感悟數(shù)學(xué)思想　遵循學(xué)習(xí)規(guī)律

吳波

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，它讓學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的過(guò)程中不斷去“悟”，在知識(shí)的形成過(guò)程中不斷去體會(huì)。隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了要掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能之外，最重要的是感悟、體會(huì)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是可以支撐學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。課堂中，我們要通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，讓教學(xué)更符合學(xué)習(xí)規(guī)律。可以通過(guò)以下三個(gè)方面達(dá)成這一目標(biāo)。

一、反復(fù)理解，螺旋上升

在新課程背景下，課程核心內(nèi)容的設(shè)計(jì)、各知識(shí)點(diǎn)之間都存在著聯(lián)系。一些重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念都體現(xiàn)了逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則。課堂教學(xué)中貫穿著兩條主線：一條為由基本概念、基本公式等組成的數(shù)學(xué)知識(shí)的明線，另一條為隱藏在數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想的暗線。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)第四單元“多邊形的面積”和第六單元“組合圖形的面積”這兩部分內(nèi)容，教材螺旋上升式的編排不僅體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)上，更體現(xiàn)在一些重要的數(shù)學(xué)思想上。作為教材四大組成部分之一的空間與圖形這一版塊，在全部的12冊(cè)教材中，冊(cè)冊(cè)有內(nèi)容。我發(fā)現(xiàn)，關(guān)于這部分知識(shí)雖然安排得頻繁，但每?jī)?cè)的教學(xué)內(nèi)容都很清楚，課與課之間都是相互聯(lián)系的。因此，在教給學(xué)生知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)該滲透給學(xué)生一種連續(xù)的數(shù)學(xué)思想。如多邊形的面積是組合圖形面積的基礎(chǔ)，多邊形面積的探索方法——割補(bǔ)法，也是組合圖形解決問(wèn)題最重要的方法。從這個(gè)角度上看，多邊形面積的教學(xué)，應(yīng)該是這兩個(gè)教學(xué)單元的核心。“多邊形的面積”這一教學(xué)單元的知識(shí)前延為平行四邊形、三角形和梯形的特征，長(zhǎng)方形面積、正方形面積的計(jì)算。學(xué)習(xí)多邊形的面積，學(xué)生要掌握多邊形面積的計(jì)算方法，并利用所學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。本單元所對(duì)應(yīng)的后續(xù)知識(shí)為探索其他平面圖形的面積。第六單元“組合圖形的面積”除了利用轉(zhuǎn)化思想，用割補(bǔ)法解決問(wèn)題外，還要用估測(cè)、數(shù)方格等方法解決不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題。已有的經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常重要的，教學(xué)時(shí)要恰當(dāng)?shù)剡x取生活中的相關(guān)實(shí)例，激發(fā)已有的感性認(rèn)知，通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)，呈現(xiàn)出知識(shí)本身的形成過(guò)程，結(jié)合已有生活經(jīng)驗(yàn)和已掌握的舊知來(lái)展開課堂教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)真正理解和掌握。

課堂上，學(xué)生在探索圖形面積的活動(dòng)時(shí)，要經(jīng)歷和體驗(yàn)“猜想—驗(yàn)證—建模—感受”的思維全過(guò)程。在教學(xué)“平行四邊形面積”一課時(shí)，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)為猜想面積與什么有關(guān)。需要學(xué)生通過(guò)剪、拼進(jìn)行驗(yàn)證：平行四邊形的面積等于長(zhǎng)乘寬。教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)數(shù)格子的方法知道了平行四邊形的面積是多少，再借助平行四邊形的底跟高的數(shù)據(jù)大膽地猜測(cè)出面積可能與它們有關(guān)。這樣的猜想是否正確呢？可以沿平行四邊形的任意一條高剪開，把平行四邊形分割成兩部分，再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。平行四邊形的底相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，平行四邊形的高相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬。得到結(jié)論：平行四邊形的面積等于底乘高。

