“真善美”在《概率論與數理統計》課程中的融合

劉衛華 宋斐斐

（河南農業大學 信息與管理科學學院，河南 鄭州 450002）

概率論是研究隨機現象統計規律性的一門數學分支學科，是理工類學科的重要基礎課。該課程的內容豐富，理論性強，并且與現實生活的聯系非常緊密。對提升學生的數學能力和專業素養，對塑造新時代大學生的價值取向和文化素養起著重要的作用。

2020年6 月8 日，教育部組織召開全面推進高等學校課程思政建設工作視頻會議，部署《高等學校課程思政建設指導綱要》貫徹落實工作。會議強調，要深刻認識全面推進高校課程思政建設的戰略意義，充分發揮好專業課教師“主力軍”、專業課教學“主戰場”、專業課課堂“主渠道”的作用，推動課程思政建設不斷取得新進展新成效，使專業課與思政課同向同行，構建立德樹人長效機制，實現全員全程全方位育人。陳寶生指出，全面推進高校課程思政建設，是落實習總書記關于教育的重要論述的重要舉措，是落實立德樹人根本任務的必然要求，是全面提高人才培養質量的重要任務。習總書記強調“廣大青年人人都是一塊玉，要時常用真善美來雕琢”。可以說課程思政就是專業課和弘揚真善美的結合。本文我們以馬克思哲學思想出發，以概率論與數理統計具體知識點出發，深度挖掘概率論教學中的“真、善、美”。

一、“真”在概率論教學中的融入

“真”是學科的基礎，是事物的本原、本來面貌和客觀規律。而自然現象的統計性規律也是客觀規律的一種呈現，概率論與數理統計正是對隨機現象的統計性規律的一種研究，是對“真”的一種追求。這種追求是現在社會強調的求實精神和誠信，真實的一種發揚。是當代教師培養大學生人才的標桿，向大學生灌輸求實精神，做到對自然現象不浮夸，不虛夸，運用所學知識探究其本來面貌。擁有正確的價值取向，培養大學生勇于探索，勇于實踐，為實現偉大中國夢的奮斗精神。做“真”人，真知求學，使其成為擁有科學的思維，批判性的思維，精益求精的精神。

人類認識隨機現象的歷史是很久遠的。古希臘人從航海實踐中積累了許多概率經驗，古猶太文獻有應用概率加法、乘法定律的記錄。但直到17世紀，數學家才從骰子賭博中找到隨機現象的數學原理，建立起概率理論。重溫這段艱難的認識歷程，讓我們不僅能體會概率論結束人類對于隨機世界迷茫無知的歷史意義，更能看到格物致知、追求真理的數學人的品格。教學中，讓學生明白人類正是對“真”的追求，才具有了是非之分，激發了對真理的追求，強化了理性思維，從而升華為理想信念。

根據大數定律，在大量重復試驗中事件出現的頻率接近于它們的概率。倘如，買彩票中頭等獎的概率為，則在100000 次試驗中A才出現一次。因此，概率很小的事件在一次試驗中實際上不大可能出現，在概率論的應用中，稱這樣的事件為實際不可能事件。實際不可能事件在一次試驗中是不會出現的，這就是小概率原理。買彩票中大獎的問題是一個非常簡單的古典概型問題。譬如某彩票每周開獎一次，每次提供十萬分之一的中大獎機會，若你每周買一張彩票，盡管堅持了十年（每年52 周），你從未中過一次大獎的概率是多少？

解：因為一年52 周，十年就是520 周，于是，你有520 次抽獎機會.設依題意有

二、“善”在概率論教學中的融入

“善”是中華民族的傳統美德，是社會發展中非常重要的一種品質。2020年正是全國人民都存有一顆“善良”的心，為整個疫情保衛戰付出自己應有的努力，為中國疫情保衛戰取得突破性勝利！而這也恰是中國人民“團隊精神”的完美體現，在我們概率論中也是可以深刻體會這種團隊精神的重要性的。比如我們在學習這門課程中的期望與方差這一知識點時，我們就可以體會到“團隊精神”的重要性。比如把疫情保衛戰的勝利看作期望，那么就需要每一個中國人的努力與付出。疫情保衛戰的勝利與否是所有中國人共同努力的結果，比如我們的居家隔離，我們的醫護人員的舍生就死，我們社區工作人員的日夜堅守……這一切的一切都不能懈怠。如果我們把這些進行量化，可以做個試驗，假設疫情保衛戰的勝利這一期望值是100，那么各方的努力按一定的比例進行賦值（聽從國家號召居家隔離賦值85,醫護人員的舍生就死賦值100，社區工作人員的日夜堅守賦值90。）根據我們期望的計算公式（85+100+90）/3<100 很顯然即使醫護人員賦值100，依然不能取得疫情保衛戰的勝利。假若醫護人員超負荷的付出，賦105，那么期望值依然不能達到100，所以這里的期望的達到需要我們每一個人都要百分之百做出努力。就需要人們的“團隊精神”，這也是我們每個中國人心中“大善”的體現。在概率論知識中讓同學們從定量的角度仍然可以看到“善”的體現，這個體現更為客觀具體。所以學習概率論不是冷冰冰的，我們依然可以賦予它溫度熱度，從而溫柔對待我們的概率論知識，因為它總是潤物細無聲的默默守候在我們的生活之中。學習概率論讓同學們品味“善”的數量化。

