基于分數階PID控制和粒子群算法的水電機組開機優化

張官祥，羅紅俊，廖李成，朱郅瑋，馬 龍，張友江，李超順

（1.中國長江電力股份有限公司白鶴灘水力發電廠，四川涼山615400；2.長江三峽能事達電氣股份有限公司，武漢430070；3.華中科技大學土木與水利工程學院，武漢430074）

近年來，由于風能和太陽能等能源的大規模整合及需求的多樣性，電網的電力供應和負荷需求的波動變得越來越嚴重，為了維持電網運行的穩定性，水電站以其對負載變化能快速響應等特點，承擔著平衡上述能源的負載的任務。水電站平衡負載的方式主要有：增大水電機組啟動和停機的頻率等［1］。水電機組啟動時，機組轉速的超調體現了轉速上升的最大偏差，是一個重要的啟動質量指標，同時還應考慮轉速的振蕩，水擊壓力和其他指標，以求得到動態性能良好的開機過渡過程。采取先進的優化算法對水電機組開機策略進行優化，選取合適的參數，可以極大的幫助水電站及電網的穩定運行。粒子群優化（PSO）算法是一種模擬社會行為的進化技術，在工程優化領域有十分廣泛的應用［2］，也十分適合本文的參數優化。

本文基于特征線法建立了水輪機調節系統仿真模型，針對傳統水電機組閉環開機方法采用的常規PID控制存在的積分飽和，對機組的開機控制產生負面影響的情況［3，4］，本文考慮利用分數階PID控制器優化控制性能。以國內某特大型水電站水電機組調節系統為實驗對象，對比導葉一段式及兩段式開啟規律分別配合常規PID 與分數階PID 控制器下的開機策略的控制性能，并對開機策略進行參數優化，分析各開機策略的過渡過程，選取最優的開機策略，為改善水電機組的啟動工況下的動態性能與質量提供理論基礎與技術支持。

1 水輪機調節系統建模

本文所研究的水電站為單機單管，雙機共尾水隧洞的布置形式，下游岔管處布置尾水調壓室。為了使建模計算的結果更加精確，將引水系統分為7 大部分24 小段。分別為：第一部分Lr1：上游水庫至1 號機組蝸殼段；第二部分Lr2：1 號機組蝸殼段；第三部分Lr3：1號機組尾水管至岔管尾水調壓室段；第四部分Lr4：上游水庫至2 號機組蝸殼段；第五部分Lr5：2 號機組蝸殼段；第六部分Lr6：2號機組尾水管至岔管尾水調壓室段；第七部分Lr7：岔管尾水調壓室至下游段。水電站引水系統布置形式簡略示意圖如圖1所示。

1.1 壓力引水系統模型

1.1.1 水擊計算特征線法

在實際的水輪機調節系統大波動水力過渡過程的計算當中，常采用特征線法計算有壓管道引水系統的過渡過程［5］。有壓管道非恒定流可以如下描述：

式中：Q為管道中某一過水斷面在時刻t的流量，m3/s；H為相對于某一基準面，管道某過流斷面在時刻t 的水頭，m；f為管道的水力摩阻系數；L為相應的過流斷面到設計原點的距離，m；D管道的直徑，m；F為管道的斷面面積，m2。

在工程計算實際應用上，可利用待定系數法將特征線方程改為差分方程的形式，沿水錘正特征線上A、P兩點，由A至P點壓力波傳播時間為Δt，同理B至P點壓力波傳播時間也是Δt，則可以有式（3）的表達方式：

上述式（3）可以簡化成表達形式如下：

Ca=

根據特征線方程C+和C-，可以構造如圖2 所示的差分網格。時間步長常數定義為給定值，可由公式求得。A 和B 是左邊和右邊的兩個相鄰點P。如果這一刻時間，A點和B點的水頭是已知的，A 點和B 點的流量已知，可以通過式（3）計算P 點的水頭和流量。

圖2 特征線法差分網格示意圖Fig.2 Schematic diagram of feature line method differential grid

1.1.2 調壓室邊界條件

文中考慮的尾水調壓室位于尾部岔管的正上方，對于圖3中d1以及u2斷面可以分別寫出C+和C-方程：

圖3 尾水調壓室示意圖Fig.3 Schematic diagram of the tail water surge tank

再結合調壓室能量方程與水位流量關系的方程，利用前一時刻的水位流量進行迭代可以求得現階段調壓室水位流量用于迭代計算。

1.2 水輪機模型

由于本文的仿真對象機組自身設計的原因，導致在水電機組全特性曲線高轉速區域出現嚴重的交叉、重疊現象，將會出現固定的轉速對應多個流量與轉矩的情況而使得插值模型出現錯誤導致仿真計算失敗［6］。故本文采用改進Suter 變換方法［7］對機組全特性曲線進行處理。改進型Suter 變換處理的公式如下：

