改進變指數趨近律直線伺服系統位置滑?？刂?/h1>
2021-10-27 00:16:10白喜強崔皆凡金少山
電機與控制應用 2021年8期
白喜強,崔皆凡,金少山
(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110000)
0 引 言
近年來，永磁同步直線電機(PMSLM)得到了快速發展，尤其廣泛應用于數控機床、數字化生產線等高精密的工業領域[1-2]。但直線電機直接帶動負載運動，電機性能易受負載變化影響，且電機運行時會受參數變化以及一些非線性因素的影響，使得提高電機性能難度大。傳統的 PID控制難以滿足高性能控制的要求[3]。因此,需要設計一種控制器使系統具有較強的魯棒性以及較高的響應速度。
滑?？刂?SMC)本質上是一類特殊的非線性控制，其非線性表現為控制的不連續[4]。其結構簡單，具有很強的魯棒性，然而，在電機起動過程中SMC需要較長的時間才能使系統達到穩定狀態，而且還存在抖振現象[5]。文獻[6]采用加權積分增益與指數趨近律結合來減小抖振加快響應速度，但其抑制抖振效果不好。文獻[7]設計了新的滑模趨近律，并且與模糊控制結合來減小滑模抖振，但其穩態時速度響應仍存在明顯抖振。文獻[8]采用線性矩陣不等式(LMI)來設計滑模等效控制律，并用擴張狀態觀測器(ESO)對各種干擾進行實時估計補償，來增強系統魯棒性。文獻[9]通過對滑模趨近律進行改進以提高電機參數變化的魯棒性。文獻[10]在傳統指數趨近律的基礎上引入雙曲正切函數、終端吸引子等來削弱抖振水平。
為了改善PMSLM的控制性能，減小滑模變結構控制引起的抖振問題。本文設計了基于ESO的改進變指數趨近律位置SMC。在傳統指數趨近律的基礎上，引入狀態變量變指數積分冪次項、冪次趨近律和飽和函數,有效地減小滑模引起的抖振問題，提高了電機穩定性。引入了ESO，對外界負載擾動進行實時觀測，增強系統魯棒性。
1 PMSLM數學模型
基于d-q坐標系下PMSLM的數學模型：
ud=Rsid+pψd-ωψq
(1)
uq=Rsiq+pψq+ωψd
(2)
ψd=Ldid+ψf
(3)
ψq=Lqiq
(4)
式中：uq、ud為d、q軸電壓;iq,id為d、q軸電流;ψq、ψd為d、q軸的勵磁磁鏈；Lq、Ld為d、q軸電感；ω為電角速度；Rs為定子電阻；p為微分算子。
PMSLM電磁推力方程可表示為
(5)
式中:τ為極距;p為極對數。對于表貼式PMSLMLd=Lq。
電磁推力表達式可以表示為
(6)
PMSLM機械運動方程可表示為
(7)
式中:m為動子質量;B為黏滯摩擦因數；Fl為廣義負載擾動。
將式(6)代入式(7)可得：
(8)
2 位置SMC設計
2.1 改進變指數趨近律
傳統指數趨近律：
(9)
改進的變指數趨近律：
(10)
式中:k、k1、k2均為大于0的常數；0<γ<1；sat(s,δ)為飽和函數。
(11)
該趨近律充分結合冪次項和指數項的特點，在不同趨近階段具有不同的快速趨近特性，較好地控制收斂速率。
2.2 改進SMC設計
為了實現對系統狀態的完全跟蹤，定義電機動子位置誤差為控制器的狀態變量：
x1=pf-p*
(12)
(13)
傳統的滑模面函數中包含微分分量，容易引起系統抖振[11]，積分滑模面函數具有平滑推力、減小系統穩態誤差、削弱抖振、增強控制器穩定性的良好品質，本次控制器設計采用積分滑模面：
(14)
其中,C0、C1>0。
結合式(10)、式(14)設計改進SMC，等效控制律設計為
(15)
切換控制律為
(16)
與式(16)聯立的控制律為
u=ueq+uvss=
khs+βhsat(s,δ)]
(17)
根據控制律所設計的SMC如圖1所示。
圖1 改進變指數趨近律SMC
構造李雅普諾夫函數:
(18)
對式(18)求導得：
(19)
