承“前”啟“后” 以“理”馭“算”

文／姜鴻雁（特級教師）

在漫長的數(shù)學(xué)發(fā)展史上，用“字母表示數(shù)”讓我們從具體走向抽象。同學(xué)們在它的帶領(lǐng)之下，不知不覺走進了“代數(shù)式”的領(lǐng)域，為進一步學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”開辟了廣闊的天地。下面讓我們在“過往與當(dāng)下”的聯(lián)系中，邊關(guān)注當(dāng)下學(xué)習(xí)的要點，邊暢想未來的學(xué)習(xí)之路。

從一個大家非常熟悉的問題開始：

如圖1，用火柴棒搭正方形，我們知道搭1 個正方形需要4 根火柴棒，搭2 個正方形需要7 根火柴棒，搭3 個正方形需要10 根火柴棒……

圖1

問題：搭任意多個正方形需要幾根火柴棒？

一、揭示隱含規(guī)律——從特殊到一般

“搭的正方形的個數(shù)”與“需要的火柴棒的根數(shù)”之間隱藏著規(guī)律：每增加1 個正方形，火柴棒的根數(shù)增加3。若用字母“n”表示“任意多”正方形的個數(shù)，由“數(shù)”的規(guī)律，很容易得到答案：3n+1。這是從“特殊”到“一般”的過程，是由“數(shù)”到“式”的過程。當(dāng)n=100 時，容易得到結(jié)果是301，也就是說，搭100 個正方形需要301 根火柴棒。不需要動手搭，就能算出答案，這是從“一般”到“特殊”的過程，也是由“式”到“數(shù)”的過程。

類似的例子還有許多，所以說，“列代數(shù)式”可以揭示生活中大量的普遍規(guī)律，“求代數(shù)式的值”使“式”回歸到“數(shù)”，正是這種“數(shù)”與“式”之間的自如“穿梭”，實現(xiàn)了“數(shù)式相通”。正因為“數(shù)式相通”，所以學(xué)習(xí)“代數(shù)式”的路徑和方式與剛剛學(xué)習(xí)的“有理數(shù)”很相似。我們不僅要能用字母表示數(shù)量之間的規(guī)律，更要能體悟?qū)W習(xí)中的方法，這樣才能學(xué)得更輕松。

二、架構(gòu)整體框架——從數(shù)類比到式

我們借助“數(shù)式相通”，回顧“有理數(shù)”這一章的學(xué)習(xí)歷程，再結(jié)合“代數(shù)式”的已學(xué)內(nèi)容，可以暢想“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)藍圖（圖2）。

圖2

由有理數(shù)的分類，我們可以預(yù)測，代數(shù)式應(yīng)該有除了整式以外的“式”等待學(xué)習(xí)；由有理數(shù)比較大小，我們可以預(yù)測，代數(shù)式應(yīng)該也可以比較大小。如果兩個代數(shù)式相等，則會出現(xiàn)方程；如果不相等，則會出現(xiàn)不等式。有理數(shù)有多種運算類型，由此我們可以猜測，整式除了加減運算，應(yīng)該還有乘除、乘方等運算，甚至還應(yīng)該有與各類運算對應(yīng)的運算法則……所以本章只是代數(shù)式學(xué)習(xí)的“序幕”，一幅長長的學(xué)習(xí)畫卷在后面等待我們?nèi)ヂ袄L制”。

如果說“數(shù)式類比圖”是針對知識層面的，那么，就學(xué)習(xí)方法層面，我們也同樣可以類比。比如“數(shù)軸”是研究有理數(shù)的有力工具，它實現(xiàn)了從“形”的角度刻畫“數(shù)”，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，那么代數(shù)式的學(xué)習(xí)能不能通過“形”來刻畫“式”呢？真是未來可期！

三、追求最簡結(jié)果——法則保駕護航

我們繼續(xù)看搭火柴棒的問題。問題的解決除了可以從“數(shù)”的角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表示規(guī)律，還可以從“形”的角度探究結(jié)果。

從不同的角度想，雖然得到的結(jié)果看似不同，但表達的卻是同一個問題，即本質(zhì)相同。而在這些結(jié)果中，“3n+1”最簡潔。這說明那些不同的表達式可以計算、化簡，也就是這些表示數(shù)的字母可以和數(shù)一起參與運算或化簡。運算需要有法則作支撐，如同有理數(shù)加、減、乘、除、乘方的運算都有對應(yīng)的法則一樣。事實上，通過學(xué)習(xí)，我們知道，“去括號法則”“合并同類項法則”都屬于“整式加減運算”的法則。運算時弄清楚運算的原理，以原理駕馭運算的過程，不僅能為運算的正確率保駕護航，而且能使運算的結(jié)果通向最簡，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡約之美。此外，如此這般的運算過程也彰顯了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美。

同學(xué)們，在學(xué)習(xí)中思考，在思考中學(xué)習(xí)，可以讓我們學(xué)得越來越通透。