挖掘學科本質 發展學生素養

蔣瑩 欒燕

教學內容：人教版數學五年級上冊第六單元第一課時86-88頁。

教學目標：

1.探究并掌握平行四邊形面積的計算方法，能正確計算出平行四邊形的面積，運用公式解決簡單的實際問題。

2.經歷觀察、猜測、分析、操作、概括、推導等數學活動。滲透轉化的數學思想，發展學生的空間觀念。

3.在探究的過程中，學生獲得積極的情感體驗。培養探究精神，激發學習的興趣，感受到數學與生活的密切聯系。

教學重點：平行四邊形面積計算公式的推導，能準確地計算出平行四邊形的面積。

教學難點：理解平行四邊形面積計算公式的推導過程。

準備：平行四邊形的紙板，可拉動的平行四邊形木框，課件。

準備：平行四邊形卡片若干，透明的方格板，格尺，剪刀。

教學流程：

一、溝通聯系，復習導入

1.觀察情景圖，回顧舊知

師：同學們，這是一幅學校門前的平面圖，請仔細觀察，你發現了哪些平面圖形？

生：斑馬線是長方形，指示牌是三角形，屋頂是梯形。

師：其實我們生活的空間就是一個圖形的世界，看到這么多圖形，你會計算哪些圖形的面積呢？

生：長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長。

2.引出內容，板書課題

師：同學們，這塊草坪是什么形狀？

生：平行四邊形。

師：它的面積怎么求呢？這就是我們今天要研究的內容。

二、動手操作，探究發現

1.大膽猜測

師：同學們，請你們大膽地猜一猜，平行四邊形的面積可能怎么求？

生：鄰邊相乘。

師：你的意思是這條邊乘這條邊嗎？那就是鄰邊相乘，你又是怎么想的？

生：我們已經學過求長方形的面積的計算方法，是長×寬即鄰邊相乘，由此我估計平行四邊形的面積可以用鄰邊相乘。

師：你說的也有道理，還有不同的想法嗎？

生：底×高 。

師：你是怎么想的？

生：我是把這個平行四邊形轉化成長方形，再根據求長方形面積的公式，得出了平行四邊形面積的計算方法。

師：你是依據長方形的面積求法來猜的。還有別的想法嗎？

生：數格子。

師：這是研究長方形面積時我們用過的的方法。

2.引發質疑

師：大家提出了不同的方法，接下來就按你們所想的，在這張平行四邊形的卡片上，找到你所需要的條件，求出它的面積。（學生活動。）

師：誰來匯報一下結果？

生：底×高， 6×4=24平方厘米。

師：他用底×高來計算的，還有其他的方法嗎？

生：鄰邊相乘，6×5=30平方厘米。

師：他算出的是30平方厘米，還有不同的方法嗎？

生：數格子。我先一個一個的數出整格有18個，像這樣兩個不滿一格可以拼成一個整格，一共有6個整格，所以是24個格子就是24平方厘米。

師：你們數出的也是24個格子嗎？我們一起來看，剛剛這位同學，先數出了共有18個整格，然后利用平移把像這樣2個不滿一格的正好拼成一整格。在格子圖中，像這樣所有不足一格的都能找到另外一部分和它拼成一個整格。

師：所以在數格子時，1個格子代表1平方厘米，不滿一個格的都可以按半格計算，誰愿意按這種方法再來數一數？

生：我先數出整格有18個，再數半格有12個就能拼成6個整格，所以是24個格子就是24平方厘米。

師：同學們用數方格的方法能夠準確數出平行四邊形的面積，就是24平方厘米。用底×高計算的結果和它是一樣的。是巧合，還是蘊含著一定的道理？小組同學運用你手中的學具，想一想，可以用什么方法來驗證平行四邊形的面積要用底×高計算。

3.實踐推理

師：誰愿意來匯報你的想法。

生：我準備沿著平行四邊形的這條高剪開，這時就會把平行四邊形分成三角形和梯形，然后把這個三角形平移到梯形的右側，拼成了長方形，這時我們就可以求出它的面積了。

師：你是這么想的，還有別的想法嗎？

生：我想沿中間的高剪開的，把這個平行四邊形分成了兩個直角梯形，再將它們平移，轉化成長方形，長方形的面積我們已經學過，從而就求出了平行四邊形的面積。

師：這名同學的想法非常好，接下來就按照同學們的想法，畫一畫、剪一剪、折一折，開展探究吧！（學生匯報。）

生：我是這樣操作的，先沿著平行四邊形的這條高剪開，得到了一個直角三角形和一個直角梯形，然后將這個直角三角形向右側進行平移，直到變成一個長方形為止。這時大家會發現平行四邊形的底就是長方形的長，平行四邊形的高就是長方形的寬，并且平行四邊形的面積與長方形的面積相等。因為我們已知長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：這組同學是從頂點做高，剪下來的是個直角三角形，移過去拼成了長方形。有和他一樣的嗎？還有其他剪法嗎？