3 基于ESO的新型SMC設計
ESO實際上是通用的擾動觀測器[12]，不依賴于系統的數學模型[13],可以實時估計控制系統的外界負載擾動,增強系統魯棒性。
對于非線性系統：
(20)
建立ESO：
(21)
其中選擇合適的β1、β2、β3的值，就可以很好地估計出x1、x2、x3[14]。即：
z1→x1、z2→x2、z3→x3
針對PMLSM的ESO：x1=pf、x2=v、u1=iq、z3為擾動觀測值。
4 仿真分析
為了驗證改進變指數趨近律積分SMC以及與ESO結合的控制效果，進行了仿真驗證。所采用的電機參數如表1所示。
表1 PMLSM參數
針對上述電機，設計基于ESO的改進變指數趨近律SMC如圖2所示。
圖2 PMSLM控制系統模型
仿真分別對電機進行了空載和突加負載仿真試驗，電機線速度為1 m/s，仿真時間為0.5 s。改進SMC參數如表2所示。
表2 改進SMC參數
根據圖3所示的電機位置誤差波形來看，改進變指數趨近律的SMC響應時間較短，減小了0.15 s。在系統達到穩態時，改進SMC抖振明顯減小，且控制精度也有所提高，穩態時誤差達到0.5 μm，而傳統指數趨近律平均穩態誤差在2 μm。
圖3 位置誤差波形
圖4、圖5分別為傳統指數趨近律和改進變指數趨近律SMC的電機速度波形。從圖5可以看出，改進后的SMC速度超調略大，但抖振現象明顯減小。
圖4 傳統指數趨近律SMC速度波形
圖5 改進變指數趨近律SMC速度波形
圖6、圖7分別為2種控制方法空載時的q軸電流波形，從波形可以看出，0.08 s后，改進后的SMC的電機電流波動明顯減小。
圖6 傳統指數趨近律SMC iq波形
圖7 改進變指數趨近律SMC iq波形
圖8為控制系統有無ESO的電機位置誤差波形對比圖。加入ESO的控制系統穩態誤差比未加入ESO的SMC系統減小了0.001 μm，可以看出ESO的觀測誤差對系統的跟蹤誤差幾乎沒有影響。在0.3 s突加100 N負載后，如圖9所示，ESO可以使電機在突加負載后可以很快地回到突加負載前的狀態，提高了電機系統的魯棒性。
圖8 位置誤差波形
圖9 電機速度波形
圖10為改進后的SMC電機動子實際位置與給定位置的波形?？梢钥闯觯倪M后的控制器可以使動子很好地跟隨給定位置，電機的穩態誤差從2 μm減小到0.5 μm。
圖10 動子實際位置和給定位置波形
5 試驗研究
為了驗證基于ESO改進SMC的可行性，搭建了電機試驗平臺,如圖11所示。試驗平臺控制對象是圓筒型PMSLM，主控芯片是DSPTMS320F28335。試驗平臺以DSP28335為核心控制單元，系統主要硬件包括電源電路、控制電路、功率驅動電路、故障檢測、信號檢測電路和保護電路以及通信電路。
圖11 PMLSM控制系統試驗裝置
電機設定速度為1 m/s，運動行程為0.3 m。圖12、圖13分別為改進前后電機的位置誤差波形?？芍?，改進后的SMC響應時間更短，約為0.08 s，且跟蹤誤差也較小。
圖12 傳統指數趨近律SMC位置誤差波形
圖13 改進SMC位置誤差波形
圖14、圖15分別為改進前后電機的速度波形?？芍?，改進后的滑模抖振明顯減小。圖16為基于ESO改進SMC電機動子的實際位置波形，試驗結果符合仿真分析結果。
圖14 傳統指數趨近律SMC速度波形
圖15 改進SMC速度波形
圖16 動子實際位置波形
6 結 語
為了提升PMLSM控制性能，本文提出了基于ESO改進的變指數趨近律SMC。在指數趨近律的基礎上引入狀態變量的變指數積分冪次項、冪次趨近律和飽和函數，同時引入ESO來增強系統魯棒性。通過與傳統的指數趨近律SMC進行對比，改進后的SMC可以明顯地抑制滑模本身存在的抖振問題，控制精度也明顯提高，系統魯棒性也明顯增強，并通過仿真與試驗進行了驗證。