這樣的課堂教學(xué)不再把學(xué)生當(dāng)作被動(dòng)接受知識(shí)的“容器”，學(xué)習(xí)知識(shí)應(yīng)付考試也不再是追求的唯一目標(biāo)。課堂中的重點(diǎn)在豐富學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)上，學(xué)生結(jié)伴交流，可以發(fā)表自已的見解，可以動(dòng)手折一折、畫一畫，這樣的參與既用到了腦，又用到了手、口、眼、耳，調(diào)動(dòng)了所有感官的參與。

二、數(shù)形結(jié)合，抓住本源

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，算法和算理都是抽象的知識(shí)，而小學(xué)生則是以形象思維為主，要想讓他們深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的道理，就要把抽象的知識(shí)形象化，這就要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想。形象思維和抽象思維是相輔相成的關(guān)系。形象思維是抽象思維的基礎(chǔ)，抽象思維是形象思維的提升。把它們真正做到有機(jī)聯(lián)系在一起的，就是數(shù)形結(jié)合的思想。此外，數(shù)形結(jié)合也證明了代數(shù)和幾何其實(shí)是一個(gè)有機(jī)的整體。其實(shí)，“數(shù)”與“形”本身就是一個(gè)有機(jī)的整體，比如楊輝三角，就是數(shù)與形的完美結(jié)合。到了函數(shù)部分，這種結(jié)合體現(xiàn)得更加明顯。所以中學(xué)階段，又把代數(shù)和幾何整合成一門學(xué)科，讓它們有機(jī)融合。與之相反，有的學(xué)生遇到難題寧可算不出來(lái)，也不愿意畫畫圖，這就是沒(méi)建立起數(shù)與形的聯(lián)系。所以小學(xué)階段，也要在教學(xué)中體現(xiàn)出這種思想，而不要讓學(xué)生覺得數(shù)是數(shù)，形是形，彼此一點(diǎn)關(guān)系也沒(méi)有。分?jǐn)?shù)作為“三數(shù)”之一，它的地位是很重要的。相對(duì)于整數(shù)和小數(shù)，分?jǐn)?shù)是非常抽象的，在平時(shí)的教學(xué)中我們常用形象的圖形來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義及分?jǐn)?shù)的計(jì)算。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第三單元“分?jǐn)?shù)乘法（三）”，這單元的主要內(nèi)容是理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，探索分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。這是整個(gè)分?jǐn)?shù)乘法中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。分?jǐn)?shù)乘法是數(shù)的運(yùn)算，屬于抽象知識(shí)，而五年級(jí)的學(xué)生以形象思維為主。把抽象知識(shí)形象直觀地顯示出來(lái)，讓學(xué)生接受是一大難點(diǎn)。教學(xué)設(shè)計(jì)中我很好地運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，在課堂上采用了大量的直觀圖形來(lái)闡釋算法背后的算理。

師：把這張神奇的紙條對(duì)折，取一半，剩下的部分占整張紙條的多少？

課堂中所教的算法和算理，都是抽象的知識(shí)，要讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)背后的道理，就要把抽象的知識(shí)形象化，這就要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法。本節(jié)課如果只是抽象地講“分子乘分子，分母乘分母”的話，學(xué)生只能會(huì)單純地運(yùn)用這種方法去做題，而不明白為什么要分母相乘，分子相乘，弄不好還會(huì)與分?jǐn)?shù)加減法混淆。用數(shù)形結(jié)合的方法，則能讓他們直觀地感受到，分母相乘就是求平均分成多少份，分子相乘就是取了多少份。明白算理后，每次計(jì)算，他們的頭腦中都會(huì)呈現(xiàn)直觀圖形，這才是真正的理解，而且不會(huì)產(chǎn)生混淆。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)形結(jié)合就是在抽象知識(shí)和形象思維之間搭起的一座橋梁。建立數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展是極為重要的。

三、知識(shí)遷移，拓展思維

教育的目的之一應(yīng)該是讓學(xué)生習(xí)得一種思維方式，無(wú)論將來(lái)從事什么工作，都可能會(huì)用到從學(xué)校學(xué)到的思維去解決和處理生活中的問(wèn)題。在平時(shí)的教學(xué)中，學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生將已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效地遷移，通過(guò)拆分、轉(zhuǎn)化，變成以前學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決。而轉(zhuǎn)化的思想也是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常用到的數(shù)學(xué)思想。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第四單元“長(zhǎng)方體的體積”這一課中，就可以如下進(jìn)行知識(shí)遷移，拓展思維。

