你追我趕都是圓 一近一遠交替現(xiàn)—淺談核心素養(yǎng)下物理模型的構建

高仔芝 孫瑞華

《普通高中物理課程標準》（2017年版2020年修訂）要求：“高中物理課程應在義務教育的基礎上，進一步促進學生物理學科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和發(fā)展?！备咧形锢韺W科核心素養(yǎng)包括：物理觀念、科學思維、實驗探究、科學態(tài)度與責任，其中科學思維又將模型構建列為首個要素。因此，在一輪復習過程中我們必須關注模型的構建、拓展和延伸，提升學生能力，以期達到靈活運用的目的。

國家主席習近平在致第32屆國際航空科學大會的賀信中指出：“航空科技是20世紀以來發(fā)展最為迅速、對人類生產生活影響最大的科技領域之一。”我國的北斗導航系統(tǒng)已開始為30多個國家提供服務，今年我國發(fā)射的神舟十二號載人飛船與天和核心艙完成自主快速交會對接……在這樣的背景下，衛(wèi)星運轉問題無疑會成為高考命題的熱點。在萬有引力與宇宙航行的復習中，衛(wèi)星間的“追擊”和“相遇”問題讓學生倍感頭疼，由于衛(wèi)星都在繞中心天體運轉，學生往往找不到相對運動的關系。此時巧妙構建模型，分類研究，尋找通式，是解決這類問題的法寶。

一、基本模型巧構建

在同一平面內繞同一中心天體做勻速圓周運動的兩衛(wèi)星，當兩衛(wèi)星與中心天體三者共線時，兩衛(wèi)星的位置關系有兩種特殊情況：一是兩衛(wèi)星在中心天體同側，即兩衛(wèi)星相距最近；二是兩衛(wèi)星在中心天體兩側，即兩衛(wèi)星相距最遠。

如圖1，兩衛(wèi)星a、b在同一平面內繞同一個中心天體c做勻速圓周運動，且兩衛(wèi)星a、b的運轉方向相同。據(jù)，可得周期可知Ta＜Tb，即a的轉動比b快。從兩衛(wèi)星相距最近開始計時，a比b每多轉一圈，即圓心角每多轉過2π弧度，a、b相距最近一次，則兩衛(wèi)星再次相距最近的計算模型可按以下分析過程構建。

圖1

從兩衛(wèi)星相距最近開始計時，設經(jīng)過時間t，兩衛(wèi)星再次相距最近，則兩衛(wèi)星運動（即兩衛(wèi)星轉過的圓心角）滿足關系式t=2nπ，(n＝1，2，3……)，即t時間內a轉過的圓心角比b多2π的整數(shù)倍，化簡為(n＝1，2，3……)，即t時間內a比b多轉了整數(shù)圈。

同理可知，從兩衛(wèi)星相距最近開始計時，到兩衛(wèi)星相距最遠時，則兩衛(wèi)星運動關系滿足關系式即t時間內a轉過的圓心角比b多π的奇數(shù)倍。

【方法提煉】

同向相遇做起點，小圓轉快大圓慢；多轉一周為最近，多轉半周距最遠；圓周多解心默念，一近一遠交替現(xiàn)。

二、模型深化求時間

高考題目對同一模型的考查并不是一成不變的，會依托基本模型而變化。

如圖2，兩衛(wèi)星a、b與中心天體c的連線間夾角為θ，且兩衛(wèi)星a、b運轉方向相反，a順時針轉動，b逆時針轉動，求由圖示位置開始，a、b相距最近和最遠的時刻。

圖2

分析：當a、b轉過的角度之和等于θ 時，第一次相距最近。設相距最近的時刻為t1，應滿足關系式相距最遠的時刻為t2，應滿足關系式再如，三顆不同軌道的地球衛(wèi)星在同一平面的運動，可以先計算衛(wèi)星兩兩之間的最短相遇時間，再綜合考慮三顆衛(wèi)星同時相遇的最短時間。如圖3所示，a、b、c為地球赤道平面內繞地球做同向圓周運動的三顆衛(wèi)星，a、b為中軌道衛(wèi)星，它們的運行周期分別為6h和8h，c為地球同步衛(wèi)星。某時刻，三顆衛(wèi)星和地球在同一條直線上且彼此相距最近，求三顆衛(wèi)星下一次與地球在同一直線上且彼此相距最近需要的時間。

思路：先計算衛(wèi)星兩兩之間的最短相遇時間，再求時間的最小公倍數(shù)，即為四者共線的最短時間。

設b和c每相隔t1時間相距最近一次，則解 得t1=12h。同 理，a和c相距最近一次的時間t2=8h，a和b相距最近一次的時間t3=24h。再求t1、t2、t3的最小公倍數(shù)為24h，即為所求時間。其實t1、t2、t3三個時間任意取兩個時間求最小公倍數(shù)即可，沒必要把三個時間都計算出來。

【方法提煉】

反向運動也不難，變減為加同理斷；

多個衛(wèi)星齊上陣，公倍數(shù)中取時間。

三、模型拓展求共線

在基本模型的基礎上，題目經(jīng)常由求解時間轉變?yōu)榍蠼庑l(wèi)星共線的次數(shù)問題。如圖3，若已知Ta:Tb＝1:k（k>1），則從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，求a、b、c共線的次數(shù)。只需分析出無論是相距最近還是最遠，都滿足共線，即a比b每多轉過π弧度（每多轉半圈），a、b、c共線一次。

