“基本圖形”在立體幾何問題中的應用教學設計與反思

黃少龍

教學內容：應用“基本圖形”求解立體幾何中的一些常見問題，尤其是多面體的外接球問題。

教學目標：

1.掌握課堂探究的 “基本圖形”結果，并應用學習的“基本圖形”解決課堂問題;

2.通過課堂學習，使學生意識到“基本圖形”對解決立體幾何問題的幫助，并能積極主動的探索“基本圖形”。

教學重點：

1.“基本圖形”——特殊的三棱錐;

2.應用“基本圖形”求解。

教學難點：

1.學生的“基本圖形”知識儲備較少;

2.學生應用“基本圖形”解題的主動意識不足。

教學過程：

一、創設情境，提出問題

師：同學們，在今年的6月17日上午9時22分，我們的神舟12號載人飛船成功發射，并且它與我們的中國空間站核心艙天和號也成功完成對接。未來的3個月里3位宇航員將進行各種實驗工作，為2022年中國空間站的建成做好準備。這一偉大事件標志著中國的航天技術已經完成了歷史的飛躍！

師：（PPT展示中國空間站的結構圖）請問同學們，看到中國空間站的結構圖，你有所聯想嗎？

生：積木、樂高、變形金剛、十字架、魯班鎖……

師：（PPT展示孔明鎖與榫卯結構圖）嗯！在我們為之自豪的同時也勾起了我們很多的童年回憶。我和同學們有同感，讓我想起了自己小時候玩過的魯班鎖，也叫孔明鎖。誰能說說它們有什么相似之處呢？

生A：都可以改變原來的樣子。

生B：準確地說是都可以組合成新的樣子。

師：嗯，兩位同學說得很好！第二位同學表達的更加準確。雖然兩者不可同日而語，但它們都可以通過相互嵌入（榫卯）的方式構成新的樣子和形狀，有著異曲同工之妙。我們可以看到，空間站由五個不同的部分組合而成，每個部分都有自己相對獨立的功能，組合在一起有更強大的作用。2024年后的10到20年，中國空間站將是太空中唯一的空間站，它將在空間技術探索以及空間技術合作方面發揮巨大的作用。想到這里，大家考慮一下，在立體幾何問題中我們常用的“割補法”——將一個圖形分割或彌補成形狀相對簡單、性質相對更好的“基本圖形”，在解決一些復雜問題時是否更加有效？

生：是的。

師：那么，今天老師帶著這個想法和同學們再探究竟。開始之前，我們再次明確本節課所提出的“基本圖形”的概念——圖形相對簡單且幾何性質較好，可以用來構成（切割或彌補）復雜幾何體的圖形。

（板書課題：“基本圖形”在立體幾何問題中的應用。）

二、解題探究，技能學習

“基本圖形”應用的有效性由兩個因素決定：一是學生的知識體系中的“基本圖形”的儲備量;二是主動應用“基本圖形”的思維意識。為解決好這兩個難點，教師在課堂上的一個重要工作就是做好解題前的引導與鋪墊工作，因此課堂教學以問題串的方式展開與深入。

1.思考題1的探究學習

思考題1：已知在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60？紫，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積.

師：平面圖形的折疊問題在立體幾何問題中常見，此類問題的解決核心在于將折疊前后的“變與不變”分析清楚，即前后的數量（線段長度、角度等）和位置關系（平行、垂直、分點位置）是否發生改變要分析到位，為后續的進一步求解做好切實的準備。請問，本題中的等腰梯形折疊后得到了怎樣的圖形？

（學生進行思考、討論，約1分鐘。）

生：是三棱錐（四面體）。

師：很好！那所得三棱錐的條件如何？折疊前后的“變與不變”有哪些？

生C：是一個正三棱錐。

生D：是一個正四面體，且棱長為1。

師：兩個同學回答很好，都是對的！不過，第二位同學的判斷更加到位，折疊后的圖形確實是一個正三棱錐，不僅如此，它的條件更好，是正四面體，根據原有的數據判斷，它的棱長為1。謝謝兩位同學。

師：接下來，我們要求解它的外接球體積了。這種多面體與球體的接（切）問題是近年考題中的常見問題，難度中上，一般都考查歐氏幾何的傳統方法的應用。此類問題的關鍵是找到“球心”。這也是這道題的難點所在，請同學進一步思考，努力突破它。