生：我是沿中間的高剪開的。把平行四邊形分成兩個梯形，再拼成一個長方形，長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高，長方形的面積就是平行四邊形的面積，因為長方形的面積等于長×寬，所以平行四邊形的面積就等于底×高。

師：這個小組的幾名同學是沿著中間的一條高剪開，把這兩個直角梯形，拼成了一個長方形。

師：剛才同學們無論是從頂點剪，還是從中間剪，都是沿高剪開。我們知道平行四邊形有無數條高，就有無數種剪拼的方法，但是所有的方法，都是把平行四邊形轉化成長方形。

師：剛剛我們把這個平行四邊形轉化成長方形的時候，什么變了？什么沒變？

生：形狀、周長變了，底、高、面積沒變。

4.運用轉化

師：我們看轉化后長方形的長和寬，相當于平行四邊形的底和高，并且長方形的面積和平行四邊形的面積是相等的，因為長方形面積的求法是用長乘寬，所以求平行四邊形的面積就用底乘高。（課件演示。）

師：下面同桌之間互相再把這個過程完整地說一說。

師：誰愿意把這個轉化過程，再給大家講一講。（學生展示。）

生：我先沿著這個平行四邊形的一條高剪開，這時得到了一個直角三角形和一個直角梯形，然后我把這個直角三角形向右側一點一點地平移，直到拼成了一個長方形為止。轉化后這個長方形的長就相當于平行四邊形的底，這個長方形的寬相當于平行四邊形的高，并且拼成的長方形的面積和原來平行四邊形的面積是相等的。因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：如果我們用字母“S”表示平行四邊形的面積，用字母“ɑ”表示平行四邊形的底，用字母“h”表示平行四邊形的高，那么平行四邊形面積公式用字母表示可以寫成S=ɑh 。

5.分析錯因

師：通過大家的分析、推理，我們探究出了平行四邊形的面積可以用底乘高來計算。

師：同學們還記得嗎？課前有同學猜測用鄰邊相乘來求平行四邊形的面積，通過我們研究，這種方法是錯的。那么問題出在哪里了？鄰邊相乘的得到的又是什么呢？下面小組同學交流交流。（學生匯報。）

生：因為斜邊不是高所以用鄰邊相乘求不出平行四邊形的面積。

師：非常好，你能看著圖形在頭腦中想象出斜邊和高的關系。

師：我們來看這個平行四邊形的框架，同學們注意觀察，什么變了？什么沒變？（教師拉動平行四邊形木框）發現了嗎？我們再來看一遍！什么發生了變化，而什么沒變？

生：形狀變了。

師：這位同學發現了形狀的變化！還有嗎？

生：高變了。

師：高是怎么變的呢？

生：高變長了。

師：同意嗎？什么也發生了變化？

生：面積也發生了變化，變大了。

師：那什么沒有發生變化呢？

生：周長沒變。

師：你的意思是它的每條邊的長度都沒變。

師：那么鄰邊相乘得到的是什么呢？

生：這里的鄰邊相乘其實就是長方形的長乘寬，得到的是長方形的面積。

師：是的，經過拉動這個平行四邊形的框架，把它變成了長方形，鄰邊相乘其實求出的是這個長方形的面積，它的面積要比之前平行四邊形的面積要大。

師：因此鄰邊相乘，不是計算平行四邊形的面積的方法。我們把錯誤方法擦掉。

6.回顧總結

師：回顧我們剛才的研究過程，同學們首先提出自己的想法，然后不斷地思考、實踐、探究、驗證最終獲得正確的結論。研究出怎樣求平行四邊形的面積。同學們在探究的過程中，運用到了轉化的思想。大家這種大膽質疑、勇于探索的學習品質讓老師佩服。接下來就讓我們用學到的知識來解決問題。

三、運用新知，理解內化

1.利用平行四邊形的面積公式求出草坪面積。

2.算出下面每個平行四邊形的面積。（列式不計算。）

師：這節課同學們利用轉化的思想研究出平行四邊形面積的計算方法，在以后的學習中我們還會用這種思想解決更多的問題。

評析：

本節課教師抓住數學的本質，挖掘隱藏在教學內容背后的數學思想方法，驅動學生進行數學思考，讓學生感受數學的神奇和美好。注重對學生核心素養的培養，尤其是轉化的思想，將未知轉化成已經學習過的知識來研究平行四邊形的面積，為今后探究其他圖形的面積計算做鋪墊。

