基于QFT的永磁同步電機伺服系統(tǒng)PID控制器的設計

劉 冬,李浩東,何焯毅,羅偉維

(廣東工業(yè)大學 自動化學院，廣東 廣州 510006)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)因其體積小、結構簡單、功率因素大、轉動慣量小以及易控制等優(yōu)點廣泛應用于數(shù)控機床、航空航天、汽車以及機器人等領域[1]。PMSM伺服系統(tǒng)在運行過程中，系統(tǒng)的轉動慣量會因環(huán)境的改變而發(fā)生變化，進而影響伺服系統(tǒng)的控制性能。因此，為了獲得良好的控制性能，有必要提升系統(tǒng)的魯棒性來抑制轉動慣量變化給系統(tǒng)帶來的不良影響。

當PMSM伺服系統(tǒng)在運行過程中負載轉動慣量發(fā)生變動時，系統(tǒng)的動態(tài)響應會受到影響。當轉動慣量增大時，系統(tǒng)加速度會減小，從而使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間增大，甚至會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象；轉動慣量減小時，系統(tǒng)加速度會增加，而使系統(tǒng)的超調(diào)增大，甚至可能會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象[1]。傳統(tǒng)的PI控制器的參數(shù)整定使用的是轉動慣量的初始值，并未考慮系統(tǒng)轉動慣量發(fā)生變化的情況。當伺服系統(tǒng)的轉動慣量發(fā)生變動時，其控制性能會受到一定的影響。因此，對于伺服系統(tǒng)轉動慣量變化這一問題，有必要采取有效可靠的方法來抑制其帶來的不良影響。

國內(nèi)外學者對系統(tǒng)轉動慣量變化所帶來的影響的抑制提出了許多解決方法，主要有滑模控制[2-3]、自適應控制[4-7]、智能控制[8]和魯棒控制[9-10]等。文獻[2-3]均使用自適應滑模變結構的速度控制方法，通過模型參考自適應系統(tǒng)(MRAS)辨識出系統(tǒng)的轉動慣量，然后將辨識后的值應用于滑模控制(SMC)中，增強了系統(tǒng)的魯棒性，并抑制了慣量擾動的影響。但該方法實現(xiàn)較為復雜，且控制性能與辨識精度有關。在[4-5]中作者通過辨識方法在線辨識轉動慣量，然后將辨識后的值給PI控制器，得到了可以依據(jù)轉動慣量變化在線改變參數(shù)的自適應PI控制器，提升了系統(tǒng)的魯棒性。文獻[6]將模糊推理與積分反步控制結合，能夠根據(jù)轉速誤差和變化率自調(diào)整增益，提高了系統(tǒng)對內(nèi)部參數(shù)攝動的魯棒性，但該結構復雜，不利于工程實際應用。文獻[7]通過梯度下降法在線調(diào)整PID控制器的增益，能有效處理系統(tǒng)參數(shù)不確定性的問題，但其收斂的快慢對系統(tǒng)的性能有一定的影響。在文獻[8]中作者提出了一種基于直接電壓控制的自適應徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡的控制策略，該方法無需電流控制回路，且對系統(tǒng)參數(shù)攝動具有較好的魯棒性，但該方案的實現(xiàn)過程復雜。文獻[9]中利用H∞控制理論設計魯棒控制器，提升了系統(tǒng)的魯棒性，但該方法設計復雜，需要一定的理論基礎，不利于實際應用。文獻[10]將定量反饋理論(QFT)與H∞控制理論結合，有效抑制了轉動慣量的擾動，但該方法設計的控制器結構復雜，不適合工程應用。

以上文獻實現(xiàn)過程較為復雜或者設計的控制器結構復雜，導致實際應用困難。本文在考慮實際應用的前提下，將系統(tǒng)轉動慣量的變化考慮在內(nèi)，運用QFT，設計性能指標，在Nichols圖上合成魯棒控制器。最后通過仿真以及試驗，論述了本文所提方案的有效性和可行性。

1 QFT

1.1 簡 介

QFT是由以色列教授Horowitz在20世紀60年代初提出的[11]。起初由于其大量復雜的計算而未受到太多的關注，而后由于計算機和工具包的快速發(fā)展才得以廣泛應用。

