正六邊形孔蜂窩梁撓度分析

嚴(yán) 辛，曾彩艷，盧婷婷

1.九江職業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西 九江 332000

2.昆明理工大學(xué)設(shè)計(jì)研究院，云南 昆明 650051

蜂窩梁大多為二次加工制作而成。選擇寬翼緣熱軋型鋼或者熱軋工字鋼，在腹板位置沿一定路徑切割，再將兩部分錯(cuò)位焊接。與傳統(tǒng)桁架結(jié)構(gòu)相比，蜂窩梁結(jié)構(gòu)形式更加簡(jiǎn)潔，表面積更小，從而節(jié)省了油漆、防腐等費(fèi)用。在承載能力大體相同的情況下，與傳統(tǒng)的實(shí)腹式鋼梁相比，采用蜂窩梁用鋼量可以降低約30%。另外，鋼構(gòu)件的運(yùn)輸、安裝費(fèi)用與重量直接相關(guān)，故采用蜂窩梁還可帶來(lái)顯著的經(jīng)濟(jì)效益[1]。

目前，學(xué)術(shù)界對(duì)于蜂窩梁撓度計(jì)算的研究大多數(shù)都只是給出了復(fù)雜的理論解析公式，如果能總結(jié)出一套更加簡(jiǎn)潔實(shí)用的設(shè)計(jì)方法，則更有利于蜂窩梁工程應(yīng)用的推廣。

1 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的撓度計(jì)算

根據(jù)虛功原理，可以推導(dǎo)出任意結(jié)構(gòu)體系的撓度：

忽略溫度改變、支座位移等因素，暫不考慮支座位移影響，可得靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下所產(chǎn)生的位移的計(jì)算公式：

式中：FN、FQ、M為結(jié)構(gòu)體系在微段ds上所受到的實(shí)際內(nèi)力；為結(jié)構(gòu)體系在虛單位荷載作用下結(jié)構(gòu)的虛內(nèi)力。

式（2）具有普遍性和一般性，同樣適用于蜂窩梁的撓度計(jì)算。

2 基本假定

由于腹板開(kāi)孔，計(jì)算蜂窩梁撓度時(shí)除了可以參照實(shí)腹梁和材料力學(xué)經(jīng)典理論計(jì)算其彎曲和剪切撓度，還考慮到梁橋處腹板剛度減弱，由其引發(fā)的彎曲變形也不能忽視，下文將其稱作梁橋附加撓度。這樣一來(lái)，蜂窩梁的撓度計(jì)算就變得比實(shí)腹梁復(fù)雜。尤其是對(duì)于梁橋附加變形的計(jì)算，一直都沒(méi)有公認(rèn)的既簡(jiǎn)單實(shí)用又精確的計(jì)算方法。

文章將蜂窩梁撓度分解成彎曲撓度、剪切撓度和梁橋附加撓度三部分。其中，梁橋附加撓度的計(jì)算難度較高。

有必要說(shuō)明的是，以下推導(dǎo)過(guò)程基于如下基本假定進(jìn)行：（1）梁為彈性體，鋼材各向同性；（2）梁的截面保持平面變形；（3）空腹截面處的總剪力按照截面抗剪剛度分配。

3 蜂窩梁的彎曲撓度及剪切撓度

彎曲撓度與梁剛度有關(guān)，帶入蜂窩梁等效剛度后，可得蜂窩梁的彎曲撓度計(jì)算式[2]：

式中：Is、Io分別為實(shí)腹截面和孔洞處空腹截面的慣性矩；fsm為相對(duì)應(yīng)腹板未開(kāi)孔實(shí)腹鋼梁的剪切撓度。

正六邊形孔蜂窩梁等效示意圖如圖1所示。其中，M為蜂窩梁所受彎矩；s為蜂窩梁腹板縱向開(kāi)孔間距；D為腹板縱向開(kāi)孔尺寸；h為梁高。

圖1 正六邊形孔蜂窩梁等效示意圖

剪切撓度與梁橫截面積有關(guān)，代入等效截面參數(shù)后，可得蜂窩梁的剪切撓度表達(dá)式：

式中：As、Ao分別為實(shí)腹截面和孔洞處腹板橫截面的面積；fsv為相對(duì)應(yīng)腹板未開(kāi)孔實(shí)腹鋼梁的剪切撓度。

剪力作用下矩形孔蜂窩梁及假想截面分布如圖2所示。其中，V為蜂窩梁所受剪力；l為蜂窩梁腹板縱向開(kāi)孔間距。

圖2 剪力作用下矩形孔蜂窩梁及假想截面分布

對(duì)于蜂窩梁的彎曲撓度和剪切撓度計(jì)算，業(yè)內(nèi)已有大量研究成果，不再贅述。

4 蜂窩梁的梁橋附加撓度

參照材料力學(xué)經(jīng)典理論計(jì)算其彎曲撓度和剪切撓度，并考慮蜂窩梁開(kāi)孔后在梁橋處剛度突然減弱而產(chǎn)生的變形，把蜂窩梁簡(jiǎn)化為空腹桁架，桁架桿件間剛性連接，其反彎點(diǎn)位于桁架正中[3]。參考反彎點(diǎn)法求解蜂窩梁梁橋處沿y軸方向的變形，簡(jiǎn)化過(guò)程如圖3所示。

