多孔介質等效導熱系數研究進展

黃 坤，白宇帥，張春云，崔 苗

(大連理工大學，工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧省空天飛行器前沿技術重點實驗室，遼寧 大連 116024)

J.Bear[1]于1983年提出多孔介質具有三個特點：多相、固體骨架大且孔隙窄和孔隙相互連接.隨著人們對多孔介質認知的提升，可以將多孔介質總結成由多相材料所組成的物質，其固體部分被稱為骨架，剩余空間被稱為孔隙，類型包括氣相和液相，孔隙可以連通，根據連通與否分為開孔和閉孔材料.根據多孔固體的孔隙率、孔隙形狀及孔隙的微觀結構，通常可分為三種多孔介質類型[2]：(1)泡沫型，孔隙以三維空間填充的多面體構成，固體呈連續三維網狀分布(如球形、橢球形、多面體)，通常稱為泡沫體(如泡沫金屬[3]，泡沫塑料[4]，泡沫碳[5-6]，蜂窩體).(2)顆粒型，介質內固體以顆粒形狀排列，代表單元未固結，非剛性，以相對松散堆積的組合，其中顆粒被顆粒間孔網絡包圍(如土壤，沙子，礫石或碎石[7]).(3)纖維型，以縫合或編織制成，或以機械，化學或物理方式將纖維粘合成隨機的網狀結構(如衣物[8-9]，纖維編織材料[10]，氣凝膠[11]).

圖1 通過隨機四參數法生成的多孔介質(將邊界平滑處理)

多孔介質具有密度小、導熱系數低、隔熱性好等特點，在石油開采[12]、地質工程[13]、地球環境科學與技術[14]、能源儲存[15-16]、鑄造加工[17]、核反應[18]和航天[19]等領域具有重要的應用價值.多孔介質內的傳熱不僅與固、氣相介質本身的熱物理特性有關，還與多孔介質中固相網絡和孔隙結構有關，對多孔介質結構如圖1所示，進行傳熱數值模擬非常困難，這是因為除了需要考慮各相的熱傳導，當溫度較高時，需要考慮輻射傳熱[20]的影響，當存在流體流動時，還需要考慮對流換熱的影響.采用等效導熱系數來描述多孔介質的傳熱性能，是簡化多孔介質內傳熱模擬的一種常用方法.然而由于多孔介質內部結構復雜，等效導熱系數預測模型不具有通用性.研究表明，將經驗參數(通過實驗或理論方法獲得)與理論模型相結合，能提高模型等效導熱系數的預測精度.此外，多孔介質內部結構復雜，多孔介質的導熱系數有時還呈現出各向異性[21]但是目前大部分的模型都將多孔介質視為各向同性材料，這也是目前需要解決的關鍵性問題之一.

多孔介質等效導熱系數的研究包括實驗研究、理論分析和數值模擬[22-25]三種手段，下面將對上述三個方面進行綜述.

1 實驗研究

多孔介質等效導熱系數的實驗方法主要包括以下三種：

1.1 穩態實驗方法

Amani等[26]通過新型防護熱板法[27]研究開孔材料孔隙率為92.7%，尺寸為80 mm×80 mm×40 mm的鋁合金泡沫的導熱系數，借助X射線斷層攝影技術提取金屬泡沫的幾何特征，通過FEM方法獲得其等效導熱系數并與實驗結果進行對比.防護熱板法設備由樣品、冷卻板、加熱板、隔熱材料以及相關電氣設備組成，借助珀爾帖模塊來控制冷卻板和加熱板的溫度，通過傳熱區域產生的一維溫度梯度來準確測量等效導熱系數.該實驗需要1 h～2 h進入穩態條件，忽略橫向的熱傳遞，只考慮一維垂直熱傳遞，通過熱阻法計算材料的等效導熱系數.由于實驗盡可能地減少了自然對流的影響，此外，在低于75 ℃時可忽略熱輻射的影響，因此，鋁合金泡沫的等效導熱系數的預測精度較高.