式（5）為變換后機組全特性曲線的數學描述表達式。式中a、q、h、m、y分別為機組轉速、流量、水頭、力矩和導葉開度的相對值；其中參數k1>|M11max|/M11r，k2= 0.5～1.2，Cy= 0.1～0.3，Ch= 0.4～0.6。

1.3 發電機及負載模型

在水輪機調節系統中，經常被用來構建模型的發電機的模型包括一階、二階、三階和七階的。本文研究水輪發電機組可采用發電機的一階導數微分方程模型［8］，如下所示：

式中：J是機組的轉動慣量；ω是角速度；Mt，Mg分別是水輪機組的主動力矩和負載力矩。

1.4 PID與分數階PID控制器模型

分數階PID的結構框圖如圖4所示，λ，μ分別為積分以及微分的階次。當λ=μ= 1 時即為常規的PID 控制器，在本文的過渡過程仿真中，采用增量型PID 控制算法如式（8）對PID 控制器進行離散化處理從而進行計算機仿真［9］：

圖4 分數階PID控制器模型示意圖Fig.4 Schematic diagram of fractional PID controller model

而當λ，μ不同時為1時，由于微積分階次的改變，可供調整的范圍就更加的寬泛，能對控制系統有更精確地控制精度［10］。式（9）為利用分數階PID控制器的系統描述：

2 導葉開啟規律優化

2.1 目標函數的選擇

為了更好的通過目標函數反映機組的啟動的質量，以圖5即轉速上升曲線為例。

圖5 轉速上升曲線示意圖Fig.5 Schematic diagram of speed rising curve

在機組啟動后，水輪機組的轉速在經歷了若干次的波動之后會到達穩定的轉速值nstab，轉速上升的最大值nmax和穩定值nstab的差值與nstab的比值定義為轉速的超調量，而轉速n與nstab的差值e(t)與時間的乘積在指定區間上的積分即ITAE，即式（10）可以體現整個啟動過程的穩定性［11］，由此可以確定兼顧反映機組轉速上升過程的最大偏差及動態過程穩定性的目標函數為式（11），式中ω1與ω2分別為ITAE與超調量的權重：

2.2 決策變量的選擇

不同的開機規律會導致不同的水力過渡過程。目前，我國水輪機調速器常見的開機規律為導葉一段開啟規律和兩段開啟規律［12］。

2.2.1 一段式開啟規律

導葉一段式開啟規律中，首先以最快的速度打開導葉，當達到yc時，導葉的開度保持不變，直到速度達到額定值的90%。然后接通一個閉環PID 控制器，使得機組到達額定轉速［13］。圖6為導葉一段式開啟規律的示意圖。

圖6 導葉一段式開啟規律示意圖Fig.6 Schematic diagram of the opening rule of the first section of the guide vane

2.2.2 兩段式開啟規律

導葉兩段式開啟規律中，首先以恒定的速度kc1打開導葉，然后當開度達到yc1時，開度保持不變，直到達到設定的轉速nc。然后，在轉速達到nc之后，以kc2的斜率關閉導葉。然后在開度降低至yc2時接通一個閉環PID 控制器，以進行頻率調節［14］。導葉兩段式開啟規律的示意圖如圖7所示。

圖7 導葉兩段式開啟規律示意圖Fig.7 Schematic diagram of the opening law of the two sections of the guide vane

由圖6 及圖7 可知，在不同的導葉開啟規律中，可能對轉速上升造成影響的參數有yc1，yc2，nc，kc1，kc2，由導葉最速開啟速率及最速關閉速率可以確定kc1，kc2以減少決策變量維數提升搜索速度，再考慮接入的PID 控制器的PID 參數Kp，Ki，Kd，故決策變量可以表示為：

若使用分數階PID 控制器的啟動策略，則決策變量可更新為：

2.3 約束函數的選擇

約束函數有幾種不同的類型：

（1）決策變量的取值范圍限制：它限定了決策變量的設置范圍，可以如下表示：

（2）目標函數的取值范圍限制：它限定了目標函數值的合理范圍，可以如下表示：

（3）行業規范對參數的限制：通過限制機組轉速上升過程振蕩次數使機組啟動過程中各部位振動滿足要求，同樣還有開度設定的限制：

2.4 粒子群優化算法

粒子群算法基于群鳥覓食的模型，通過群體中個體之間的協作和信息共享來尋找最優解。本文基于粒子群算法進行水輪機組啟動工況的單目標優化［15］，主要的優化的流程圖（見圖8），步驟如下：