1.著力于學科本質的理解，注重知識間的相互勾連

《數學課程標準（2011版）》提出，數學教學重要的是讓學生在學習過程中，掌握相應的數學思想和方法，培養他們能夠用數學的眼光看待世界。所以在教學中我們要把握數學本質，融入數學思想，突出數學思考，在“增知識”“長見識”“悟道理”的過程中，逐步發展學生的數學核心素養。

本節課，蔣老師充分尊重學生的知識儲備，從而準確定位本節課的教學目標：利用轉化的思想進行遷移類推，讓學生經歷“猜測—質疑—驗證—分析”的探究過程。

全課蔣老師利用三個環節來滲透轉化思想：

第一個環節：數小方格，感知轉化。借助面積是1cm2的小正方形方格板數出平行四邊形的面積。讓學生感受到了平行四邊形的面積可以轉化成多個1cm2的小正方形，從而得出平行四邊形的面積。

第二個環節：剪、拼操作，運用轉化。在研究平行四邊形的面積時，引導學生沿著平行四邊形的任意一條高剪開，拼成面積相等的長方形，因此，學生推導出了求平行四邊形面積的計算方法。通過這個活動，學生體會到了轉化就是將未知變成已知，轉化思想在學生學習數學的過程中應用十分廣泛。

第三個環節：公式推導，還原轉化。在上個環節中，學生已經得出了平行四邊形面積公式，但是學生的認知是停留在直觀層面上的。將平行四邊形轉化成長方形后，它們的面積不變，我們還要把長方形還原成平行四邊形，找出前后兩個圖形之間的共同點，進一步理解長方形面積公式與平行四邊形面積公式之間的內在聯系。通過這樣的還原轉化，使公式推導水到渠成。每個環節的設計與處理，都可謂：隨風潛入夜，潤物細無聲，學生在實踐活動中無時無刻不感受著轉化思想的實用價值。

2.著力于關鍵問題的確立，注重學生思維的縱深發展

數學課堂應該凸顯思想的味道、思維的味道、思考的味道。所以關鍵問題的確定至關重要，它能夠有效地促進學生學習能力的形成。本節課幾個核心問題的設立，成功地將學生的思考引向深入，層層遞進中發展學生的思維。

問題設計一：“同學們，請你大膽地猜一猜，平行四邊形的面積可能怎么求？”學生根據已有知識大膽猜測，充分尊重學生的知識儲備，后續的教學也是圍繞學生猜測的結果進行驗證，最終獲得正確的結果。這種大膽質疑、勇于實踐的精神將是學生今后面對生活時需要具備的品質之一。

問題設計二：“同學們想一想，我們在把平行四邊形轉化成長方形的過程中，什么變了？什么沒變？”引導學生探求把平行四邊形轉化成長方形后，前后兩個圖形之間的聯系是什么，找到求平行四邊形面積的計算方法。通過“變與不變”的角度，引導學生從面積和形狀兩個角度觀察思考問題，感受幾何圖形中變與不變的微妙，經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程。

問題設計三：“同學們用數方格的方法能夠準確數出平行四邊形的面積，結果是24平方厘米。用底×高計算的結果和它是一樣的，是巧合呢，還是蘊含著一定的道理？那么道理何在？而鄰邊相乘這種方法一定存在問題，問題出在哪里呢？”這個問題的提出，對于學生來說是具有挑戰性的。“知其然，還要知其所以然。”為什么平行四邊形的面積可以用底乘高來計算。還要知其錯誤的根源”，后面教師利用活動的平行四邊形框架演示，幫助學生清楚地理解了臨邊相乘算出的是平行四邊形拉成長方形的面積，因為高發生了變化，所以面積也發生了變化。一正一反的對比學習，更讓學生對正確的知識記憶猶新，學生的思辨、質疑能力也得到了充分地鍛煉和提升。

教師精準確立的問題拓展了學生的思維廣度，提高了學生的思考深度。他們在剪一剪、拼一拼、畫一畫的活動中積累基本活動經驗，在小組合作、匯報交流中互相質疑和補充。學生的思維在有效的學習中不斷碰撞，從而達到深度學習。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。”一節課在每個人的實施中都會各不相同，但是有一點是相通的，那就是：鉆研教材，分析學情，挖掘數學思想，還原數學本質，讓師生共同感受學習的美好！

■ 編輯/魏繼軍