Rottmann等[28]使用防護熱板法測量孔隙率在84%～98%的真空膨脹珍珠巖的等效導熱系數，并利用瞬態熱線法測量材料的表觀熱導率.實驗溫度最高達800 ℃，其在計算過程中考慮了熱輻射對導熱系數的影響，并且將固體的等效導熱系數與表觀消光系數進行聯系.通過將防護熱板法和瞬態熱線法對比發現，防護熱板法低估了輻射效應對傳熱的貢獻，將防護熱板法和瞬態熱線法相結合能夠很好地確定考慮熱輻射影響的等效導熱系數.

在防護熱板中加入熱流量計[29]可以提高等效導熱系數的預測精度.Florez等[30]構建了一種用于測量熱管燒結多孔介質等效導熱系數的設備.實驗裝置包括三個主要部分：加熱器、樣品架和冷卻器.尺寸為85 mm×10 mm×2 mm銅片與多孔樣品串聯在一起作為通量計，將熱量通過熱傳導傳遞到樣品.樣品的熱通量測量值為兩個通量計測量值的平均.防護熱板中的溫度分布與下部通量計、樣品和上部通量計測得的溫度分布非常相似，所以熱板可以起到輻射屏蔽作用.將系統放置在抽空的聚碳酸酯管內，避免了來自測試樣品的對流傳熱.測試溫度在20 ℃～80 ℃之間.通過連接到數據采集系統的T型熱電偶測量得到溫度，然后進行數據處理.

(1)

Moayeri等[31]研究了影響多孔涂層材料等效導熱系數的因素，主要包括粉末形狀、表面粗糙度以及孔隙率.研究中Cu-Ni粉末分為球形平滑、不規則平滑和不規則粗糙三種各類型，孔隙率包括20%、30%和40%.等效導熱系數的測定實驗示意圖以及熱電偶的位置如圖2所示.

圖2 測量樣品等效導熱系數的實驗裝置[32]

圖2中的9個K型熱電偶等間距放置，可以得到多孔介質的等效導熱系數為

(2)

公式中：ΔTCu為銅棒上測量點的溫度差；ΔTtablet為多孔樣品上測量點的溫度差；KCu為銅棒的導熱系數(這里KCu=372 W/(m·K)).從實驗結果可以看出Maxwell模型與等效導熱系數實驗值比較相近，并且球形粉末相對更加匹配該模型；表面粗糙度對等效導熱系數的影響大于粉末形狀.

1.2 瞬態實驗方法

Penide-Fernandez等[32]研究了壓縮對柔性編制陶瓷纖維的各向異性導熱系數的影響，通過瞬態平面熱源法[33]如圖3所示.進行測量導熱系數，并將實驗結果與FEM建模仿真結果進行對比.實驗要求在溫度記錄時，瞬態加熱不能到達樣品邊界，其中最小輸出功率P0=35 mW，瞬態記錄時間t=10 s，樣品尺寸為40 mm×40 mm，厚度為0.55 mm.實驗采用熱盤TPS2200分析儀進行數據采集和后處理，該分析儀準確性>95%，可重復性>99%.

圖3 使用瞬態平面熱源法測量導熱系數[33]

對每個施加的載荷，進行了每組三個導熱系數的測量，每次測量的室內溫度均保持在25±1 ℃.兩次測量之間使用30 min的等待時間，確保樣品在施加新的壓縮載荷后達到熱平衡和機械松弛.由于實驗過程中存在對流傳熱，測得的等效導熱系數比采用FEM求解得到的數值大.總體上看，FEM仿真模擬與瞬態平面源測量的導熱系數具有良好的一致性，應用所提出的方法可以有效地獲得陶瓷織物的各向異性導熱系數.

Nikpourian等[34]制備了一種高性能的多層氣凝膠超級隔熱材料[35]，借助防護熱板法設計了確定單層氣凝膠氈的等效導熱系數的實驗方法，并采用瞬態條件下的March方法計算多層隔熱材料的等效導熱系數，研究了其內酚醛清漆樹脂濃度對氣凝膠氈的熱物理性質的影響.計算多層隔熱材料等效導熱系數的實驗方法是將多層隔熱材料放置在長度0.1 m，外徑0.01 m，厚度0.001 m的黃銅圓管周圍，借助兩個氧化鋁泡沫對上下兩面進行隔熱，使用K型電偶獲得冷卻溫度曲線.

