基于核心素養(yǎng)養(yǎng)成的“全稱量詞命題和存在量詞命題的否定”

李智鋼

摘 要：數(shù)學概念教學在數(shù)學教學中處于核心地位。數(shù)學概念的形成過程是一個歸納、概括、抽象的過程，概念學習過程應(yīng)是一個探究的過程。在探究過程中體會其產(chǎn)生的必然性以及本身蘊含的哲理性，認識概念的內(nèi)涵和外延，促進數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：量詞;教學設(shè)計;概念教學;核心素養(yǎng)

數(shù)學概念教學在數(shù)學教學中處于核心地位。數(shù)學概念的形成過程是一個歸納、概括、抽象的過程，概念學習過程應(yīng)是一個探究的過程。在探究過程中體會其產(chǎn)生的必然性以及本身蘊含的哲理性，認識概念的內(nèi)涵和外延，促進數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

“全稱量詞命題和存在量詞命題的否定”是人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語1.5節(jié)第2課時。

“全稱量詞命題和存在量詞命題的否定”是學習了1.5.1全稱量詞與存在量詞后，繼續(xù)對于含有一個量詞的命題的否定形式的深入探究。這更能體現(xiàn)兩種命題之間的關(guān)聯(lián)性。全稱量詞命題“”是假命題，那么就說明存在反例，也就是說“”不成立，也就是說，“”與“”是一真一假的關(guān)系，從而驗證了“”的否定是“”，即全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。同樣，如果判斷一個存在量詞命題“”是假命題，也就是說，不存在成立，說明對所有的不成立，即“”成立，進而說明了“”的否定是“”，即存在量詞命題的否定是全稱量詞命題。

對全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，體現(xiàn)了它們之間的相互既對立又統(tǒng)一的關(guān)系，一方面“所有”的否定是“不是所有”，就是存在反例，另一方面“存在”的否定是不存在，就是“都不”，這兩者之間的邏輯關(guān)系非常有助于處理很多數(shù)學問題，會對今后的學習起到重要的作用。

另外引入了新的數(shù)學符號“”“”“”，以及特定命題的數(shù)學符號表示：;;;。鼓勵學生多使用符號語言，對數(shù)學內(nèi)容進行表達，體會其簡潔、準確的特點。從而培養(yǎng)學生能夠準確地運用符號語言表達數(shù)學內(nèi)容的良好習慣。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定，使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定。

二、目標和目標解析

（一）通過學過的數(shù)學實例，理解全稱量詞命題的否定是存在量詞命題和存在量詞命題的否定是全稱量詞命題的規(guī)律。

（二）初步使用量詞、否定等符號進行數(shù)學表達、論證和交流，提升邏輯推理素養(yǎng)。

達成上述目標的標志是：

1.通過引入對一個數(shù)學命題進行否定，可以得到一個新的命題，稱為原命題的否定，舉例體會一個命題和它的否定只能一真一假的規(guī)律。通過對數(shù)學中一些簡單的含有一個量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題進行否定，分析得到新命題的特點，引導學生歸納出全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的一般形式，體會如何正確的使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定，以及如何正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定。加深全稱量詞命題的否定是存在量詞命題和存在量詞命題的否定是全稱量詞命題的規(guī)律理解。

2.通過一些熟知的數(shù)學事實，改寫成含有一個量詞的命題，并對其進行否定或者加以證明，體會符號語言表達數(shù)學內(nèi)容的準確性、簡潔性，引導學生在今后的數(shù)學學習中，自覺地運用符號語言表達數(shù)學內(nèi)容，交流數(shù)學對象。

三、教學問題診斷分析

對兩種命題的否定，應(yīng)多從邏輯上進行引導，可以借助真假性加以引導判斷，這樣更容易接受，否定全稱量詞命題，將否定放到語句的哪個位置，學生是需要思考和判斷的。學生很容易出現(xiàn)的錯誤就是把“”作為全稱量詞命題的否定形式。例如：命題“所有的矩形都是平行四邊形”容易錯誤的否定為“所有的矩形都不是平行四邊形”，那么在教學過程中就需要借助舉例子并判斷真假來說明，如果全稱量詞命題是假命題，那么說明存在一個反例，強調(diào)“并非都是”是否定全稱量詞命題的關(guān)鍵點，最終通過邏輯推理，確定它的否定形式應(yīng)是將全稱量詞轉(zhuǎn)化為存在量詞，并將后面的語句進行否定，即“”，也就是說，“都是”的反面不是“都不是”，而是“不都是即存在不是的”。同樣，對于存在量詞命題的否定也需要深刻理解，學生經(jīng)常會忽視量詞的轉(zhuǎn)換而僅去否定語句，如果不能充分引導，那么就無法培養(yǎng)好學生的邏輯思維和轉(zhuǎn)化思想。通過舉例子幫助學生思考辨析“存在量詞”在語句中的作用，要否定“存在成立的”，就需要說明是“不存在成立的”，也就是“都不成立”，需要讓學生充分理解這個邏輯上的轉(zhuǎn)換。這樣在學生對于這兩種命題的否定充分理解之后，讓學生能夠通過歸納總結(jié)出含有一個量詞的命題的否定需要“改量詞，否結(jié)論”，邏輯推理和等價轉(zhuǎn)化上也同時能得到提高。