（學生獨立思考后同周圍學生展開合作討論，約3分鐘。）

師：哪位同學有解決辦法？

生E：我的方法如下：作AF⊥平面DEC，垂足為F，

F即為△DEC的中心.取EC的中點G，連接DG、AG，過球心O作OH⊥平面AEC.則垂足H為△AEC的中心.∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.在△AFG和△AHO中，根據三角形相似可知

師：這位同學的方法很好，他找球心的方法是利用正四面體的對稱性，確定外接球心即體對稱中心，然后應用初中所學的相似三角形通過解三角形既完成了球心位置的確定，又計算出了外接球的半徑大小，進而求出了外接球的體積，計算結果正確無誤。有哪位同學的方法比這位同學的更快呢？

生F：我有。我利用了“割補法”，將這個正四面體補形為一個正方體，然后求解的。這樣計算量更小，速度更快！如圖所示，把正四面體放在正方體中.可得，正四面體的外接球就是正方體的外接球。

師：大家鼓掌！大家看到了嗎？這位同學恰恰應用了一個性質更好的“基本圖形”——正方體，通過“割補”的方法將問題更有效的解決了！當然，能想到這個方法需要你對正方體有足夠的掌握，所以說，想應用好“基本圖形”有效解決立體幾何問題，在平時的學習中就要多去留意這些功能很強的“基本圖形”。老師對這些“基本圖形”有一個整理，大概有16個，將來會教大家一個一個都找到并掌握它們，好嗎？

生：好。

師：將來大家手里有了這些“法寶”，做立體幾何題就會占得先機，事半功倍了！下面，請跟隨老師探索一個非常有用的“基本圖形”。

2.思考題2的探究學習

思考題2：（人教A版必修2第67頁練習題）過所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC.若PA=PB=PC，∠C=90？紫，則點O是AB邊的點？

師：之前有同學課下問到了這道題如何解答，和這位同學討論的過程中，我們發現這里隱藏著一個很有應用價值的“基本圖形”，為了方便探究，老師將條件適當做了改變，下面我們一起來看看變式探究，得到結果后再回頭研究這道練習題。

變式探究：已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA=PB=PC與底面所成角相等，試判斷點P在底面ABC的射影的位置？

師：本題所問的射影位置應該是底面三角形的特殊位置，請同學們展開討論，看看它到底有多特殊？

（學生展開討論，約2分鐘。）

生G：老師，我們剛才討論出的結果是，這個射影是底面三角形的外心（外接圓的圓心）。

師：好的，其他同學們認為這個結果對嗎？……看來，有同學可能對三角形的幾顆重要的“心”概念模糊了，沒關系，我們稍做一個回顧，明確概念……（教師引導學生將三角形的外心、內心、垂心做了簡單的復習，約2分鐘。）

師：同學們在一起看看這幾位同學的結果對嗎？

生：對！

師：請這位同學把他的推證過程給我們說說吧。

生G：我主要是利用全等三角形做出了推證。連接OA，OB，OC，那么可以應用初中平面幾何知識里的“HL公理”證明三個三角形全等，從而OA=OB=OC，所以它就是三角形的外接圓圓心。

師：很好！這個過程顯示出這位同學對“HL公理”有足夠的掌握，那么應用這個“基本圖形”也就信手拈來。

師：看來，只要三棱錐（四面體）的側棱長相等，頂點在底面的射影一定是底面三角形的外心。反之成立嗎？同學們再思考一下它的逆命題如何？

（學生繼續展開討論，約1分鐘。）

生：逆命題成立……還是用全等三角形證明……

師：（PPT展示探究成果）同學們很棒，一點就通！的確，逆命題也成立！那么，根據四種命題的關系，將來我們使用這個結論就很自如了！好了，現在我就可以將這個結論作為一個“基本圖形”收入囊中！

師：現學現用，請問同學們，思考題2的結果是什么？

生：中點。

師：對！因為題中的三棱錐滿足了我們這個“基本圖形”的條件，所以結論是外心，而底面三角形又是直角三角形，外心只能是斜邊（AB）的中點！接下來我們一起再用今天所學的“基本圖形”向一道題做出挑戰！

