泡沫金屬有效導熱系數的數學模型

楊輝著，黎永耀，馬彬鍵，楊 月，朱永剛

(微米與納米流體力學研究中心，機電工程與自動化學院，哈爾濱工業大學(深圳)，廣東 深圳 518055)

開孔泡沫金屬具有比表面積大，導熱系數高，傳熱和阻力綜合性能好及輕巧等特征，被廣泛應用于緊湊式換熱器，燃料電池和相變儲能系統等領域中[1-2].為了準確掌握泡沫金屬的熱輸運特性，有效導熱系數是其最關鍵參數之一.故泡沫金屬有效導熱系數的研究得到廣泛關注.

在最近幾十年，很多學者對泡沫金屬的有效導熱系數進行了實驗研究[3-8].基于這些實驗數據，很多經驗關聯式被提出.Calmidi等[3]以二維六角蜂窩形狀的拓撲結構，建立了泡沫金屬有效導熱系數的預測模型.同樣的，為了得到泡沫金屬有效導熱系數的預測模型，立方體模型[7]，體心模型及Kelvin十四面體模型[9]等在文獻中被報到.

Kelvin十四面體模型由6個正方形和8個六邊形組成，被認為是最接近真實泡沫金屬的幾何模型[10，11].Boomsma 和Poulikakos[12]以三維十四面體骨架模型，建立了泡沫金屬的有效導熱系數.泡沫金屬幾何模型沿導熱方向被分成4層，十四面體骨架被假定為圓柱體，骨架交點的節點被假定為正方體.隨后Dai[13]和Yang[14]進一步修正了Boomsma和Poulikakos的模型，并分別提出了新的泡沫金屬有效導熱系數的關系式.但是他們模型中，都是采用體積權重的方法計算每層泡沫有效導熱系數.根據Calmidi和Mahajan[3]的研究發現，當固體導熱系數和流體導熱系數差異增加，基于體積權重的方法計算有效導熱系數將產生巨大的誤差.

本文以Kelvin十四面體為幾何模型，建立了泡沫金屬有效導熱系數的經驗關聯式.首先利用實驗數據修正了Kelvin十四面體的幾何參數.其次，利用數值計算的結果，建立了每層泡沫金屬的有效導熱系數.最后基于Fourier定律，確定了泡沫金屬的有效導熱系數的關聯式，并用實驗結果驗證了模型的有效性.

1 數值計算

十四面體幾何模型和金屬泡沫的掃描電鏡示意圖如圖1所示.十四面體的骨架假設為圓柱體，高度為L和半徑為a.骨架交點的節點假設為正方體，邊長為r.考慮到幾何模型的周期性，1/8的十四面體作為數值計算的幾何體.

圖1 開孔金屬泡沫幾何結構

在穩態傳熱過程中，忽略對流和輻射傳熱，數值求解導熱的能量方程為

(1)

公式中：T為溫度；k為導熱系數；xi為坐標.

模型上下表面定義為恒壁溫，分別為Th=303 K和Tc=300 K.四周為周期性邊界.流固接觸面為耦合邊界.鋁，空氣和水的物性假定為常物性.能量方程用Second order schemes方法離散，數值求解用有限元法.幾何模型的網格由ICEM產生，網格劃分采用非結構化網格，同時流固區域劃分了邊界層網格.

根據Fourier導熱定律，數值計算的有效導熱系數計算為

(2)

公式中：q為熱流密度；下標h、c分別為熱端和冷端.

2 有效導熱系數數學模型

考慮到金屬泡沫在導熱方向上，骨架分布不均勻性的特征.為了建立更加準確的數學模型，幾何模型在導熱方向上被分成了4層(A，B，C和D)，如圖2所示.

圖2 離散幾何結構為4層

為了簡化計算，首先定義無量綱d和e分別為

(3)

(4)

A，B，C和D層的總體積和固體體積分別為

(5)

(6)

而每層的孔隙率εi為

(7)

因此，得到金屬泡沫的總的孔隙率εo為

(8)

在已知泡沫金屬的孔隙率時，方程(8)包括兩個未知參數e和d.為了求解方程(8)，本文首先定義另一個骨架節點邊長與骨架半徑比值的無量綱f=r/a.因此，e=fd.無量綱f首先由實驗數據進行修正確定.然后，已知泡沫金屬孔隙率時，利用方程方程(8)可以完全確定泡沫金屬的幾何參數.

考慮體積權重計算每層有效導熱系數，可能會帶來巨大的誤差，本文假設為每層導熱系數是每層孔隙率和總孔隙率的函數，定義為

ki=εikf+m(1-εi)nks，

(9)

(10)

公式中：a，b，c為常數.常數a，b和c由數值模擬數據進行擬合確定.

最后，泡沫金屬的有效導熱系數由Fourier定律確定為

(11)

(12)

公式中：Ri為熱阻.