根據傅里葉定律，單層氣凝膠氈的等效導熱系數可以表示為

(3)

公式中：Q、L、A、(Th-Tc)分別為樣品的輸出熱通量、樣品的厚度、樣品的表面積以及加熱器和冷卻器之間的溫度梯度.

通過March方法可以得到多層氣凝膠氈的等效導熱系數

(4)

公式中：h、rH、rc、t分別為圓柱體的高度、外半徑、內半徑和多層隔熱的厚度.將穩態實驗和瞬態實驗相結合，能夠找到最佳氣凝膠氈層數：使用酚醛清漆氣凝膠的多層隔熱材料的最佳層數是12層.

1.3 考慮輻射或對流影響的實驗方法

Mora-Monteros等[36]研究了陶瓷泡沫材料的等效導熱系數，通過實驗來測量輻射換熱量如圖4所示.該實驗使用洛桑聯邦理工學院45千瓦的高通量太陽模擬器(HFSS)，該模擬器由18個單元組成，每個單元可以提供(1.0～1.5)±0.1 MW·m2峰值的輻射通量，18個單元同時使用可以使峰值熱通量達到21.7 MW·m2.將樣品放置在HFSS的焦點處，使用紅外相機測量表面溫度，熱電偶測量內部溫度.通過將實驗與數值模擬進行耦合，可以增加樣品測點的溫度計算值和實驗值之間的擬合度.多孔介質的孔隙率、消光系數以及使用環境對等效導熱系數的影響比較大，其中使用致密涂層可以減少熱輻射對導熱系數測量的影響，通過將實驗與數值模擬進行耦合，是處理復雜使用條件，計算等效導熱系數的有效方法.

圖4 Mora-Monteros 實驗原理[36]

在上述的三種方法中，穩態方法需要達到熱通量和內部溫度的穩定，這種方法比較耗時，且對儀器設備和實驗操作要求較高，常見的方法有防護熱板法；瞬態方法在加熱材料的同時測量材料溫度的響應，其中瞬態平面熱源法最具代表性，該類方法具有測試時間短、溫度變化不大和對材料內部影響小等特點，能夠快速、高精度地測量多孔介質材料的導熱系數；考慮熱輻射/熱對流的影響時，實驗更為復雜.

2 理論分析

多孔介質模型的構造通常采用孔道網格模型、分形理論、等效導熱系數模型(如串聯、并聯、Maxwell-Eucken 模型等)、隨機四參數生長法、基于掃描圖像進行二值化等.多孔介質的導熱性能一方面取決于固體骨架和孔隙內流體的導熱系數，另一方面與固體骨架的空間結構(孔隙大小、形狀和空間分布)也有關系，因此通常用宏觀意義上的等效導熱系數來描述多孔材料的導熱性能.由于多孔介質內部結構在局部與電阻網絡相似，可以類比電阻求熱阻來計算等效熱導率，其中使用串聯、并聯思想求多孔結構等效熱導率的方法最常見.

2.1 基本模型

對于物理結構簡單，只考慮熱傳導的各向同性非均勻多孔材料，Cleland等[37]將其歸結為以下五種基本模型，如表1所示.

表1 兩相材料的五個基本等效導熱結構模型

表1中，K為等效導熱系數，k1，k2為各相的導熱系數，v1，v2為相應介質體積分數.結合這5種模型可以確定一定物理結構多孔材料的導熱系數范圍，其中等效導熱系數計算結果以EMT模型為下限，Maxwell-Eucken 1模型為上限.基于以上五個基本結構模型，通過調整結構的體積分數可得到不同的多孔介質等效導熱系數模型.通過這種方式獲得的等效導熱系數不依賴于經驗參數，并且每種組合模型都具有相應的物理基礎.