本節(jié)課的教學難點是正確地寫出含有一個量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題的否定并判斷其真假。

四、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

（一）概念的引入

一般地，對一個命題進行否定就會得到一個新的命題，這一新命題稱為原命題的否定。生活中的字詞如何否定？“否定”的含義是什么？

生活中，一般加否定詞“不”字，含義是“取反”。如：

對（錯）真（假）

是（非）善（惡）

正（反）美（丑）

你能從生活中的“否定”中得到啟發(fā)，對數(shù)學概念進行否定嗎？

數(shù)學中“否定”時也常常添加“不”字。如：

集合 屬于（不屬于）包含（不包含）

等式 相等（不相等）不等式大于（不大于或小于等于）

若換為數(shù)學符號還會進行否定嗎？

集合∈（）（）

等式=（≠）不等式>（≤）

“x，y都是零”如何否定？（不妨從幾何角度進行思考，如圖一所示將x與y視為平面直角坐標系內(nèi)，點的橫、縱坐標）。

點P是原點，點P不是原點。

O（0，0）點P可在坐標軸上，也可在象限內(nèi)。

“x，y都是0”“x，y不都是0”與“x，y都不是0”

哪個是正確的否定？

教師與學生共同歸納總結(jié)：由生活中詞語的否定有“取反”的意思，過渡到數(shù)學中詞語的否定往往可以添加“不”或者“無”等常用否定詞。體會否定與“取反”的聯(lián)系。感受數(shù)學來源于生活高于生活，感受數(shù)學符號作為數(shù)學語言在表達上的簡潔。

一個命題和它的否定能夠同真或者同假嗎？你能否結(jié)合具體的例子加以解釋？

師生活動：學生獨立思考，舉出數(shù)學實例，交流討論。

追問：命題和命題的否定有怎樣的真假關(guān)系？

師生活動：教師與學生共同歸納總結(jié)：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假。

從學生熟悉的簡單命題出發(fā)，進一步體會添加常見的否定詞“不”字的作用。歸納總結(jié)命題和命題的否定的真假相反關(guān)系。

你能否從集合運算的角度或物理電路的角度再解釋一下否定的含義呢？

師生活動：學生回憶已學的集合運算的知識，以及物理電路的知識，對命題與命題否定真假關(guān)系的“對立性”含義加以解釋。

從學生熟悉的知識出發(fā)，借助前面集合知識，物理學科電路知識進行分析深刻理解命題和命題的否定的真假相反關(guān)系。

（二）概念的形成

命題：“所有的學生都戴眼鏡”有兩種否定方式。

生甲：“并非所有的學生都戴眼鏡”。

生乙：“所有的學生都不戴眼鏡”。

你覺得哪種否定說法正確？為什么？

師生活動：學生獨立思考，交流討論，做出判斷說明理由。

追問：能否從命題與命題的否定的真假關(guān)系角度思考，給出正確的判斷？

師生活動：學生分析命題及兩種命題的否定的真假，結(jié)合二者真假關(guān)系，給出正確的判斷。

從學生熟悉的情境出發(fā)，引入全稱量詞命題的否定問題。通過命題及命題的否定的真假關(guān)系幫助同學們認識到正確的否定方式。為后續(xù)探究全稱量詞命題否定的符號表示做鋪墊。

（三）概念的鞏固應(yīng)用

寫出下列命題的否定，并判斷真假：

（1）任意兩個等邊三角形都相似;

（2）x∈R，x2-x+1=0。

師生活動：學生分析題意，給出解題思路。教師根據(jù)學生情況，可以就以下問題進行追問。然后在學生回答的基礎(chǔ)上進行板書示范。

追問：

（1）三角形相似的判定定理是什么？如何判斷存在量詞命題為假命題？

（2）解一元二次方程的實根方法？如何證明全稱量詞命題為真命題？

（四）單元小結(jié)、布置作業(yè)

教師引導學生回顧本單元所學知識，并引導學生回答下面的問題：

（1）請用結(jié)構(gòu)框圖表示本節(jié)所學的知識。

（2）如何否定含有一個量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題？你能舉例說明嗎？

五、目標檢測設(shè)計

教材35頁復(fù)習參考題1，復(fù)習鞏固7。

寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：

（1）a∈R，一元二次方程x2-ax-1=0有實根;

（2）每個正方形都是平行四邊形;

（3）;

（4）存在一個四邊形ABCD，其內(nèi)角和不等于360°。

考查學生是否會對含有一個量詞的命題進行否定，以及是否會判斷全稱量詞命題、存在量詞命題的真假。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]深度學習：走向核心素養(yǎng)（理論普及讀本）[M].北京：教育科學出版社，2018.

[4]數(shù)學學科德育：新視角，新案例[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5]史寧中.高中數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)評價與教學實施[J].中小學教材教學，2017（5）：4-9.

[6]追求理解的教學設(shè)計（第二版）[M].上海：華東師范大學出版社，2017.