圖3

再對結果的表達式分析：當k為整數(shù)時，例如，k=8時，共線的次數(shù)p=14次；當k不是整數(shù)時，p的值可能也不是整數(shù)，只需舍掉小數(shù)部分即可，因為小數(shù)部分不夠一次，例如，k=8.4時p=14.8，取14次；k=8.6時p=15.2，取15次。

有了基本的解題思路，再遇到類似題型，比如初始時刻a、b不在相距最近的位置上時，可以把以上模型的結論遷移過來使用。如圖4，在同一平面內a、b繞c沿著逆時針方向做勻速圓周運動，若零時刻a、b兩衛(wèi)星分別與c的連線有一定夾角θ（a比b超前θ），已知已知a、b周期之比Ta:Tb=1:8，則從圖示位置開始，求b運動一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)。

圖4

分析時，先計算至第一次共線的時間t0，則 滿 足代 入數(shù)據(jù)解之后的分析同前述，即Tb時間內到t0第一次共線后，又共線的次數(shù)為次，舍去小數(shù)部分取13，再加上第一次，共14次。

【方法提煉】

最近最遠皆共線，次數(shù)只取整數(shù)算；超前滯后不用煩，轉到共線做起點。

四、模型遷移靈活變

新高考改革后，試題閱讀量增大，往往以實際情境為背景來命制試題。比如極地衛(wèi)星軌道會以信息的形式呈現(xiàn)在題目中。具體實例如下：氣象衛(wèi)星、導航衛(wèi)星、地球資源衛(wèi)星等需要在全球范圍內進行觀測和應用，需要衛(wèi)星運行時能到達南北極區(qū)上空，即衛(wèi)星能飛經(jīng)全球范圍的上空，這樣的衛(wèi)星叫極地衛(wèi)星。它的軌道平面與赤道面夾角為90°。

如圖5，極地衛(wèi)星a的圓軌道半徑為r，周期為2h。赤道衛(wèi)星b（軌道平面為赤道平面）的圓軌道半徑為4r，求兩衛(wèi)星從距離最近到下一次最近的時間。

圖5

求解前，先由信息構建出模型，兩顆地球衛(wèi)星軌道在相互垂直的平面上，再求相距最近的時間。求兩衛(wèi)星從相距最近到之后任意一次最近的時間，這個時間將不再是多轉整數(shù)圈的所有取值了，由于兩衛(wèi)星相距最近的位置只能是兩個軌道平面的交點，即兩個特定位置上，其兩位置間的時間差為每個衛(wèi)星周期的一半，因此決定了相距最近的時間間隔。除了上述條件外，還要滿足要么同為兩衛(wèi)星周期的整數(shù)倍，要么同為兩衛(wèi)星半周期的奇數(shù)倍。此題的結果t＝16h，赤道衛(wèi)星運轉1個周期，極地衛(wèi)星運轉剛好是8個周期，兩衛(wèi)星都轉了整數(shù)圈。

再回歸到相同的軌道平面，太陽系八大行星繞太陽運轉的軌道幾乎在同一平面內，地外行星的“沖日”“合日”與衛(wèi)星相距最近與最遠的模型不謀而合。如圖為地外行星“沖日”與“合日”的示意圖，“沖日”即地外行星運行到與太陽、地球形成一條直線的狀態(tài)，按行星、地球、太陽的順序排列，地球在中間，對應模型中太陽為中心天體，兩行星相距最近。同理，“合日”即兩行星相距最遠。

圖6

以木星沖日為例，木星與地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做近似勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，地球公轉周期T1＝1年，木星公轉周期年。設 經(jīng) 時間t，再次出現(xiàn)木星沖日，則有t=2π，解得t≈1.1年。

大約每過1年零34天出現(xiàn)一次木星沖日，2019年6月10日出現(xiàn)木星沖日天象后，2020年7月14日再次出現(xiàn)，由此可推算2021年出現(xiàn)木星沖日的時間。

【方法提煉】

垂直軌道找兩點，半周期下做推演；

合日沖日情境現(xiàn)，你追我趕都是圓。

基本模型是模型構建的基石，我們發(fā)現(xiàn)，無論是求解衛(wèi)星相距最近、最遠的時刻，還是求共線的次數(shù)，或是由沖日、合日求解時間，毫無疑問，它們都是同一模型的演變和延伸，解題思路相同，最終都歸結為求解環(huán)繞星體轉過的角度差問題。這樣就實現(xiàn)了回歸本真、多題歸一的目的，也大大降低了學生理解上的難度。

在教學過程中，教師應加強學生模型思維的培養(yǎng)，幫助學生學習和掌握物理知識，掌握物理模型構建的方法，培養(yǎng)學生的物理核心素養(yǎng)。高考試題的情境往往比較靈活，可能以時事科技、天文奇觀、航空航天等為背景設置試題，考查學生從所給材料中獲取有效信息和靈活運用知識解決問題的能力。因此，我們可以以此為突破口，引導學生認真審題，正確構建物理模型，分析所用的物理規(guī)律，然后運用所學知識，進行演繹歸納、綜合分析、遷移變化，最后準確規(guī)范地作答。窺一斑而知全貌，將其解題方法和思維應用到其他物理模型，舉一反三，觸類旁通，打造高效物理課堂，進一步提升學生的核心素養(yǎng)。