2.2 修正模型

以上的基本模型適用性很廣，但對于如表1中所示的Maxwell-Eucken模型和EMT模型，計算精度不高，需要根據不同的結構進行優化和修正，其中常用的方法是等效熱阻模型.首先分層計算不同結構的導熱系數，再借助串并聯的思想來計算周期性結構的等效導熱系數，以此來估算整個模型的等效導熱系數，與基本模型相比，可以提高等效導熱系數的預測精度.

Chan等[38]推導了適用于飽和介質的石墨烯涂層金屬泡沫的等效導熱系數的理論模型，解決了以往模型無法處理石墨烯涂層的能力.由于金屬泡沫結構具有一定的均勻性，可以采用半經驗的方式處理其幾何結構，此外，金屬泡沫的結構是周期性的，可以用晶胞的導熱系數來表示金屬泡沫的等效導熱系數.因此，可以通過單位晶格來導出等效導熱系數方程.單位晶胞可分為五層結構，如圖5所示.分別求出各層的等效導熱系數后，可通過串聯方法求出單位晶胞的等效導熱系數ke，如公式(5)所示.

圖5 晶胞分層結構[38]

(5)

公式中：ke為等效導熱系數，L1，L2，L3，L4，L5分別為各層的高度.通過與實驗數據進行對比，該模型計算的等效導熱系數誤差在0.30%～1.91%.采用該模型有助于設計包含多孔結構復合材料的熱管理系統(TMS).通過研究骨架面積和石墨烯面積比對石墨烯覆蓋的金屬泡沫-石蠟復合材料等效導熱系數的影響，發現石墨烯涂層可以顯著提高金屬泡沫的等效導熱系數.此外，該模型可用于其他泡沫周期結構的等效導熱系數的估算.

不飽和多孔介質在地熱資源開發、二氧化碳封存、干燥和相變材料等領域具有廣泛的應用，其中確定等效導熱系數對探索其傳熱機理具有重要作用.Shen等[39]建立了不飽和多孔介質中導熱的分型模型，基于孔隙和固相構建了多孔介質的分形毛細管束表征體單元(RVE)模型如圖6所示.分形模型中的所有參數都具有特定的物理意義，分形維數的引入可以捕獲非飽和多孔介質的孔隙尺度特征.這種模型假設橫截面上的毛細管直徑遵循分形定律，顯示了各向同性多孔介質中的流動路徑，其中毛細管的橫截面可以視為大小不同的圓形.

圖6 多孔介質的分形毛細管束模型示意圖[39]

通過等效熱阻方法可以計算不飽和多孔介質的等效導熱系數：

(6)

公式中：LR為RVE的代表長度；A為RVE的橫截面積；Rg、Rw、Rs分別為非濕潤階段、濕潤階段和不飽和多孔介質的總熱阻.該方法構建了不飽和多孔介質導熱系數的通用模型，與實驗數據吻合較好.通過探索等效導熱系數與孔隙率以及液體飽和度之間的關系，發現等效導熱系數取決于固體、氣體與液相的導熱系數之比.

圖7 具有不均勻水膜模型的粒子[40]

Chen等[40]通過瞬態平面熱源法測量潮濕二氧化硅氣凝劑的等效導熱系數，該實驗測量過程中水分變化小于1%，對模型影響可以忽略不計，通過實驗數據驗證預測潮濕二氧化硅氣凝劑的等效導熱系數的理論模型.首先構建了具有不均勻水膜結構的分形相交球的多孔介質模型如圖7所示，然后推導了該模型的等效導熱系數.由于氣凝劑中傳熱過程比較復雜，借助參考溫度下的部分實驗數據，通過線性擬合獲得經驗系數

β(T)=βref+B1(T-Tref)，

(7)

公式中：β為不均勻系數，是連接區域內到球形表面上的最大水膜厚與最小水膜厚度之比，下標ref指參考情況；B1為相對材料類型具有正值的經驗參數.兩個階段等效導熱系數為

(8)

(9)

公式中：λunit-z、λunit_xy為通過等效電路方法求得，γ可以通過公式(10)求得.