QFT是一種頻域的設計方法，將經(jīng)典控制理論中的頻域校正思想推廣應用到了對不確定性系統(tǒng)的魯棒控制率設計，將對象的不確定性用定量的形式在Nichols圖上形成邊界，進而設計控制器[12]。

基于QFT的控制系統(tǒng)通常為二自由度控制系統(tǒng)，其控制結構如圖1所示。

圖1 QFT控制系統(tǒng)結構

其中,R(s)、Y(s)和D(s)分別為給定輸入、輸出和擾動輸入信號，F(xiàn)(s)和G(s)分別為預置濾波器和控制器，P(s)為被控對象。

1.2 QFT魯棒控制器設計步驟

1.2.1 建立標稱模板

將控制對象的不確定性考慮在內(nèi)建立不確定性模型，得控制對象的集合P(s)，選取能夠表現(xiàn)出對象不確定性的頻率集合ω=ωi,(i=1,2,…,n)，然后將P(s)繪制于Nichols圖中即可得對象模板，取參數(shù)變化量的標稱值即得標稱模板，標稱值的選取一般不做特殊要求。特定頻率下標稱模板的示例如圖2所示。

圖2中“○”圍起來的區(qū)域體現(xiàn)出對象的不確定性，該區(qū)域越大，不確定性越大。“×”代表選取的標稱值，0.5代表所選取的頻率值。

圖2 Nichols示例

1.2.2 設定性能指標

通過設定期望的性能指標可以獲得期望的控制性能。常用的性能指標有魯棒穩(wěn)定裕度指標、抗擾動指標以及參考跟蹤指標等。

魯棒穩(wěn)定裕度指標為

(1)

式中：δ1(ω)為期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)上限。

通過設定其幅值Ws即可獲得期望的幅值裕度Mg和相位裕度Mp，其關系式如下：

(2)

抗輸入擾動指標為

(3)

式中：δ2(ω)為輸入擾動傳遞函數(shù)的期望上限，既可為常數(shù)，亦可傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)可取：

(4)

式中:ζ2和ωn2分別為阻尼比和自然頻率;K2為一次項系數(shù)，與擾動幅值的抑制有關，該值越大，對擾動的抑制越弱，反之則越強。

參考跟蹤指標包含上邊界δup(ω)和下邊界δlo(ω)，如下：

(5)

其中,上下邊界常取標準的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)，并在上下邊界分別加入遠離虛軸的零點和極點，以擴大在高頻輸出的設計范圍，上下邊界限制分別如下：

(6)

(7)

式中：z和p分別為遠離虛軸的零極點;ωn_p和ωn_l分別為上下邊界的自然頻率;ζp和ζl分別為上下邊界的阻尼比，且ζp<1，ζl≥1。

1.2.3 合成性能邊界

求解不等式(1)、式(3)和式(5)可得G(s)幅值的取值范圍，在-360°～0°之間按比例選取其相位值，與P(s)的幅值相乘、相位相加即可得開環(huán)傳遞函數(shù)L(s)的幅值和相位，將該幅值、相位與設定的頻率集ωi繪制于Nichols圖上可得合成控制器所需的性能邊界。

1.2.4 控制器設計

通過給G(s)調(diào)整增益、加入零極點等環(huán)節(jié)，使得開環(huán)頻率響應曲線在Nichols圖中的ωi處高于性能邊界即可。

1.2.5 預置濾波器設計

與控制器的設計同理，同樣給F(s)添加零極點等環(huán)節(jié)。若閉環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖處于參考跟蹤指標的Bode圖之中，則F(s)設計合理。

2 PID控制器的設計

2.1 性能邊界生成

2.1.1 標稱模板的建立

PMSM伺服系統(tǒng)雙閉環(huán)結構如圖3所示。

圖3 PMSM伺服系統(tǒng)雙閉環(huán)結構圖

其中，ωref(s)和ωm(s)分別為給定和輸出轉速，ASR為轉速控制器，ACR為電流控制器(本文為PI控制器)，Ks、Kt、Rs、J、B和TL分別為功率變換器放大倍數(shù)、轉矩系數(shù)、定子電阻、轉動慣量、黏滯摩擦系數(shù)和負載轉矩，Ts、Tl、Ttf1、Ttf2、Tcf和Tsf分別為功率變換器延時時間、電磁時間常數(shù)、電流采樣延時時間、測速延遲時間、電流濾波時間常數(shù)和速度濾波時間常數(shù)，α和β分別為速度環(huán)反饋系數(shù)和電流環(huán)反饋系數(shù)。