圖8 粒子群優化流程圖Fig.8 Particle swarm optimization flowchart

（1）將粒子群算法的各項參數以及決策變量的個數與范圍導入主程序。

（2）初始化粒子種群，包括粒子的初始位置，初始速度，并計算適應度函數值。

（3）計算群體中粒子的單個歷史最優位置Xbest以及群體的全局最優位置Gbest。

（4）依據粒子群優化算法原理［式（17）］以及歷史最優位置Xbest，全局最優位置Gbest更新每個粒子的速度與位置：

（5）重新計算粒子的適應度函數值，并更新群體中粒子的單個歷史最優位置Xbest以及群體的全局最優位置Gbest。

（6）判斷是否滿足結束的條件或是否到達最大的迭代次數，如果滿足條件或到達最大迭代次數，則輸出全局的最優結果，如果不滿足，則繼續執行步驟（4）。

3 實例分析

本文以國內某特大型水電站水電機組為例，進行水電機組啟動工況下多種開啟策略的仿真實驗。

3.1 參數設置

過渡過程仿真中所用的水電機組的額定參數，調壓室的各項參數，以及建模中各模塊的參數如表1所示，引水系統中各分段管路的參數如表2 所示，用于優化的各項決策變量的范圍如表3所示。

表1 過渡過程仿真實驗各項參數Tab.1 Various parameters of the transition process simulation experiment

表2 引水系統分段管路參數Tab.2 Sectional pipeline parameters of water diversion system

表3 單目標優化決策變量范圍Tab.3 Single objective optimization decision variable range

3.2 仿真結果分析

最終優化的各項決策變量的值以及最優目標函數值如表4所示；由于兩臺機組給定一樣的開啟策略，故本文只展示一臺機組的過渡過程中的機組轉速，導葉開度，蝸殼末端壓力，尾水管壓力以及尾水調壓室水位波動的動態變化過程。如圖9所示。

表4 不同開機策略全局最優參數與最優目標函數值Tab.4 Global optimal parameters and optimal objective function values for different start-up strategies

過渡過程中的各項指標如表5所示。

表5 不同開機策略過渡過程指標Tab.5 Transition process indicators of different start-up strategies

如圖9 及表4、5 結果所示，導葉兩段式開啟規律的最優目標函數值明顯小于導葉一段式開啟規律，且FOPID 控制器優于PID 控制器，兩段式開啟規律與FOPID 控制器配合的最優目標函數值最小，為0.427；導葉兩段式開啟規律在控制轉速的超調量上表現更為優秀，相較于一段式的4.67%與2.39%，兩段式開機的超調量只有1.47%及0.75%，并且FOPID 控制器都優于PID控制器；兩段式FOPID 的開啟策略下，轉速進入并穩定在穩態轉速的±0.2%的范圍的調節時間ts只有38.38 s，為所有開機策略的最優；在ITAE 這一項指標下，導葉兩段式開啟規律搭配PID 或FOPID 控制器的差距不大，但均小于一段式開啟規律的值，從圖9（a）的轉速上升的曲線也能體現兩段式開啟規律下轉速的動態過程更為平緩；在導葉開度的變化規律上，導葉兩段式開啟規律搭配FOPID 控制器的動態過程無論是導葉開度的波動的最大值抑或是到達穩定的時間都比其余開啟策略的小，而導葉一段式開啟規律會有一段十分明顯的導葉開度上升過程，對機組的穩定運行十分不利；在蝸殼末端壓力及尾水管壓力的控制效果上，兩段式FOPID 控制的波動程度更小，波動的時間也更短，能更快到達穩定，獲得更優的過渡過程。

4 結 語

（1）本文在采用改進Suter 變化和特征線法，建立了水電組調節系統仿真模型，在4 種不同的開機策略下進行了特大型水電機組啟動工況的仿真實驗。

（2）從仿真結果可以得出：分數階PID 控制器相較于PID 控制器在水電機組啟動工況下，轉速超調量僅有PID 控制的約51%，應用兩段式開啟規律的ITAE 值相近，最終的最優目標函數值最小，為0.427，使用導葉兩段式開啟規律配合分數階PID控制器的開機策略到達穩定的調節時間僅需38.38 s，相較于PID 控制減少38%，蝸殼末端及尾水管壓力數值也分別減少12%與18%，波動次數更少，動態性能更為良好，更符合水電站對于水電機組安全穩定運行的要求。 □