(10)

公式中：φ為材料的孔隙率.研究表明，低孔隙率模型的等效導熱系數比高孔隙率的等效導熱系數對含水量的變化比較敏感.與Bjurstr?m模型[41]等預測氣凝劑等效導熱系數的模型相比，該方法增加了一層水膜，引入水膜相對不均勻系數β，可以還原潮濕多孔介質的模型，在預測潮濕氣凝膠材料等效導熱系數時的精度較高.

Kaddouri等[42]結合孔隙形態，提出了一種確定多孔材料等效導熱系數的模型，結合均勻化方法計算多孔材料的等效導熱系數

λeff?λMaxl+Aln(r)，

(11)

(12)

公式中：λMaxl為Maxwell模型的等效導熱系數；λp、λm分別為孔和基體的導熱系數；A為一個常量(A=0.7λmP(1-P)2)；r為橢圓短軸與長軸之比.通過加入長寬比考慮了微觀孔隙結構，與數值模擬結果吻合較好，能夠更加準確地預測多孔結構材料的等效導熱系數.

2.3 考慮輻射或對流的模型

在高溫條件下，多孔介質內部的傳熱需要考慮輻射熱傳遞.Kiradjiev等[43]對Maxwell類型的三個模型進行了概括，得到了孔隙內考慮輻射熱傳遞的等效導熱系數，結果表明，在高溫條件下，輻射熱傳遞對多孔介質的等效導熱系數的影響較大.三種模型的等效導熱系數計算公式如下：

(1)Maxwell輻射模型

(13)

(2)EMT輻射模型

(14)

(3)DEMT模型

(15)

公式中：k、kr分別為固體和輻射導熱系數；φ為球形顆粒所占的體積分數.這些模型基于孔隙率以及孔隙內的輻射效應，得到了固體導熱系數、材料孔隙率的等效導熱系數表達式.通過模擬發現，隨著溫度的升高，等效導熱系數的變化逐漸平緩，這種漸進有界的等效導熱系數模型更接近實際的物理現象，對于工程應用具有重要意義，為材料設計提供新的思路.

Munagavalasa等[44]推導了雙尺度多孔介質的溫度平衡方程，該方程控制了非飽和流動過程中的能量分布，其中等效導熱系數是方程式中一個非常重要的參數.由于使用連續性方程、動量方程和能量方程的無量綱形式，可將等效導熱系數無量綱化，從而推導出無量綱化等效導熱系數張量，提高了數值模擬穩定性.研究了進口速度、界面體積通量在多孔介質飽和與非飽和情況下對等效導熱系數的影響，結果表明，雙尺度飽和多孔介質中測得的等效導熱系數可以用于流動入口后的不飽和區域，與是否存在局部熱平衡無關，隨著絲束間距離的增加，等效導熱系數增大.

多孔介質等效導熱系數理論分析大都是基于等效熱阻法，首先根據多孔介質的周期性結構將其拆分成層與層，然后采用串、并聯方法來求解周期性結構的等效導熱系數，以此作為模型的等效導熱系數，這種方法對于周期性結構非常具有參考性.當多孔介質結構非常復雜時，等效導熱系數計算困難，并且考慮輻射或對流時，進一步增加了等效導熱系數的預測難度，目前理論研究相對較少.

3 數值模擬

3.1 有限元法

Zhou等[25]建立多尺度有限元模型來分析基質及復合材料的等效導熱系數，結合纖維增強復合材料等效導熱系數的理論模型對二氧化硅/酚醛復合材料的等效導熱系數進行預測.首先通過不同孔隙率下多孔基質的等效導熱系數FEM分析，確定預測各種孔隙率下多孔基質等效導熱系數合適的理論模型擬合函數

(16)

(17)

隨后借助FEM分析微尺度的紗線模型如圖8所示，以及不同基體孔隙率、溫度和纖維體積分數復合材料的等效導熱系數，與文獻中模型進行對比并擬合，對紗線模型的橫向和軸向導熱系數預測選擇了合適的理論模型.通過采用Lewis和Nielsen模型[45]來求解紗線的最佳幾何形狀參數，得出平紋復合材料面外導熱系數的預測公式.