將電流環(huán)等效為一階慣性環(huán)節(jié)，因此速度環(huán)的控制對象為

(8)

式中：T∑n為等效時間常數(shù)，T∑n=Ttf2+Tsf+1/KI;KI為電流環(huán)增益;系統(tǒng)轉動慣量取值為J∈[0.001,0.01]，取轉動慣量標稱值為電機本體轉動慣量J0，即J=J0=0.001 25，此時式(8)為標稱模型。頻率集ωi選取為ωi=[0.1 0.3 0.6 1 4 10 20 50 100 200 500 1 000 2 000]rad/s。

將標稱模型與ωi繪制于Nichols即為標稱模板，如圖4所示。

圖4 被控對象模板

圖4中“○”表示的為被控對象的取值，“×”表示的即為標稱模板。

2.1.2 性能指標的選取及邊界生成

魯棒穩(wěn)定裕度指標及邊界。取Ws=1.25，由式(2)可得此時Mp和Mg分別為：Mp=5.105 5，Mg=47.156 4°。該性能指標在Nichols圖上生成的邊界如圖5所示。

圖5 魯棒穩(wěn)定裕度邊界

抗輸入擾動指標及邊界。取峰值時間tp≤0.005 s，阻尼比ζ2=0.6，單位階躍擾動輸入信號的輸出幅值小于0.15，則由式(4)可得：

(9)

該性能指標在Nichols圖上生成的邊界如圖6所示。

圖6 輸入擾動抑制邊界

參考跟蹤指標及邊界。上邊界,超調(diào)量σ≤5%，調(diào)節(jié)時間ts_u≤0.018 s，零點z=345.745，則由式(6)可得：

(10)

下邊界,阻尼比ζl=1.05，調(diào)節(jié)時間ts_l≤0.05 s，極點p=1 000，則由式(7)可得：

(11)

該性能指標在Nichols圖上生成的邊界如圖7所示。

圖7 參考跟蹤邊界

2.1.3 合成性能邊界

本文性能邊界以及控制器的合成借助Garcia-Sanz教授及其團隊開發(fā)的QFT工具箱(QFTCT)[13]。控制器合成的性能邊界為圖5～圖7的交集，邊界合成結果如圖8所示。

圖8 邊界合成

2.2 PID控制器的合成

2.2.1 PID控制器結構

PID控制器的一般結構如下：

(12)

式中：e(s)和u(s)分別為輸入誤差信號和輸出控制信號;Kp、Ki和Kd分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)以及微分系數(shù);Tn為濾波時間常數(shù)。

式(12)做等效變換，可得：

(13)

因此，由式(13)可知，在合成PID控制器時，只需要給控制器G(s)調(diào)整增益K、添加零點z1和z2、極點p以及積分環(huán)節(jié)1/s即可獲得PID控制器。

2.2.2 PID控制器合成步驟

未加入控制器G(s)(或G(s)=1)的開環(huán)頻率響應曲線L(s)與性能邊界的Nichols圖如圖9所示。

圖9 開環(huán)頻率響應曲線與性能邊界Nichols圖

基于QFT的PID控制器的合成分為調(diào)整增益K、添加積分環(huán)節(jié)1/s、零點z1、零點z2以及極點p5個環(huán)節(jié)，其合成步驟如下。

(1)給控制器添加積分環(huán)節(jié)1/s。

(2)調(diào)整控制器增益K，直到L(s)在頻率點ωi處高于性能邊界。

(3)加入零點z1。零點的加入會增加系統(tǒng)的相位，可以讓L(s)向右邊移動，且零點較小時主要影響L(s)的低中頻，較大時則影響高頻。z1取值較小，先滿足低中頻要求。

(4)加入零點z2。z2取值較大，滿足高頻要求，且L(s)在高頻處不應穿越穩(wěn)定裕度邊界。

(5)加入極點p，給PID控制器增加濾波環(huán)節(jié)。極點會降低系統(tǒng)的相位，使L(s)向左邊移動，p取值通常較大。

PID控制器的設計結果如下：

(14)

