基于學科本質理解的高考數學試題分析—以一道解析幾何題為例

張麗楠 張生春

解析幾何作為高中數學核心內容之一，是高考必考知識點。本文通過對2018年全國數學卷Ⅰ理科第19題的剖析，試圖揭示試題內涵和命題立意，以期對高中數學教學有所啟示。

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明:∠OMA=∠OMB．

一、試題分析

解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質。本題第一問較為簡單，主要考查橢圓和直線的基本概念與性質。第二問的關鍵是如何理解“∠OMA=∠OMB ”，如何將這一幾何對象進行恰當的代數表征，進而利用代數方法進行解答。同一數學對象，理解的角度不同就會有不同的轉化思路，也會有不同的代數表征，相應就會有不同的解題思路：

（1）若∠OMA=∠OMB，則直線MA，MB的傾斜角互補，故kMA+kMB=0；

（2）若∠OMA=∠OMB，則OM是角平分線，利用角平分線定理轉化:三角形內角平分線分對邊所成的兩條線段，與夾這個角的兩邊對應成比例；

（3）若∠OMA=∠OMB，則可構造三角形，利用余弦定理分別把兩角余弦表示出來，建立關于線段長的等量關系；

（4）若∠OMA=∠OMB，則可依托此兩角構造相似三角形，利用相似比建立等量關系。

（5）若∠OMA=∠OMB，則可利用角平分線是角的對稱軸的性質轉化:驗證B點的對稱點在直線MA上，或者直線MA、MB在y軸上的縱截距互為相反數；

（6）若∠OMA=∠OMB，利用角平分線的定義轉化:角平分線上任一點到角兩邊的距離相等，或者用向量法計算兩夾角相等。

二、試題引申

本題如果利用橢圓第二定義則更加簡單：

如圖，由已知易得，M點所在直線x=2為橢圓的右準線．過點A作x=2的垂線，垂足為C，過點B作x=2的垂線，垂足為D．

過點A作x軸的垂線，垂足為P，過點B作x軸的垂線，垂足為Q．

所以∠AMC=∠BMD，因此，∠OMA=∠OMB．

當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°．

綜上，∠OMA=∠OMB．

利用這種解法，還可以得到本題的更一般情形：設橢圓過橢圓的右焦點F（c，0）的直線與橢圓交于A，B兩點，點M的坐標為設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

并且如果M是準線與對稱軸交點，F是對應焦點，則此結論可以推廣到所有圓錐曲線。如果是拋物線，只要兩定點在拋物線對稱軸上且關于拋物線頂點對稱，上述結論依然成立，這就是所謂的“題源”。例如：

（2018年全國卷Ⅰ文科數學，20題）設拋物線C:y2=2x，點A（2，0），B（-2，0），過A點的直線l與C交于M，N兩點．

（1）當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

（2）證明:∠ABM=∠ABN．

（2015年全國卷Ⅰ理科數學，20題）在平面直角坐標系xoy中，曲線C:y=x2—4與直線l:y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點．

（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由．

三、教學啟示

首先，要強化學科本質的理解。從學生答題情況來看，雖然明白“解題的套路”，但只是機械套用，并未理解解決問題的基本思想，表現為機械聯立方程組，列出根與系數關系，而對“此關系有何用，為什么要求得此關系”則不清楚。

其次，要強化學科素養的養成。一方面解析幾何的特點決定了其是綜合評價學生邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力的良好載體；另一方面由于其本身的綜合性，也使其成為考查學生靈活運用知識分析問題、解決問題以及創新能力的有效載體。

最后，在教學中，一方面要加強核心概念、基本方法的理解與訓練，強化解析幾何與平面向量、解三角形等相關知識的聯系；另一方面，也要加強學生實驗觀察、自主探究、預測猜想、抽象概括、模型建構、質疑反思、推理論證等能力的培養。