圖8 紗線復合材料的多尺度建模框架[25]

Carson等[46]使用有限元方法模擬多孔介質的等效導熱系數，有限差分法、邊界元法等方法[47]也有相關研究.有限元方法的優點是對不規則幾何形狀和空間可變的物性及邊界條件的適應性比較好.通過FEM研究了二維多孔介質內顆粒的大小和形狀、連續相和分散相，顆粒物之間的接觸程度對等效導熱系數的影響，其中顆粒物的接觸比顆粒大小及形狀對多孔介質等效導熱系數的影響大.對于分散相和連續相，其內部材料導熱系數和孔隙率雖然相同，但是具有不同的等效導熱系數，這為新的等效導熱系數預測模型提供了參考，即多孔介質內的顆粒接觸程度、分散性比內部顆粒大小或形狀對等效導熱系數影響更大，準確確定這些參數能更好地提高模型對不同材料的等效導熱系數預測精度.

Bourih等[48]研究了蓮花型多孔材料的等效導熱系數，借助Kaddouri提出的改進式Maxwell模型[42]來估算蓮花型多孔材料的等效導熱系數，并通過兩步均勻化方法來驗證該模型的準確性.蓮花型多孔材料是由長圓柱孔組成，孔洞沿單一方向排列，形態像蓮花.他們采用了基于RVE的有限元均勻化方法預測了不同體積的多相蓮花型多孔材料的等效導熱系數，并與兩步均勻化方法如圖9所示，以及理論模型結果進行對比，發現兩步均勻化方法預測等效導熱系數的精度較高，證明了Kaddouri提出的預測模型能夠準確地估計多相蓮花型多孔材料的等效導熱系數.

圖9 直接均勻化方法和兩步式均勻化方法[47]

Gong等[48]建立單壁碳納米管氣凝膠的三維模型，使用非晶格蒙特卡羅方法研究了多孔材料的熱傳導，結合數值模擬和實驗，計算了四種滲透氣體之間的熱邊界電阻.在數值模擬中，計算等效導熱系數的公方為

(18)

公式中：Kg為純氣體的導熱系數；Ta為沿熱通量方向的溫度分布；Tg為氣體的溫度.數值模擬研究了單壁碳納米管氣凝膠的體積分數、形態、長度和直徑對等效導熱系數的影響，并且開發的介觀模型可以用于研究其他類型的氣凝膠以及高孔隙率的多孔材料的導熱性能.

Chikhi[49]使用COMSOL軟件研究了多孔生物復合材料的傳熱性能，通過理論模型研究了孔隙率、孔隙形狀和位置對等效導熱系數的影響.這種多孔生物復合材料由石膏、植物纖維和空氣構成，可構造一個平行六面體的RVE來研究導熱性能，借助FE COMSOL 軟件對Laplace方程進行數值求解獲得復合材料中的溫度分布.只考慮孔隙度時，數值模擬與理論模型結果一致，但是與實驗結果相差較大；在考慮孔隙微觀結構時，數值模擬與實驗結果接近；纖維尺寸影響多孔生物復合材料等效導熱系數，而在同等空氣體積下，孔隙的位置和形狀對等效導熱系數沒有顯著影響.結果表明，數值模擬如果不考慮微觀結構參數，很難準確預測多孔材料的等效導熱系數.

