⊥N=⊥∞N.因此,⊥∞(Ω-nG)=⊥N.進(jìn)而,Ω-nG∈(⊥N)⊥?GIn,應(yīng)用引理4中2)知,(⊥N,(⊥N)⊥)是內(nèi)射余撓對.由引理7知,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模M∈(⊥N)⊥,使得Ω0(Ω-nG)是M的直和項(xiàng),顯然Ω0(Ω-nG)=Ω-nG.由條件知,N∈B=(⊥∞G)⊥.因此,M∈(⊥N)⊥=(⊥∞N)⊥?(⊥∞G)⊥,故M∈(⊥∞G)⊥.即證.

推論1設(shè)C是n-余傾斜模,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,且N是純內(nèi)射模.則KC⊕N=ProdC.

證明記C=(⊥∞(C⊕N),⊥∞(C⊕N)⊥),A=⊥∞(C⊕N)=⊥∞C∩⊥∞N.由定理1中4)?1)即證.