圖3 蜂窩梁計(jì)算簡(jiǎn)化過(guò)程示意圖

計(jì)算附加撓度時(shí)需要考慮梁橋處T型截面繞x軸的彎曲剛度，以下用EITx表示；相應(yīng)的墩腰處繞x軸彎曲剛度用EIwebx表示。簡(jiǎn)化過(guò)程中，假設(shè)墩腰處繞x軸彎曲剛度遠(yuǎn)大于EITx，用D表示相應(yīng)梁橋跨度，并忽略墩腰沿z軸方向的長(zhǎng)度，將此視為1根桁架腹桿，其繞x軸彎曲剛度遠(yuǎn)大于梁橋繞x軸彎曲剛度。

綜上所述，此節(jié)蜂窩梁梁橋附加撓度f(wàn)vm的推導(dǎo)過(guò)程基于如下假定：（1）假定反彎點(diǎn)位于梁橋中點(diǎn)，且反彎點(diǎn)處彎矩為零，剪力不為零；（2）假設(shè)EIwebx遠(yuǎn)大于EITx；（3）假定簡(jiǎn)化后的桁架弦桿和腹桿之間端部轉(zhuǎn)角相同，反彎點(diǎn)位置固定不變；（4）取梁橋的跨度為D，忽略墩腰沿z軸方向的長(zhǎng)度。

上述假定是運(yùn)用反彎點(diǎn)法的前提。需要注意的是，反彎點(diǎn)法適用范圍仍然有限，只有當(dāng)上、下弦桿線剛度與桁架腹桿線剛度之比不小于3時(shí)才適用。

運(yùn)用反彎點(diǎn)法的前提是假定簡(jiǎn)化后的空腹桁架上、下弦桿和桁架腹桿之間端部轉(zhuǎn)角相同，反彎點(diǎn)位置固定不變；反彎點(diǎn)處彎矩為0，剪力不為0。

文章研究的正六邊形孔蜂窩梁上、下肢對(duì)稱分布，剛度相等，單位剪力Vi分配到單肢的剪力為

單肢沿y軸方向的剛度為

另外，根據(jù)彎曲剛度的物理意義有

綜上所述，可以很方便地求得一個(gè)計(jì)算單元的豎向撓度：

此即單個(gè)計(jì)算單元所產(chǎn)生的沿荷載作用方向的變形值。可以把這個(gè)結(jié)論放大到蜂窩梁的全長(zhǎng)范圍，假設(shè)蜂窩梁總共有n個(gè)開(kāi)孔單元，則半跨上0.5n個(gè)計(jì)算單元的撓度相累加，得到的就是簡(jiǎn)支蜂窩梁跨中的撓度；全跨上n個(gè)計(jì)算單元的撓度相累加，得到的就是懸臂蜂窩梁跨中的撓度。文章研究簡(jiǎn)支蜂窩梁，不同的荷載作用類型，總附加撓度值的表達(dá)式也有所不同。

對(duì)于一個(gè)受均布荷載作用的梁，有

代入一個(gè)計(jì)算單元的撓度表達(dá)式中，可得均布荷載作用下的總附加撓度表達(dá)式：

對(duì)于一個(gè)受跨中集中荷載作用的梁，有

代入一個(gè)計(jì)算單元的撓度表達(dá)式中，得到跨中集中荷載作用下的總附加撓度表達(dá)式：

定義ITx為蜂窩梁開(kāi)孔處T形截面繞x軸的慣性矩，有

根據(jù)材料力學(xué)的原理，可得所求的蜂窩梁梁橋處T形截面的慣性矩：

5 蜂窩梁的撓度

分別推導(dǎo)出不同部分撓度的表達(dá)式后，可得蜂窩梁的撓度計(jì)算公式：

式中：f為蜂窩梁的總撓度；fsm為對(duì)應(yīng)未開(kāi)孔實(shí)腹梁的彎曲撓度；fsv為對(duì)應(yīng)未開(kāi)孔實(shí)腹梁的剪切撓度；γm為蜂窩梁彎曲撓度放大系數(shù)；γv為蜂窩梁剪切撓度放大系數(shù)；fvm為正六邊形孔蜂窩梁梁橋附加撓度；[f]為蜂窩梁的容許撓度。

其中，對(duì)應(yīng)未開(kāi)孔實(shí)腹梁的彎曲撓度及剪切撓度根據(jù)蜂窩梁所受荷載情況的不同而不同。

當(dāng)蜂窩梁受到上翼緣均布荷載作用時(shí)，對(duì)應(yīng)未開(kāi)孔實(shí)腹梁的撓度為

當(dāng)蜂窩梁受到上翼緣跨中集中荷載作用時(shí)，對(duì)應(yīng)未開(kāi)孔實(shí)腹梁的撓度分別為

6 結(jié)束語(yǔ)

文章基于剛性節(jié)點(diǎn)桁架理論，引入梁橋附加撓度的概念，分析得到了蜂窩梁撓度計(jì)算的解析式。雖然得到了一定的結(jié)論，但是仍有許多有待進(jìn)一步研究的工作：（1）僅對(duì)正六邊形孔蜂窩梁進(jìn)行了探討，未涉及其他孔型；（2）只研究了簡(jiǎn)支梁，未涉及諸如兩端固接、懸臂、彈性支座等更復(fù)雜的情況；（3）只考慮了典型荷載作用，對(duì)于非典型荷載作用下蜂窩梁的性能，還有待進(jìn)一步的研究；（4）只做了線性分析，未考慮初始缺陷、殘余應(yīng)力的影響。