3.2 Lattice-Boltzmann方法

Wang等[23，50-52]將Lattice-Boltzmann方法(LBM)用于求解多孔介質內部流固耦合傳熱問題，該方法易于處理多種粒子之間的相互作用和復雜的幾何邊界條件，但是要求各相界面處的溫度和熱通量具有連續性，因此各相的體積熱容必須保持相同.該方法求解等效導熱系數公式為

(19)

公式中：q為通過溫度差為ΔT和距離為L之間的介質橫截面積為dA的穩定熱通量，該模型不存在經驗參數.通過與實驗對比，發現輻射傳熱占有一定的比重，在標準氣壓、溫度286 K下，固體體積分數超過10%時，輻射傳熱占6%，考慮輻射傳熱后，模型精度有了一定的提升.將數值模擬與理論模型進行對比，發現開孔多孔介質比顆粒型多孔介質的等效導熱系數更高，與實際情況相符.他們開發了隨機四參數法和網狀結構的隨機增長方法，用來生成二維多孔介質隨機顆粒結構和泡沫結構，該方法符合多孔介質的生長規律，在預測相關類型的材料時精度較高.

Lu等[53]采用LBM研究了纖維多孔介質在真空下的等效導熱系數，參考了Wang等[52]的共軛傳熱控制方程，構建了D3Q19單元的LBM求解器，該方法只需將其中兩個邊界設為第一類邊界條件(Thot=302 K，Tcold=298 K)，其他邊界設為絕熱邊界，LBM在處理復雜的微觀結構具有一定的優勢.研究了氣壓、纖維直徑以及取向對等效導熱系數的影響.結果表明，當纖維長度方向與傳熱方向一致性越高，隔熱性能越差，取向角到90°時，等效導熱系數最小；在高度真空的情況下，纖維直徑與取向角之間具有耦合作用，纖維的直徑越細，纖維取向對等效導熱系數影響越大，但是纖維直徑受纖維取向的影響較小.

Qin等[7]使用分形幾何理論來構建砂巖多孔介質不同尺寸樣品的模型，并且基于LBM來研究砂巖的傳熱性能與砂巖內部孔隙結構的關系.采用的具有多松弛時間D3Q19單元的LBM用于模擬多孔介質中的穩態流動，該方案具有較高的精度和數值穩定性[54]，并且消除了邊界附近的虛速度[55].使用LBM來模擬三維掃描砂巖模型的流固耦合傳熱，并與分形模型和Maxwell模型進行對比，研究等效導熱系數與孔隙率、固相和液相導熱系數的關系.通過研究發現，分形維數可用于確定多孔介質的RVE參數，并對等效導熱系數有重要影響；LBM模型和分形模型可用于研究多孔介質中熱傳輸的物理機理.結合實驗結果，當Ks/Kg<10(Ks是固相導熱系數，Kg是氣相導熱系數)，分形模型比LBM得到的等效導熱系數偏高，而Maxwell模型偏低；當Ks/Kg>10，分形模型與Maxwell模型得到的等效導熱系數都偏低，這與Wang等[56]借助隨機行走理論得到的結論相一致.

3.3 其他方法

Wei等[57，58]先后用三種機器學習方法來預測通過QSGS方法生成多孔介質的等效導熱系數，并結合描述多孔介質的5個重要結構特征，分析其與有效導熱系數的關系.首先通過LBM計算不同孔隙大小、孔隙率和孔隙分布的多孔介質模型等效導熱系數獲取數據，然后通過數據訓練SVR、GPR、CNN模型，分析其與Maxwell-Eucken模型、Bruggeman模型的預測誤差.發現機器學習方法在預測多孔介質等效導熱系數時的精度不同，其中CNN模型能夠更好的考慮微觀結構的相關性，精度較高.隨后通過SVR和GPR模型來研究形狀因子、瓶頸、主導路徑、通道因數、垂直不均勻性與等效導熱系數之間的相關性，通過FEM分析多孔介質等效導熱系數，從結果中得出形狀因子、瓶頸、主導路徑與等效導熱系數具有良好的正相關性，而通道因數、垂直不均勻性與等效導熱系數具有一般的負相關性.通過這五種物理描述特征，將多孔介質內部微觀結構轉化為可以通過數據描述的參數，通過考慮這些參數能夠顯著提高多孔介質等效導熱系數的預測精度.

