三穩態壓電振動能量采集器的非對稱勢能阱產生機理及其動力學特性研究?

鞠 洋鄭友成朱強國李 潁趙澤翔王光慶

(浙江工商大學信息與電子工程學院(薩塞克斯人工智能學院)，浙江 杭州310018)

近年來，低功耗電子設備如無線傳感器、通信節點、微型機器人、無人機以及可穿戴(可植入式)等的飛速發展與廣泛應用，使其供能技術受到嚴峻的挑戰。傳統電池供能雖然便捷，但是使用壽命短，無法長時間穩定地供能。一方面電池體積較大，難以滿足低功耗電子元件微型化的發展需求；另一方面更換電池費時費力，被更換的電池處理不當容易造成環境污染。因此，如何替代電池實現對低功耗電子器件自供電是迫切需要解決的技術瓶頸。將環境中普遍存在的振動能量收集并轉換成電能，實現對低功耗電子器件和無線傳感器網絡自供電成為研究熱點。當前，基于壓電轉換原理的振動能量采集技術因其能量轉換密度高、結構簡單、無污染、且易與宿主結構集成等優點受到關注[1]。

早期研制的壓電振動能量采集器主要是由壓電雙晶/單晶懸臂梁及其末端質量塊構成的線性機電轉換系統，它們僅在結構的固有頻率附近有較大的功率輸出。為了拓寬壓電振動能量采集器的有效工作頻帶和提高其能量轉換效率，采用非線性多穩態振蕩技術使器件在多個勢能阱之間作大幅值的高能軌道運動成為當前研究的重點。Tang[2]、Erturk[3－4]和Litak等[5－7]人利用磁體之間的非線性磁力，研究了雙穩態壓電振動能量采集器的動態輸出特性。Wang[8]和Zhou等[9－10]從理論和實驗方面研究了非線性三穩態壓電振動能量采集器，結果表明三穩態能量采集器較雙穩態采集器具有更寬的工作頻帶和更高的能量轉換輸出。Kim和Seok[11]利用懸臂梁末端磁鐵與外部兩個磁鐵之間的排斥力研制了一種三穩態壓電能量采集器，通過降階模型對比分析了三穩態壓電能量采集器能在激勵幅值較小時實現高效率的機電轉換。孫仲生[12]等研究了非線性系統在低頻寬帶振動下懸臂梁的共振機理，通過數值和實驗驗證了非線性雙穩態系統具有更高的輸出電壓。趙澤翔等[13－15]根據Hamilton原理和Raleigh-Ritz方法建立非線性三穩態機電耦合動力學模型并實驗，得出磁鐵間距、激勵幅值以及頻率等參數對系統動力學特性和電壓輸出特性的影響。上述研究證明了非線性技術可以使壓電振動能量采集器的工作頻帶和轉換效率提高。然而上述研究的非線性壓電振動能量采集器具有一個共同的特征就是它們的勢能阱具有對稱性、且勢能阱的深度和寬度是固定不變的。這使得非線性振動能量采集器在低激勵水平下很難突破勢能阱的束縛實現大幅值的高能軌道運動，導致其性能大大降低。最近，有研究開始關注帶有非對稱勢能阱的壓電振動能量采集器，韓研研[16]等研究了幾何非線性在雙穩態系統中的大幅周期和混沌運動下的輸出性能。李海濤等[17]針對帶有非對稱勢能阱的雙穩態能量采集系統開展混沌動力學研究。然而，非對稱勢能阱的產生機理及其對能量采集器動力學特性的影響機制還尚未清楚。本文針對三穩態非線性壓電振動能量采集器，考慮幾何非線性和重力效應，建立其非線性機電耦合動力學模型，仿真和實驗研究分析幾何非線性和重力效應對系統動力學特性的影響規律及非對稱勢能阱的產生機理。研究成果為研制高性能多穩態壓電能量采集器提供理論和實驗參考依據。