3 結果與討論

圖3為泡沫鋁有效導熱系數實驗值與模擬值的比較.數值模擬對不同無量綱f的值進行了計算.由圖可知，泡沫鋁的有效導熱系數隨著孔隙率增加而減小.在相同的孔隙率下，有效導熱系數的模擬值隨著無量綱f增加而減小.在低孔隙率時，采用大無量綱f，實驗值與模型值偏差較小.而在高孔隙率時，采用小無量綱f，實驗值與模型值偏差較小.因此，為了確保模擬值與實驗值能夠很好的吻合，無量綱f應該隨著孔隙率變化而變化.利用插值和試湊的方法，如圖4所示.無量綱f隨著孔隙率關系被擬合成二次多項式，得到R2=0.996.無量綱f與孔隙率關系為

圖3 有效導熱系數實驗值與模擬值的比較

圖4 無量綱f隨孔隙率的變化關系

(13)

采用無量綱f隨孔隙率變化的函數，在整個孔隙率范圍內，模擬值與實驗值的偏差都小于±10%.因此，基于Kelvin十四面體，并修正骨架節點邊長與骨架半徑的關系，本文建立了更加真實的泡沫金屬的幾何參數.

描述了每層泡沫有效導熱性系數隨孔隙率的變化關系，如圖5所示.由圖5可知，每層泡沫有效導熱系數隨著孔隙率增加而減小.在每層孔隙率相同的情況下，每層泡沫的有效導熱系數隨著泡沫金屬總的孔隙率增加而減小.因此，不僅每層孔隙率，而且泡沫金屬總孔隙率都會影響每層有效導熱系數的計算.說明本文假設每層有效導熱系數是每層孔隙率和泡沫金屬總孔隙率函數的合理性.基于最小二乘法，方程(9)中參數m和n得到表達式為

圖5 每層泡沫有效導熱系數與孔隙率的關系

(14)

方程(9)計算值與模擬值變化趨勢一致，能很好地吻合，計算值和模擬值的偏差都小于±15%.

為了進一步驗證采用體積權重的方法計算每層有效導熱系數的不合理性，比較了A層和C層采用體積權重和本文方法計算有效導熱系數隨孔隙率的變化關系，如圖6所示.泡沫鋁內填充空氣為工質.在C層中，根據Dai的學習，考慮到骨架方向與導熱方向之間存在夾角θ，C層乘以cos2θ修正體積權重方法.由圖可知，在A層，采用體積權重的方法明顯高估了有效導熱系數，而C層體積權重修正方法，將低估有效導熱系數.自然的，本文方法計算的有效導熱系數與模擬結果一致.因此，模擬結果驗證了體積權重方法的不合理性.

圖6 體積權重和本文方法計算泡沫有效導熱系數與模擬值的比較

在確定無量綱f和方程(9)中參數m和n的值時，本文提出的泡沫金屬有效導熱系數的數學模型被唯一確定了.表1整理了文獻Xiao[15]和Yao[16]的泡沫銅填充空氣，石蠟和水工質的實驗數據.描述泡沫銅實驗值與不同模型的偏差隨孔隙率的關系，如圖7所示.基于二維六角蜂窩形狀Calmidi模型和三維十四面體的Boomsma模型Dai模型和Yang模型也進行了比較.由圖7可知，由于Boomsma模型Dai模型和Yang模型采用體積權重的方法計算每層有效導熱系數，導致他們模型計算的有效導熱系數明顯比實驗值偏大.這與圖6的結論也是一致的.他們的RMS偏差分別達到53.3%，56.9%和40.8% Calmidi模型和本文模型預測的有效導熱系數與實驗值誤差較小.他們的RMS偏差分別為13.6%和8.4%.因此，本文通過建立更加真實的泡沫金屬的幾何結構，并修改了每層有效導熱系數的計算關系式，得到了準確預測泡沫金屬有效導熱系數的數學模型.模型適用于泡沫金屬孔隙率大于等于0.88的情況.

圖7 有效導熱系數模型值與實驗值的比較

表1 泡沫銅有效導熱系數實驗值

4 結 論

本文利用數值模擬方法，通過修正Kelvin十四面體的泡沫金屬幾何參數.同時，考慮到金屬泡沫在導熱方向上，骨架分布不均勻性的特征，將泡沫金屬沿導熱方向分了4層，并提出了每層有效導熱系數的計算方法.基于Fourier定律，建立了泡沫金屬有效導熱系數的數學模型.本文得到主要結論：

(1)泡沫金屬有效導熱系數隨著無量綱f的增大而減小.建立無量綱f與孔隙率二次多項式的關系，有效導熱系數的模擬值與實驗值偏差小于±10%.

(2)采用體積權重方法，將高估每層泡沫金屬的有效導熱系數，而利用cos2θ修正C層骨架與導熱方向之間的夾角，將低估有效導熱系數.不僅每層孔隙率，而且泡沫金屬總孔隙率都會影響每層泡沫金屬的有效導熱系數.

(3)本文建立的有效導熱系數數學模型可以準確的預測孔隙率在0.88～0.98區間的開孔泡沫金屬的有效導熱系數.

(4)本文的研究結果，對于泡沫金屬的熱力設計和應用具有很好的指導意義.