行列式的幾何意義探究

崔立功

（江蘇財經職業技術學院，江蘇淮安 223003）

0 引言

數學是人類探究世界，研究自然界任何事物的核心，數學比其他學科有更高的抽象性，這個也不是以人的精神和想象而轉移的，而是實實在在的來源于我們的自然。如果我們教授數學，僅僅就是定理和公式的話，那么這就會讓人感覺就是一堆冰冷的符號，難以產生熱情，更加不會有火熱的思考，但是授課教師掌握了蘊含在數學公式背后的思想和精神實質，那么就可以帶領自己的學生暢游在知識的海洋里。把數學簡單的當成一門公式堆積而成的學科來學習，而忽視數學的本質背景，這樣的數學課程開設對學生的培養是無用的。

概念學習就要搞清楚概念的內涵和外延。而線性代數課程中概念的外延大內涵小的原因，進而學生們對它的理解容易發生偏差。鑒于這一特殊性，我們將借助于數學概念的幾何背景來解釋或者引入概念，有些概念我們要回到幾何中的“根”上去找原因，顯然這樣的教學對教師的要求較高，但是對學生的理解是有幫助的。行列式的概念和性質很多同學學習了這個知識都感覺很簡單，就是憑空的介紹了一個新的運算技巧，那么到底有什么意義，現在的教材上很少提及，當然有人會說為后面矩陣的計算特征值服務，為計算逆矩陣服務，我們所說是對的，但不是全部，我們看微積分的導數和定積分他們都有明確的幾何意義，為這些知識在具體問題中的使用，打下了基礎，可是行列式的幾何意義是什么？絕大多少線性代數中并沒有提及，本文就這個內容進行了研究。

1 預備知識

2 行列式的幾何意義

定理一：一階行列式|a|的幾何意義是R數軸上數a到原點的有向距離，如果a≥0距離取正值，如果a＜0距離取負值。

證明：在數軸上當a≥0，|a|表示該數到原點的距離取正值，當a＜0，|a|表示該數到原點的距離取負值。

證明：如圖1所示：以行向量α(a,a)與β(a,a)為鄰邊的平行四邊形。

圖1 二階行列式幾何意義圖

二階即行列式的值等于平行四邊形的面積，面積取正值。

二階即行列式的值等于平行四邊形面積，面積取負值。

圖2 三階行列式幾何意義圖

三階行列式即為空間平行六面體的體積，體積取正值。同理，當α,β,γ構成左手空間坐標系時，三階行列式即為空間平行六面體的體積，體積取負值。

下面來分析n階行列式情況，先定義一個超平面，再給出一個超平面的法向量。

定義1：設n-1個行向量a=(a,a,…a)，假設他們是共面的，則他們所在的面就為一個超平面。

定義2：由兩個向量的叉積定義我們可知，新的向量為這兩個向量所在的平面的法向量，所以我們定義這個超級平面的法向量為：

其中，e=(0,0,…1,…0)為單位向量。