1 多穩態壓電能量采集器理論模型

如圖1所示，三穩態非線性振動能量采集器由長度為L的懸臂梁以及附著在梁根部的一對長為Lp的壓電片組成。壓電片與負載電阻R直接串聯；質量為Mt的磁鐵固定于懸臂梁的末端(稱為末端磁鐵A)。兩個外部磁鐵(磁鐵B、磁鐵C)固定在基座上，其垂直間距為dg，與末端磁鐵A之間的水平距離為d。z(t)為激勵振動位移，¨z(t)＝A0cos(ωt)為振動加速度，其中A0示振幅，ω為激振頻率。

圖1 非線性三穩態壓電振動能量采集器

以懸臂梁根部中心為原點建立坐標軸，水平為x軸方向，垂直為z軸方向。考慮懸臂梁大變形產生的幾何非線性建立采集器動力學模型。大擾度壓電懸臂梁應變與位移之間的關系式可采用如下非線性表達式

式中:z為懸臂梁任意一點到中性面的垂直距離，w為懸臂梁垂直方向振動位移。壓電陶瓷的應力－應變關系采用線性壓電本構方程，并且假設壓電片上所受到的電場強度是均勻分布的。

系統動力學方程采用廣義哈密爾頓原理來推導，即

式中:T為系統的動能；Us，Um和Ug分別為壓電懸臂梁的彈性勢能，磁場勢能和末端磁鐵A的重力勢能；WP為壓電片的電勢能，其中

式中:ρs和ρp分別為采集器金屬基體和壓電片的密度；Vs和Vp分別為金屬基體和壓電片體積；Ts和Tp分別為金屬基體和壓電片的應力；Ss和Sp分別為金屬基體和壓電片的應變；Mt和It為末端磁鐵的質量和轉動慣量；g為重力加速度；V(t)為采集輸出電壓；R為負載電阻；m(x)為壓電梁單位質量。

末端磁鐵受到外部磁鐵的排斥力可以利用點磁荷偶極子理論計算得來[16]，末端磁鐵與外部磁鐵之間的幾何關系如圖2所示。

圖2 磁鐵幾何位置關系

式中:α1＝w(L，t)－0.5dg，α2＝w(L，t)＋0.5dg，α3＝w(L，t)＋bθ－0.5dg，α4＝w(L，t)＋bθ＋0.5dg其中μ0＝4π×10－7H/m是真空磁導率；MA、MB和MC分別是永磁鐵A、B和C的磁化強度，同理，SA、SB和SC分別為永磁鐵A、B和C的表面積；θ＝?w(L，t)/?x是尖端磁鐵的旋轉角度。

因此，磁體間產生的勢能可以通過積分表示出來

式(3)~式(9)中:w(x，t)可采用Galekin方法分離變量得到，即

式中:?(x)為壓電懸臂梁一階彎曲振型；r(t)為模態坐標；?11(x)和?12(x)分比為含壓電片和不含壓電片懸臂梁一階彎曲振型。

將式(3)~式(11)代入式(2)中，根據拉格朗日方程可以得到考慮幾何非線性和重力后的動力學方程:

式中:

式中:EsIs和EpIp分別為基體和壓電片的彎曲剛度；As和Ap為基板和壓電片的截面面積；bp和hp為壓電片的寬度和厚度；hs為基板厚度；e31為壓電常數；ξ為機械阻尼系數；ω0為懸臂梁一階彎曲諧振頻率。