圖10為PID控制器合成結果。

圖10 PID控制器合成結果

2.3 預置濾波器的設計

通過給預置濾波器添加零極點等環(huán)節(jié)，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖處于參考跟蹤指標的Bode圖之中，如圖11所示。

圖11 參考跟蹤指標與閉環(huán)傳遞函數(shù)Bode圖

F(s)的設計結果如下：

(15)

3 仿 真

基于MATLAB/Simulink的仿真平臺搭建PMSM伺服系統(tǒng)仿真模型，采用id=0的控制策略，電流環(huán)采用PI控制器，電機參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM參數(shù)

給定轉速0.24pu(600 r/min)，速度控制器采用QFT控制器，系統(tǒng)轉動慣量J分別取1倍標稱轉動慣量J0、3倍標稱轉動慣量3J0和5倍標稱轉動慣量5J0時轉速波形如圖12所示。

圖12 不同轉動慣量下的轉速波形

由圖12可知，系統(tǒng)轉動慣量取1～5倍的標稱慣量時，系統(tǒng)的輸出均處于上邊界和下邊界之間。因此，該控制器設計合理。

當J=5J0時，將QFT速度控制器與速度PI控制器對比，分別采用兩者速度控制器的轉速波形如圖13所示，其他慣量下的轉速波形比較如表2所示。

圖13 J=5J0時轉速比較

表2 不同轉動慣量下轉速波形比

從圖13和表2可知，在加載不同的轉動慣量時，基于QFT設計的PID速度控制器相比PI速度控制器具有更小的上升時間和調(diào)節(jié)時間，且無超調(diào)，擁有更好的魯棒性能。

4 試 驗

試驗采用GSK公司的130SJT-M075D (A4I)型PMSM(電機參數(shù)同表1)、GR2050T型驅動器以及TI公司的TMS320F28377S型DSP處理器搭建PMSM伺服系統(tǒng)的試驗平臺。PMSM伺服系統(tǒng)平臺與慣量臺如圖14所示。

圖14 PMSM試驗平臺

電流環(huán)采用PI控制器，速度控制器使用QFT控制器，采樣頻率為16 K，給定轉速為0.24pu，分別給系統(tǒng)從零加到4個慣量盤(一個慣量盤等于一倍的電機本體慣量)時，系統(tǒng)電流和轉速波形分別如圖15(a)和圖15(b)所示。

圖15 不同轉動慣量下的波形比較

圖中JL為所加的慣量盤的大小，J0為一個慣量盤的大小。由圖15可知，當系統(tǒng)從零增加四個慣量盤時，系統(tǒng)的轉速均未產(chǎn)生超調(diào)，q軸電流和轉速波形的穩(wěn)態(tài)均沒有大的波動。可以看出該控制器具有較強的魯棒性，能夠有效抑制轉動慣量的擾動。

同樣的條件下將QFT速度控制器與PI速度控制器進行比較，其中系統(tǒng)未加慣量盤的轉速波形比較如圖16所示，加入不同個數(shù)慣量盤時的數(shù)據(jù)情況如表3所示。

圖16 未加慣量盤時轉速波形比較

表3 不同控制器下的轉速波形數(shù)據(jù)比較

由圖16和表3可知，與PI控制器相比，使用QFT速度控制器時系統(tǒng)的上升時間、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間在不同的JL下均要優(yōu)異，且均未產(chǎn)生超調(diào)。由此可知使用QFT速度控制器比使用PI速度控制器的魯棒性強，對負載轉動慣量的擾動具有更好的抑制效果。

將所得結果與文獻[14]相比較而言，本文所提方法設計的控制器不僅結構簡單、確定，設計目標明確，且具有較強的魯棒性，更適合工程應用。

5 結 語

本文提出了一種基于QFT的PID控制器設計方法，設計過程不涉及較深的理論，實現(xiàn)過程簡單，不僅適用于實際應用，而且能有效改善系統(tǒng)的魯棒性。最后，在不同的負載轉動慣量下進行了仿真和試驗，驗證了本文所提方法對轉動慣量擾動抑制的合理性。此外，還將該方法與傳統(tǒng)的PI控制器進行對比，結果表明所提方法的魯棒性更為優(yōu)異，對轉動慣量擾動的抑制更加明顯。