3.思考題3的探究

師：這道題的解答關鍵還是要確定好外界球球心的位置所在。請同學們悉心作答，獨立思考，看看有幾種方法求解？

（學生獨立思考，作答約3分鐘。）

師：請在第一時間找到解法的同學舉手示意。

（教師在課堂巡視，和已有解法或思路的學生簡單交流，約3分鐘。）

師：好的，下面我們請幾位同學將自己的方法和大家做分享。

生H：我是建立了空間直角坐標系，然后用空間向量解析法去求解的。因為折疊后達到體積最大值時，平面P 'AD一定是和底面垂直的，此時過P '點做底面的垂線垂足即為邊AD的中點，記作H點，這樣就可以H點為原點，HP '、HD、HE（過H在底面作HE⊥AD）為坐標軸建系了，接下來應用坐標法去求解，但是計算量較大，幾分鐘時間里還未算出結果……

（其他學生主動舉手，躍躍欲試，老師示意下一位學生發言。）

生I：我將折疊后的四棱錐補形為以△P 'AD為底面的直三棱柱后進行求解的……

生J：我應用了今天所學的“基本圖形”立即確定了外接球球心就在底面矩形的對稱中心（底面矩形對角線交點）……

生K：我也是補形做的。我是在I同學的補形基礎上再對稱補形為一個長方體，這樣就和J同學一樣可以迅速確定外接球球心就在矩形ABCD的對稱中心，實際就是這個長方體的體對稱中心，然后就能容易求解出答案，選擇C.

師：同學們太棒了！各種解法思路百花齊放，效率高低大家也一目了然，尤其是后面發言的兩位同學的解法很精彩，通過“基本圖形”的應用，立即化繁為簡，達到迅速求解的目的。通過剛才大家的一番交流，再次驗證了“基本圖形”的作用不容小覷。謝謝這幾位同學，掌聲鼓勵！

三、課堂小結

師：今天，老師和同學們一起探究了一個命題，今后大家可以將它以“基本圖形”的方式補充在我們的立體幾何知識里，在一些多面體的外接球問題中，經常可以看到它的身影，有了它的作用，我們必定能提高解答這類題的效率。

另外，老師想通過這堂課傳遞一個在數學學習上的重要信息：在平時的學習中多去積累一些作用類似“基本圖形”的二級結論，對于一些中高難度的題目，往往就可以通過這些結果尋求到最有效的解答途徑，這是數學高手常用的一種處理難題的思維方式，同學們不妨試一試。

最后，為了鞏固今天所學，老師給大家留一道課后思考題：試用今天探究的方法，在橫線上填入適當的條件，完成下面命題的研究。

命題：已知三棱錐P-ABC中，點P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心（內心）。其逆命題成立嗎？

反思：

本節課是基于人教A版必修2的一道練習題的探究。在探究過程中，學生發現了在側棱長相等的條件下，頂點在底面的射影是底面多邊形的外心（外接圓圓心）這一結論。探討過程中，我們不僅解決了練習題的求解，而且衍生出了一組相關結論，可以改變條件后，得到三棱錐頂點在底面射影是底面三角形的垂心、內心，這在解答立體幾何題，尤其是研究多面體與球體的切接問題上，有很大的幫助。

教師和學生探討問題的過程也是互相激發智慧的過程，筆者在課后進行了進一步的深入思考，意識到學生的這一點思維的火花可以引燃出學生數學學習和解題的一種思維方式——積累出有效的類似“基本圖形”的二級結論，高效解題。學生在進入課堂聽課，走進考場答題，乃至學習任何新知識時都不是頭腦空白的在完成任務，一定是基于頭腦中以前所形成的相關認識和知識做出反應，形成正確或不正確的認識，整個學習過程就是新舊知識不斷地交互、積累形成知識網絡甚至體系。學生的知識掌握程度高低，往往就要通過學生解題的效率體現，而解題的成敗就要基于知識體系的完備狀況和解題能力的儲備狀況，這兩點就要靠平時的訓練來達成。但是，多年的一線工作經驗表明，學生在平時的學習過程中往往是被動接受知識，主動探究形成知識的情況很少，而大部分類似“基本圖形”的二級結論都是隱藏在題目中，教輔資料里，甚至是一些閱讀材料里，不是作為教材主題內容呈現出來的。因而，靠課堂和老師教給學生顯然是不夠的，尤其是學優生更需要這方面的補充，以體現這些學生的優勢。教師應該有責任教給學生尤其是學優生如何用科學的態度和方法去發現、整理、應用這些二級結論。

■ 編輯/魏繼軍