2 系統的動力學特性分析

2.1 幾何非線性對系統響應特性的影響

由式(12)可以看出，壓電懸臂梁幾何非線性將引入附加的三次非線性剛度和五次非線性剛度。這里首先研究三次非線性剛度和五次非線性剛度對采集器輸出特性的影響。

如圖3所示是不同幾何非線性剛度對采集器輸出響應特性的影響結果。當不考慮壓電懸臂梁的幾何非線性時，即n1＝0，n2＝0，如圖3(a)所示。此時壓電能量采集器作高能軌道運動的頻率范圍為4.26 Hz~5.7 Hz。當n1＝0，n2≠0時，如圖3(b)所示，其寬頻高能軌道運動范圍變為4.30 Hz~8.72 Hz。當n1≠0，n2＝0時，如圖3(c)所示，其頻帶寬度變為4.26 Hz~5.96 Hz。當n1≠0，n2≠0時，如圖3(d)所示，即完全考慮幾何非線性時，系統的頻帶寬度變為4.28 Hz~10.73 Hz。由此可以看出考慮幾何非線性后，能量采集器的頻帶寬度遠大于不考慮幾何非線性時的頻帶寬度。同時發現，三次非線性剛度n2比五次非線性剛度n1的頻帶更寬，這說明n2對三穩態采集器的動態響應特性影響較大。除此之外，考慮幾何非線性時采集器的末端位移也優于不考慮幾何非線性時的采集器。由此可以得到:考慮幾何非線性不僅能夠拓展頻帶寬度，還能增加末端磁鐵的振動位移。

圖3 幾何非線性系數n1,n2對幅頻響應的影響

2.2 末端磁鐵重力對靜態解分岔的影響

系統的靜態解可以通過動力學方程式(12)得到，令¨r＝?r＝?V＝V＝¨w＝0，得到:

由式(13)可以看出幾何非線性和磁鐵重力使得系統產生了附加的非線性幾何形變勢能和重力勢能。根據式(13)繪制了三穩態系統考慮幾何非線性和重力的靜態解分岔圖，其中穩定解用實線表示，非穩定解用虛線表示。圖4所示是dg＝20 mm，Mt分別為0 g、4.1 g、7.0 g、10 g、13 g和20 g時的系統靜態解分岔圖。當Mt＝0時，如圖4(a)所示，相當于不考慮重力因素，在平衡解點BP1處觀察到一個叉形分岔以及在平衡解點SN處觀察到兩個鞍形結點分岔。當d>dSN時系統只有一個穩定零平衡解，由于尖端磁鐵和外部磁鐵間距離過大，即采集器為單穩態運動。當dBP1dSN2時，出現了非平凡穩定解，與單穩態運動狀態類似；根據分岔圖可以看出當磁鐵間水平距離d較大時，系統的運動位移為負，這表明系統有可能是在做阱內運動；當dSN1dBP2呈單穩態，dSN1

圖4 采集器靜態解分岔特性

根據上述分析，在給定dg的情況下，隨著水平距離d的不斷增加，系統會在三種運動狀態之間轉換；隨著尖端磁鐵重量Mt的增加，系統從對稱的平凡穩定解變成不對稱的平凡穩定解，且隨著Mt的增加，偏移量Δw越來越大，最后會和下鞍形分岔點相交使三穩態運動狀態更容易實現。

同樣，我們也得到以dg為變參數的分岔圖(dg，w)，當d＝20 mm時，在Mt＝0時，如圖5(a)所示，形成兩個鞍形結點分岔SN和BP，存在兩個非平凡穩定的平衡解以及兩個非平凡不穩定的平衡解和一個平凡穩定的平衡解，且兩個非平凡的穩定解和不穩定解都是相互對稱的；當dg>dgSN時，系統做單穩態運動；當dgBPdgSN2時，系統做單穩態運動；當dgSN1

圖5 當Mt＝(a)0 g、(b)5 g、(c)15 g時,考慮不同垂直距離dg的三穩態分岔行為

綜上，可以得出尖端磁鐵質量Mt可以改變系統靜態平衡點的位置，使其呈現不對稱性，并且增加Mt的質量，不對稱現象越來越明顯。除此之外，對比(d，w)和(dg，w)平面內的靜態解分岔圖可以看出，由于尖端磁鐵的引力效應，上鞍型分岔點左移以及下鞍型分岔點右移造成能量采集系統出現三穩態運動的范圍變小，這將導致采集器的動力學特性發生顯著改變。因此，必須考慮末端磁鐵的重力效應研究采集器系統的動態特性。