三、“美”在概率論教學中的融入

數學美的表現形式是多種多樣的,從數學內容看,有概念之美、公式之美、體系之美等；從數學的方法及思維看,有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學意義上看,有對稱之美、和諧之美、奇異之美等.接下來我們從以下幾個方面讓大家體會下概率論與數理統計的美之所在。

（一）和諧統美

概率中蘊含著豐富的辯證唯物主義思想，學生在學習的過程中可以感知到偶然與必然、確定與不確定、有限與無限、離散與連續的辯證統一之美。

案例：擲硬幣試驗。

人們經過長期的實踐知道，雖然隨機事件在某次試驗或觀察中可能出現也可能不出現，但在大量試驗中它卻呈現出明顯的統計規律性—頻率穩定性。擲一枚硬幣觀察出現正面朝上的概率。在投擲過程中，出現的結果可能正面朝上，也可能反面朝上，由古典概型的知識我們知道結果出現正面朝上的概率都是 1/2。同樣，通過實驗我們可以得出硬幣正面朝上的頻率，頻率是事件 A 發生的次數 nA與實驗總次數 n 的比值，但是每次實驗的結果都是不確定的，是隨機的、偶然的。只有當 n 越來越大，即在大量重復試驗時，正面朝上的頻率值才會越來越逼近概率值 1/2，歷史上有許多學者都做過此試驗。每次實驗值只是偶然現象，只有當試驗次數足夠大時，其正面朝上的頻率的極限值才反映了本質。變化中蘊涵著規律，得到了不變的常數 1/2，偶然中蘊涵著必然。

案例：貝特朗悖論。

18、19 世紀，概率論在理論和應用方面取得了很多成果，但發展緩慢。19 世紀末，科學家們發現的一些概率論悖論。悖論的產生，違背了人類正確思維所遵循的基本規律。對素有嚴謹著稱的數學，它實際上是一種荒誕的美，在荒誕中蘊含著真理，促使數學家們去思考，給人以啟迪，給人以美感。其中最著名的是貝特朗悖論。1899年法國學者貝特朗(J.Bertrand)指出：在半徑為 R 的圓內隨機選擇弦，計算弦長超過圓內接正三角形邊長的概率，根據“隨機選擇”含義的不同解釋，可以得到不同的答案。這類悖論反映出概率的概念是以某種確定的實驗為前提，這種實驗有時由問題本身所明確規定，有時則不然。悖論的出現，說明概率的理論基礎尚不夠完美協調。為了實現其理論的和諧美，1900年夏，在世界數學家大會上，德國數學家希爾伯特(D.Hilbort)提出了建立概率公理系統的問題，引導了一批數學家投入了這方面的工作。這次概率發展史上的危機是由悖論而引起的，欲達到和諧，必先消除悖論。1933年原蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫(A.Kolmgorov)的著作《概率論基礎》正式出版，給出了概率公理化的完整結構，對于這一漂亮、優美的公理系統，深刻體現了數學思維的和諧美。

（二）結構之美

古人總喜歡用“閉月羞花，沉魚落雁”來比喻女子的美，的確，天生麗質總是給人帶來賞心悅目的感受。而概率論與數理統計一樣有美麗的外表給人帶來美的享受。法國數學家龐加萊說 :“數學的結構美是指一種內在的美,它來自各部分的和諧秩序,并能為純粹的理智所領會,可以說正是這種內在美給了滿足我們感官的骨架 .”概率統計不但它的整體結構嚴謹,而且某一部分的內部結構也是很美的,呈現出簡單、整齊、和諧、對稱的美。在實際中有各種各樣的分布.但最常用的是正態分布,而且由正態分布可以構造出在數理統計用途最多的三個重要分布,從下列構造過程中可以看出三個重要分布的結構美.

（三）奇異美

數學中的奇異美,是指數學中所得出的結果或有關的發展是如此出乎意料,既引起了極大的 驚愕和詫異,又引起了人們的贊賞與嘆服,從而給人以新奇的美感.概率中最能表現奇異美的例子是蒲豐(Boffon)別開生面用投針求解圓周率π 的值。1777年的一天,蒲豐突發奇想,把許多賓朋要請到家里,把事先畫好了的一條條有等距離之平行線的白紙,鋪在桌面上,又拿出一大把質量均勻的而長度都是平行線的小針,請客人們把這些小針一根一根的隨便扔到紙上.而蒲豐則在一旁專注觀察并計著數,投一共2212 次,其中與任意平行線相交的有 704 次,作簡單除法2212/704=3 .142 。然后蒲豐宣布:“這就是圓周率π 的近似值。”若用a 表示平行間距,則針的長度為 a/2.設投擲數為n,相交數為 v,則蒲豐證明了這表明當n 充分大時,有計算 π 的這一方法,不但因其新穎、奇妙而讓人叫絕 ;而且開創了用 偶然性方法去做確定性計算的前導,充分顯示了數學方法的奇異美。

英國哲學家、數理邏輯學家羅素指出:“數學,如果正確地看它,不但擁有真理,而且也具有至高的美,正像雕刻的美,是一種冷而嚴肅的美.這種美不是投合我們天性的微弱的東西,這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾;它可以純潔到崇高的地步,能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地.”作為教育者，在授課的過程中通過概率論中美的講授，既能讓學生用欣賞的眼光學習概率論，又能通過美的東西凈化學生心靈，使學生心智得到熏陶，使得學生提高學習概率論的興致。

總結：通過思政元素的融入讓同學們切實的從根本上理解概率論與數理統計，并且能夠從思想上學習到概率論中的“真知”“辯證”“規律”等科學精神，從而在以后的科研或者工作中能夠運用到概率論中蘊含的科學精神。