基于Python軟件求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

趙禹琦

（湛江科技學(xué)院 智能制造學(xué)院，廣東 湛江 524094）

0 引言

在多元函數(shù)微分學(xué)的研究中，通過(guò)分析多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)能夠詳細(xì)分析函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律。而在多元函數(shù)中有一類(lèi)不能夠用顯式關(guān)系表達(dá)的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)，在解決實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建模型的目標(biāo)函數(shù)中這類(lèi)隱函數(shù)占有重要部分。因此研究隱函數(shù)性質(zhì)是分析多元函數(shù)微分學(xué)以及解決實(shí)際函數(shù)問(wèn)題的重要部分。對(duì)多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)是研究該函數(shù)的基礎(chǔ)，在多元隱函數(shù)領(lǐng)域，應(yīng)用相應(yīng)的函數(shù)存在定理所給出的公式可以求出其偏導(dǎo)數(shù)，但是在復(fù)雜多樣的實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的求解往往是中間過(guò)渡環(huán)節(jié)，這就需要高效快速的來(lái)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。在大數(shù)據(jù)時(shí)代通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件解決實(shí)際問(wèn)題最是實(shí)用的方法，在眾多軟件中Python具有程序語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，靈活性強(qiáng)，庫(kù)的種類(lèi)多等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)問(wèn)題求解中。依據(jù)隱函數(shù)存在定理，應(yīng)用Python軟件設(shè)計(jì)相應(yīng)的程序，能夠?qū)Χ嘣[函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，以便深入分析函數(shù)相關(guān)性質(zhì)。

1 Python軟件介紹

Python軟件所使用的編程語(yǔ)言簡(jiǎn)單易懂，從開(kāi)發(fā)初代到現(xiàn)在發(fā)展迅速，廣泛的被應(yīng)用在工業(yè)和教育科學(xué)等領(lǐng)域，Python軟件所使用的編程語(yǔ)言屬于解釋型，在Python軟件中命令是在“解釋器”中執(zhí)行的。其運(yùn)行過(guò)程是Python解釋器在接收一條命令后，對(duì)命令進(jìn)行評(píng)估，依據(jù)評(píng)估返回這條命令的結(jié)果，Python解釋器在調(diào)試過(guò)程中具有良好的交互性[1]。Python軟件的語(yǔ)法簡(jiǎn)明，其編程語(yǔ)言具有面向?qū)ο蟮奶卣鳎哂心K化的組織原則。在Python軟件中，模塊指的是在源代碼中所定義的密切相關(guān)的函數(shù)和類(lèi)的集合。例如Python中標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)的math模塊，這個(gè)模塊定義了函數(shù)和一些數(shù)學(xué)常量。Python軟件用抽象基類(lèi)的機(jī)制來(lái)支持抽象數(shù)據(jù)類(lèi)型[2]。在Python軟件中有許多內(nèi)置函數(shù)，其中最基本的是輸入輸出功能函數(shù)，如果需要生成標(biāo)準(zhǔn)輸出到控制臺(tái)則需要用到print函數(shù)，它能夠打印任意序列的參數(shù)，如果需要打印多個(gè)參數(shù)，它們之間要以空格來(lái)分隔，并在末尾加一個(gè)換行符。例如：print(‘mk’,8)輸出的結(jié)果是字符串mk 8，這兩個(gè)字符串中間有空格分隔。需要注意的是print函數(shù)可以打印的參數(shù)不僅是字符串，如果沒(méi)有任何參數(shù)，命令print()輸出的就是個(gè)簡(jiǎn)單的換行符。對(duì)于print函數(shù)可以使用關(guān)鍵字參數(shù)定義，例如可以通過(guò)關(guān)鍵字參數(shù)sep來(lái)定義分隔符對(duì)字符串進(jìn)行分隔，關(guān)鍵字參數(shù)end可以用來(lái)指定一個(gè)可選擇的字符串作為結(jié)尾，關(guān)鍵字參數(shù)file既可以用來(lái)指示一個(gè)文件輸出流，又可以找到一個(gè)文件直接輸出。常用的內(nèi)置函數(shù)還有input函數(shù)，它是用來(lái)接收來(lái)自用戶輸入的信息。在給出一個(gè)可選擇參數(shù)后，input函數(shù)會(huì)顯示提示信息，之后等待用戶輸入字符，直到用戶按下返回鍵。input函數(shù)具有的返回值是用戶在按返回鍵之前的那些由用戶輸入的字符串。在讀取用戶輸入的數(shù)值時(shí)，程序員會(huì)使用input函數(shù)來(lái)獲得字符串，在應(yīng)用int或者float語(yǔ)法構(gòu)建用戶的這些以字符串表示的數(shù)值[3]。