2.3 系統勢能分析

為了進一步研究Mt對三穩態運動狀態的變化機理，根據式(4)、式(5)、式(9)可以得到系統的總勢能U，利用MATLAB對系統勢能進行仿真。如圖6所示，Mt分別取0 g、5 g、10 g和20 g，可以看出采集器存在3個勢阱和2個勢壘；當Mt＝0 g時(圓點)，兩側的兩個勢阱中心坐標分別為(37.8 mm，4 mJ)和(－37.8 mm，4 mJ)，可見兩個勢能阱是中心勢能阱對稱分布的；此時的最大勢壘均為17 mJ，與圖4(a)存在兩個對稱的靜態平衡點相吻合。當Mt增加至5 g時(方塊)，勢阱不再對稱，而是形成了一個最高勢阱(－37.8 mm，6.1 mJ)和一個最低勢阱(－37.8 mm，2.3 mJ)；此時，最高勢壘與最高勢阱之間的勢能差為12.1 mJ，最低勢壘與最低勢阱之間的勢能差為13.6 mJ。隨著Mt的增加，最高勢阱和最高勢壘向上移動，最低勢阱和最低勢壘向下移動；當Mt增加到20 g時(菱形)，最高勢壘達到21.7 mJ，最低勢壘達到12.3 mJ。這說明隨著尖端磁鐵質量的增加，三穩態能量采集系統可以很容易地克服勢壘在三穩態系統中做阱間運動，從而表現出更好的能量采集特性。

圖6 采集器不同末端質量時的勢能

2.4 末端質量Mt對動態輸出特性的影響

利用ODE45算法求解式(12)，可以得到能量采集器在不同激勵和初始條件下的非線性動力學特性，當dg＝17 mm，d＝26 mm，f0＝5 Hz的情況下，我們得到了輸出電壓和能量采集器末端位移隨Mt不斷增加的關系圖，如圖7所示，可以看出輸出電壓在有效區間內隨著Mt的增加而不斷增加，且上下對稱分布。由于考慮到末端磁鐵受到重力因素的作用，尖端磁鐵的振動位移由原來的關于原點對稱振動到振動中心逐漸向下移動，最大正位移逐漸減小，最大負位移逐漸增大，這與靜態分岔圖得出的結論相符，考慮尖端磁鐵的重力因素，三穩態能量采集器的運動是不對稱的。

圖7 輸出電壓、末端位移隨尖端磁鐵質量的變化情況

為進一步證明Mt對輸出特性的影響，圖8所示為Mt取值分別為1 g、3 g和6 g時采集器的采集電壓、末端振動位移和相圖。如圖8(a)所示，當Mt＝1 g時，采集器穩態時作小幅值的單穩態阱內運動，其輸出電壓和末端振動位移均比較小，輸出電壓幅值只有1.13 V，末端振動位移幅值只有4.45 mm；當Mt＝3 g時，如圖8(b)所示，采集器穩態時在三個勢能阱之間作大幅值的阱間運動，表現出三穩態運動特性，輸出電壓和末端振動位移分別增大到6.2 V和36.4 mm；從相圖可以發現，隨著末端磁鐵質量的增大，采集器的相圖表現處明顯的不對稱性，其相圖的中心左移，這是由于磁體質量的增大，導致靜態解偏移水平位置下移。繼續增大Mt到6 g時，如圖8(c)所示，采集器穩態時的輸出電壓增大到了6.91 V末端磁體運動位移幅值為36.2 mm。由此可以看出，當末端磁體質量比較小時，三穩態能量采集系統做小幅度阱間運動，此時采集器的不對稱性并明顯，隨著Mt的增加振動位移幅值和輸出電壓增加。但是較大的質量可能會使采集器末端位移減少，甚至使采集器在振動過程出發生斷裂而損壞。因此，必須合理設計末端磁鐵質量。從相圖結果看，當Mt＝1 g時采集器繞中心平衡點作小幅單周期振動，且此時的振動中心不為0，向左偏移一點，這與分叉特性的不對稱相符。當尖端磁鐵的質量增加時，采集器末端在3個穩定點之間跳動形成了周期三運動，此時的懸臂梁末端的運動速度由250 mm/s增加到1 270 mm/s作三穩態大幅度阱間運動。