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近年來，永磁同步直線電機(PMSLM)得到了快速發展，尤其廣泛應用于數控機床、數字化生產線等高精密的工業領域[1-2]。但直線電機直接帶動負載運動，電機性能易受負載變化影響，且電機運行時會受參數變化以及一些非線性因素的影響，使得提高電機性能難度大。傳統的 PID控制難以滿足高性能控制的要求[3]。因此,需要設計一種控制器使系統具有較強的魯棒性以及較高的響應速度。
滑?？刂?SMC)本質上是一類特殊的非線性控制，其非線性表現為控制的不連續[4]。其結構簡單，具有很強的魯棒性，然而，在電機起動過程中SMC需要較長的時間才能使系統達到穩定狀態，而且還存在抖振現象[5]。文獻[6]采用加權積分增益與指數趨近律結合來減小抖振加快響應速度，但其抑制抖振效果不好。文獻[7]設計了新的滑模趨近律，并且與模糊控制結合來減小滑模抖振，但其穩態時速度響應仍存在明顯抖振。文獻[8]采用線性矩陣不等式(LMI)來設計滑模等效控制律，并用擴張狀態觀測器(ESO)對各種干擾進行實時估計補償，來增強系統魯棒性。文獻[9]通過對滑模趨近律進行改進以提高電機參數變化的魯棒性。文獻[10]在傳統指數趨近律的基礎上引入雙曲正切函數、終端吸引子等來削弱抖振水平。
為了改善PMSLM的控制性能，減小滑模變結構控制引起的抖振問題。本文設計了基于ESO的改進變指數趨近律位置SMC。在傳統指數趨近律的基礎上，引入狀態變量變指數積分冪次項、冪次趨近律和飽和函數,有效地減小滑模引起的抖振問題，提高了電機穩定性。引入了ESO，對外界負載擾動進行實時觀測，增強系統魯棒性。
1 PMSLM數學模型
基于d-q坐標系下PMSLM的數學模型：
ud=Rsid+pψd-ωψq
(1)
uq=Rsiq+pψq+ωψd
(2)
ψd=Ldid+ψf
(3)
ψq=Lqiq
(4)
式中：uq、ud為d、q軸電壓;iq,id為d、q軸電流;ψq、ψd為d、q軸的勵磁磁鏈；Lq、Ld為d、q軸電感；ω為電角速度；Rs為定子電阻；p為微分算子。
PMSLM電磁推力方程可表示為
(5)
式中:τ為極距;p為極對數。對于表貼式PMSLMLd=Lq。
電磁推力表達式可以表示為
(6)
PMSLM機械運動方程可表示為
(7)
式中:m為動子質量;B為黏滯摩擦因數；Fl為廣義負載擾動。
將式(6)代入式(7)可得：
(8)
2 位置SMC設計
2.1 改進變指數趨近律
傳統指數趨近律：
(9)
改進的變指數趨近律：
(10)
式中:k、k1、k2均為大于0的常數；0<γ<1；sat(s,δ)為飽和函數。
(11)
該趨近律充分結合冪次項和指數項的特點，在不同趨近階段具有不同的快速趨近特性，較好地控制收斂速率。
2.2 改進SMC設計
為了實現對系統狀態的完全跟蹤，定義電機動子位置誤差為控制器的狀態變量：
x1=pf-p*
(12)
(13)
傳統的滑模面函數中包含微分分量，容易引起系統抖振[11]，積分滑模面函數具有平滑推力、減小系統穩態誤差、削弱抖振、增強控制器穩定性的良好品質，本次控制器設計采用積分滑模面：
(14)
其中,C0、C1>0。
結合式(10)、式(14)設計改進SMC，等效控制律設計為
(15)
切換控制律為
(16)
與式(16)聯立的控制律為
u=ueq+uvss=
khs+βhsat(s,δ)]
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根據控制律所設計的SMC如圖1所示。
圖1 改進變指數趨近律SMC
構造李雅普諾夫函數:
(18)
對式(18)求導得：
(19)
3 基于ESO的新型SMC設計
ESO實際上是通用的擾動觀測器[12]，不依賴于系統的數學模型[13],可以實時估計控制系統的外界負載擾動,增強系統魯棒性。