Cui等[59]借助熱傳導反問題，通過建立最小二乘法，對蜂窩結構的等效導熱系數進行預測，通過測量內部點的溫度來間接預測等效導熱系數等難以直接確定的熱物性參數.這種方法對初值要求比較高，但是迭代速度快、計算精度高.通過與復變量求導法相結合，反演了非線性熱傳導問題中的邊界熱流密度[60]，并提出確定梯度算法中松弛因子的新方法，即松弛因子自適應調節技術，提高了梯度算法的效率[61].該方法目標函數如下：

(20)

熱傳導反問題最早應用于系統地認識火箭表面和核反應器內部的傳熱問題[62].由于多孔介質微觀結構及內部傳熱情況比較復雜，可以基于內部點的溫度測量數據，通過求解反問題來間接預測其等效導熱系數.目前反問題在多孔介質上已有應用，但是應用不廣泛，采用反問題來確定多孔介質等效導熱系數具有研究價值，特別是在工程應用上，具有一定的發展前景.

綜上，關于計算多孔介質傳熱特性的數值模擬方法近些年發展比較充分，基于傳統的有限元方法比較多，而且計算速度快，廣泛用于商業軟件如ABAQUS、ANSYS等，技術比較成熟，在工程上應用比較廣泛.對于考慮輻射或對流的情況，目前發展了基于消光系數計算輻射導熱以及基于LBM計算對流換熱的數值方法，這種方法經過了可靠性驗證.此外，機器學習和熱傳導反問題求解方法，相比于傳統方法，計算精確度有一定提升，對不同種類多孔介質的應用有待進一步研究.

4 總結及展望

多孔介質以其輕質，隔熱好等特點，在各種工程上應用較廣，本文對多孔介質等效導熱系數的研究進行總結，對多孔介質構造方法以及傳熱性能模擬進行簡要介紹，概括了實驗研究、理論分析、數值模擬這三種研究方法的優缺點：

(1)多孔介質導熱性能實驗根據傳熱類型可以分為穩態和瞬態實驗方法，瞬態實驗方法相對較為簡單，測量時間比較短，同時測量誤差也比較大；穩態實驗方法對儀器設備和實驗操作要求較高，同時測量導熱系數精度比較高.對于輻射或對流換熱等類型的傳熱實驗裝置比較少，實驗比較復雜.等效導熱系數的實驗誤差主要來自測量儀器的誤差，測量誤差不可消除但可以通過高精度設備來減小.

(2)等效導熱系數預測的五種基本理論模型對于簡單多孔結構預測精度較高，但缺少了描述多孔介質內部微觀結構的參數，可以采用表征體單元方法對模型進行優化.當多孔結構比較復雜時，首先觀察得到一個表征體單元，然后借助并、串聯模型，計算RVE單元的等效導熱系數.這種方法是將多孔介質內部簡化為周期性結構，由于考慮了內部結構，計算精度比基本模型精度高，當周期性結構與多孔介質微觀結構相近時，與數值模擬結果相差不大.當考慮輻射或對流換熱模式時，通常將熱傳導與這兩種方式分開計算，或者基于實驗給出經驗參數或表達式來提高模型的適應性，這也是目前多孔介質等效導熱系數預測模型的發展方向.

(3)由于多孔介質內部結構的隨機性，構造應用場景下多孔介質的精確模型是一個關鍵性問題.采用有限元等數值方法可以更好地幫助我們預測多孔介質內部的傳熱情況，結合 X 射線切片層析等技術還原多孔介質微觀結構，能夠顯著提高等效導熱系數的預測精度.通過數值模擬計算多孔介質等效導熱系數并與實驗所測得的結果進行對比，然后對不同的理論模型進行修正，這也是目前計算多孔介質等效導熱系數應用較多的方法.

多孔介質內部傳熱問題比較復雜，結合實驗獲得多孔介質內易測的參數如部分溫度，然后借助反問題求解方法得到如等效導熱系數、內熱源分布、復雜熱邊界條件等未知的參數，這是一條有效的途徑.為了準確預測多孔介質或包含多孔介質的熱防護系統等結構的傳熱性能，借助傳熱反問題方法來確定等效導熱系數是一個有前景的研究方向，而選擇合適的反問題求解方法也是該方面研究的重點.