圖8 Mt＝1 g、3 g和6 g時采集器采集電壓、末端位移和對應的相圖

2.5 能量采集器頻率特性分析

圖9 所示是采集器在dg＝17 mm，d＝26 mm，R＝1 MΩ和A＝10 m/s2時不同質量下的頻率響應特性。如圖9(a)所示，當Mt＝1 g時，采集器在4.8 Hz~6.1 Hz之間作大幅度阱間運動，最大振動位移為30 mm，最大輸出電壓為0.65 V，最大功率為0.011 mW。此時增加尖端磁鐵的重量，即Mt＝4.1 g時，如圖9(b)所示采集器大幅值阱間運動的頻率范圍擴到到4.6 Hz~7.6 Hz，末端振動位移增大到37 mm，輸出電壓增大為0.74 V，最大功率為0.022 mW。由此可以判斷出，增大尖端磁鐵的質量，不僅可以拓寬頻帶的帶寬，還可以增加輸出電壓和功率的大小，提高能量采集的能力。

調整激勵加速度幅值至A＝20 m/s2，尖端磁鐵的質量為1 g，如圖9(c)所示，采集器作大幅值阱間運動的頻帶寬度為4.3 Hz~13.5 Hz，最大振動位移到146 mm，此時采集器作大幅度的全局阱間振動，對應的采集電壓增加到10.3 V，功率為2.41 mW。對比圖9(a)與圖9(c)結果可以看出，增加激勵加速度可以使能量采集系統更快速的進入大幅震蕩。繼續增加尖端磁鐵的重量到4 g，如圖9(d)所示，采集器作大幅值的阱間振動頻帶范圍加寬，達到2.9 Hz~13.5 Hz，最大的振動位移、輸出電壓和功率分別達到147 mm、10.40 V和2.42 mW。因此，增大激勵振幅和尖端磁鐵的質量不僅可以提高能量采集系統的輸出性能，還可以拓寬頻帶的帶寬，讓系統可以在更寬的頻帶范圍進行能量采集。

圖9 采集器末端位移、輸出電壓、輸出功率隨頻率的變化情況

3 實驗研究與結果分析

為了驗證本文數學模型和仿真結果的正確性，研制了三穩態能量采集器實驗樣機，如圖10所示，壓電懸臂一端固定在基座上，另一端粘結一個永磁鐵。在懸臂梁上下表面粘著兩個相同的壓電片，它們與外部負載電阻串聯連接。兩個大小相同的外部磁鐵粘結在與末端磁鐵水平相距為d的基座上，其磁場方向與懸臂梁末端磁鐵相斥。

圖10 三穩態采集器原理樣機

圖11 所示為采集器實驗測試系統，三穩態壓電振動能量采集器安裝在激振器的支撐桿頂部；信號發生器產生的諧波信號經過功率放大器放大后激發激振器產生諧波振動采集器受諧波振動的影響產生不同的響應。基礎加速度通過安裝在其基礎上的加速度傳感器測量獲得；采集器末端振動位移則通過激光位移傳感器測得，采集輸出電壓通過示波器獲取。最后，將所獲取的所有信號送入動態信號分析儀分析輸出。直流電源為整個測試系統提供必要的電能。

圖11 三穩態能量采集器實驗測試系統

首先實驗研究末端磁鐵質量對采集器動力學特性的影響，取系統參數f＝4.5 Hz，A＝10 m/s2，dg＝17 mm和d＝26 mm。如圖12(a)所示，Mt＝4.1 g時，系統做小幅度的阱內運動，此時的運動狀態為單穩態周期運動，輸出電壓為0.6 V，振動位移范圍為(－6 mm，4.3 mm)；增加尖端磁鐵的質量到8.2 g時，如圖12(b)所示，此時系統做大幅度阱間運動，末端磁鐵的振動位移范圍增加至(－31 mm，28 mm)，此時表現為三穩態運動狀態，其輸出電壓增加至2.8 V，表明增大尖端磁鐵的質量能夠提高三穩態能量采集系統的動態輸出特性，這與理論仿真結果的結果是一致的。