對于非線性系統：
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建立ESO：
(21)
其中選擇合適的β1、β2、β3的值，就可以很好地估計出x1、x2、x3[14]。即：
z1→x1、z2→x2、z3→x3
針對PMLSM的ESO：x1=pf、x2=v、u1=iq、z3為擾動觀測值。
4 仿真分析
為了驗證改進變指數趨近律積分SMC以及與ESO結合的控制效果，進行了仿真驗證。所采用的電機參數如表1所示。
表1 PMLSM參數
針對上述電機，設計基于ESO的改進變指數趨近律SMC如圖2所示。
圖2 PMSLM控制系統模型
仿真分別對電機進行了空載和突加負載仿真試驗，電機線速度為1 m/s，仿真時間為0.5 s。改進SMC參數如表2所示。
表2 改進SMC參數
根據圖3所示的電機位置誤差波形來看，改進變指數趨近律的SMC響應時間較短，減小了0.15 s。在系統達到穩態時，改進SMC抖振明顯減小，且控制精度也有所提高，穩態時誤差達到0.5 μm，而傳統指數趨近律平均穩態誤差在2 μm。
圖3 位置誤差波形
圖4、圖5分別為傳統指數趨近律和改進變指數趨近律SMC的電機速度波形。從圖5可以看出，改進后的SMC速度超調略大，但抖振現象明顯減小。
圖4 傳統指數趨近律SMC速度波形
圖5 改進變指數趨近律SMC速度波形
圖6、圖7分別為2種控制方法空載時的q軸電流波形，從波形可以看出，0.08 s后，改進后的SMC的電機電流波動明顯減小。
圖6 傳統指數趨近律SMC iq波形
圖7 改進變指數趨近律SMC iq波形
圖8為控制系統有無ESO的電機位置誤差波形對比圖。加入ESO的控制系統穩態誤差比未加入ESO的SMC系統減小了0.001 μm，可以看出ESO的觀測誤差對系統的跟蹤誤差幾乎沒有影響。在0.3 s突加100 N負載后，如圖9所示，ESO可以使電機在突加負載后可以很快地回到突加負載前的狀態，提高了電機系統的魯棒性。
圖8 位置誤差波形
圖9 電機速度波形
圖10為改進后的SMC電機動子實際位置與給定位置的波形?？梢钥闯觯倪M后的控制器可以使動子很好地跟隨給定位置，電機的穩態誤差從2 μm減小到0.5 μm。
圖10 動子實際位置和給定位置波形
5 試驗研究
為了驗證基于ESO改進SMC的可行性，搭建了電機試驗平臺,如圖11所示。試驗平臺控制對象是圓筒型PMSLM，主控芯片是DSPTMS320F28335。試驗平臺以DSP28335為核心控制單元，系統主要硬件包括電源電路、控制電路、功率驅動電路、故障檢測、信號檢測電路和保護電路以及通信電路。
圖11 PMLSM控制系統試驗裝置
電機設定速度為1 m/s，運動行程為0.3 m。圖12、圖13分別為改進前后電機的位置誤差波形?？芍?，改進后的SMC響應時間更短，約為0.08 s，且跟蹤誤差也較小。
圖12 傳統指數趨近律SMC位置誤差波形
圖13 改進SMC位置誤差波形
圖14、圖15分別為改進前后電機的速度波形?？芍?，改進后的滑模抖振明顯減小。圖16為基于ESO改進SMC電機動子的實際位置波形，試驗結果符合仿真分析結果。
圖14 傳統指數趨近律SMC速度波形
圖15 改進SMC速度波形
圖16 動子實際位置波形
6 結 語
為了提升PMLSM控制性能，本文提出了基于ESO改進的變指數趨近律SMC。在指數趨近律的基礎上引入狀態變量的變指數積分冪次項、冪次趨近律和飽和函數，同時引入ESO來增強系統魯棒性。通過與傳統的指數趨近律SMC進行對比，改進后的SMC可以明顯地抑制滑模本身存在的抖振問題，控制精度也明顯提高，系統魯棒性也明顯增強，并通過仿真與試驗進行了驗證。
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