師：今天我給大家請(qǐng)來(lái)了一位學(xué)習(xí)小助手，棱長(zhǎng)是1dm，體積呢？

生：1dm3。

師：這個(gè)1立方分米就是我們之前認(rèn)識(shí)的體積單位，它有什么用呢？

生：可以知道組合圖形的體積。

師：通過(guò)數(shù)一數(shù)有多少個(gè)體積單位就知道了圖形的體積，我們來(lái)試一試，這個(gè)長(zhǎng)方形也是由1立方分米搭成的，它的體積是多少？

生：60立方分米。

師：為什么？

生：每行有5個(gè)立方體，有4行，那么這一層就有20個(gè)，一共有3層，一共就有60個(gè)1立方分米，所以它的體積是60立方分米。

生：我們是用5×4×3知道了這個(gè)長(zhǎng)方體一共還有60個(gè)1立方分米的小立方體，所以它的體積就是60立方分米。

師：想一想算式中的5、4、3分別表示什么？

生：5表示一行有5個(gè)，4表示有這樣的4行，3表示有這樣的3層，我們用每行5個(gè)乘4行乘3層就知道了含有多少個(gè)體積單位，也就是體積。

師：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？說(shuō)起你的理由。

生：它的體積是400立方分米，因?yàn)樗拈L(zhǎng)是10分米，寬是8分米，高是5分米，也就說(shuō)明它一行可以擺10個(gè)，可以有8行，有這樣的5層。

師：算式中的10、8、5分別表示什么？

生：10表示長(zhǎng)，也表示一行有10個(gè)。8表示寬，也表示有這樣的8行，5表示高，也表示有這樣的5層。

師：我們發(fā)現(xiàn)知道長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高就意味著知道了每行擺幾個(gè)，擺幾行，擺幾層，就可以知道一共有多少個(gè)體積單位，也就知道了長(zhǎng)方體的體積。

師：看這條線段有多長(zhǎng)？

生：8分米。

師：為什么？

生：因?yàn)樗锩孢€有8個(gè)1分米的長(zhǎng)度單位。

以知識(shí)為本的課堂，重視的是教育的結(jié)果，有時(shí)候會(huì)缺少教育智慧。數(shù)學(xué)思想的形成，要在知識(shí)生成的過(guò)程中來(lái)完成，學(xué)生只有在探究知識(shí)的過(guò)程中才能體會(huì)到數(shù)學(xué)思想。如轉(zhuǎn)化的思想多用于借助舊知解決新知的過(guò)程中，能夠幫助學(xué)生通過(guò)有效地遷移完成對(duì)新知的探索，得出結(jié)論。學(xué)生只有經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題的全過(guò)程，才能深刻感悟到數(shù)學(xué)思想的價(jià)值。數(shù)學(xué)中所有的概念、定義、公理、定理都需要經(jīng)歷“猜想—實(shí)驗(yàn)—觀察—分析—?dú)w納—總結(jié)”的探究過(guò)程，如果學(xué)生只是掌握了最后一步結(jié)論，沒(méi)有經(jīng)歷結(jié)論形成的過(guò)程，是體會(huì)不到數(shù)學(xué)思想的價(jià)值的。

本節(jié)課的價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新知進(jìn)行建構(gòu)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維起到了重要作用。在教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了長(zhǎng)方體的體積等于長(zhǎng)乘寬乘高的探究全過(guò)程，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決了和長(zhǎng)方體相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。教育是為學(xué)生服務(wù)的，一切教學(xué)方法都應(yīng)該從學(xué)生這個(gè)根本出發(fā)，因地制宜地去傳授更好的方法和知識(shí)。對(duì)于學(xué)生思維模式和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，是需要從每一次的課堂教學(xué)中去不斷升華的，教師要不斷滲透、學(xué)生要充分感悟數(shù)學(xué)思想，這樣才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)更符合學(xué)習(xí)規(guī)律。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）