圖12 Mt＝4.1 g和8.2 g對應的時域響應(f＝4.5 Hz)

圖13 所示是不同磁鐵質量采集器輸出電壓隨激勵加速度幅值變化的實驗結果。由圖13(a)可以看出當Mt＝4.1 g，隨著激勵加速度的逐漸增大，采集器在A＝15 m/s2時發生跳變，從小幅值的阱內運動跳躍到大幅值的阱間運動；當磁鐵質量增大至Mt＝8.2 g時，如圖13(b)所示，采集器在加速度A＝9.8 m/s2時發生跳變，從小幅值的阱內振動跳轉到大幅度的阱間運動，輸出較大電壓。由此可以得到:增加尖端磁鐵的質量可以減小系統做大幅度運動所需要的激振加速度，同時提高了系統的輸出電壓。

圖13 Mt＝4.1 g和8.2 g對應的加速度－電壓圖

圖14 為采集器在dg＝17 mm，d＝26 mm，A＝10 m/s2時的掃頻圖，當Mt＝4.1 g時，如圖14(a)所示，當激勵頻率在f<9.14 Hz時，系統做小幅度振動，輸出電壓在0.15 V左右；當9.14 Hz

為了進一步驗證不同激勵頻率下末端重力效應對采集器系統動力學特性的影響，取激勵頻率f＝11 Hz和激勵加速度A＝10 m/s2，其他參數與圖12一致。當磁鐵質量為4.1 g時，根據圖14(a)的掃頻實驗結果得知采集器大幅值阱間振動的頻率范圍為9.14 Hz~11.2 Hz，由此可知當f＝11 Hz時，此時采集器的振動為阱間大幅值的單周期運動，如圖15(a)所示，與圖12(a)所示的阱內振動相比，采集器的輸出電壓由原來的0.6 V增加到1.5 V左右，末端振動位移范圍變成(－29 mm，10 mm)。當增大磁鐵質量到8.2 g時，如圖15(b)所示，采集器的振動由圖12(b)所示的大幅值阱間三穩態運動變為阱間雙穩態運動，采集器的輸出電壓由原來的2.8 V減少到1.6 V，末端振動位移范圍變成(－35 mm，14 mm)。比較圖15(a)和(b)實驗結果可以發現，在較高激勵頻率作用下，增大末端磁鐵質量依然可以有效提高采集器的輸出性能。

圖14 Mt＝4.1 g和8.2 g對應的正向掃頻圖

圖15 Mt＝4.1 g和8.2 g對應的時域響應(f＝11 Hz)

4 結論

考慮懸臂梁的幾何非線性和尖端磁鐵的引力效應，建立三穩態壓電振動能量采集器的非線性機電耦合動力學模型，并通過龍格庫塔(ODE45)算法將其求解，通過對能量采集系統的動力學特性的仿真與實驗分析，得到以下結論:

①懸臂梁幾何非線性引入了附加的三階和五階非線性剛度項，有利于提高采集器的輸出特性和頻帶寬度。

②幾何非線性和磁體重力效應導致系統的平衡點位置由零平衡點向下偏移，靜態解分岔曲線不對稱性越來越明顯，且鞍型分岔點的位移分別向左右移動，三穩態存在的范圍逐漸變小。

③末端磁鐵重力效應引入附加的重力勢能，使得采集器的勢能阱出現明顯的不對稱性，最低勢壘隨著末端磁鐵質量的增加而減小，最高勢壘隨著Mt的增加而增加；非對稱勢能阱有利于采集器在較低的環境激勵加速度條件下作三穩態阱間振蕩，提高其能量采集輸出效率和工作頻帶。

④增大末端磁鐵質量可以有效提高能量采集器的輸出性能，拓寬其有效工作頻帶；但過大的磁鐵質量可能會使采集器失效甚至損壞。