除了一些內(nèi)置的定義之外，Python軟件還包括了多種數(shù)值，函數(shù)和被組織在附加庫(kù)中的類(lèi)，類(lèi)也稱(chēng)為模塊，可以在一個(gè)程序內(nèi)導(dǎo)入，例如在math模塊中，雖然它的內(nèi)置命名空間包含一些數(shù)學(xué)計(jì)算函數(shù)（abs,max,min等），但常用的是歸為math模塊（sin,cos等），在這個(gè)模塊中定義了一些數(shù)學(xué)常數(shù)例如pi和e。

在Python軟件中，將定義從模塊中載入當(dāng)前命名空間需要應(yīng)用import來(lái)聲明。import語(yǔ)句的語(yǔ)法形式可以表示為：from math import pi。通過(guò)這個(gè)命令可以在當(dāng)前的命名空間載入math模塊所定義的pi，允許直接使用pi這個(gè)標(biāo)識(shí)符。若有很多的定義來(lái)自導(dǎo)入的同一個(gè)模塊，可以使用＊。即from math import＊。還有一種方式是導(dǎo)入模塊本身，它可以用于在相同模塊中訪問(wèn)多個(gè)定義，語(yǔ)法形式為：import math，引入之后，模塊中的定義在訪問(wèn)時(shí)需要用一個(gè)完全限定的名稱(chēng)，例如math.pi。Python中還有種類(lèi)豐富的科學(xué)計(jì)算庫(kù)[4]，例如sympy庫(kù)，這個(gè)庫(kù)中的diff函數(shù)可以用來(lái)對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，方便快捷的解決實(shí)際問(wèn)題需要。對(duì)于處理復(fù)雜的多元函數(shù)，尤其求由方程組確定的多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，利用Python軟件的特點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)代碼，能夠準(zhǔn)確快捷地得到所需要的偏導(dǎo)數(shù)，從而為解決實(shí)際問(wèn)題提供紐帶。

2 多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

在單個(gè)的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，一些實(shí)際問(wèn)題中還會(huì)涉及到對(duì)由多元方程組確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，例如下面方程組：

確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，這類(lèi)方程組確定的是兩個(gè)二元隱函數(shù)，又稱(chēng)為向量值隱函數(shù)，對(duì)其求偏導(dǎo)數(shù)可以用到相應(yīng)的隱函數(shù)存在定理[6]：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，同時(shí)滿足，由相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)組成的雅克比行列式：

利用相應(yīng)的隱函數(shù)存在定理可以對(duì)多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，而復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題通常涉及到多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，合理利用Python軟件設(shè)計(jì)代碼，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)多元隱函數(shù)方程組確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，從而提升計(jì)算效率。

3 用Python求解二元隱函數(shù)方程組的偏導(dǎo)數(shù)

在研究具體的實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)將問(wèn)題抽象成目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)分析來(lái)獲得解決問(wèn)題所需要的關(guān)鍵條件。大部分實(shí)際問(wèn)題都涉及到多個(gè)復(fù)雜因素，即所得的目標(biāo)函數(shù)是多元的隱函數(shù)，通過(guò)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)分析函數(shù)性質(zhì)有助于問(wèn)題的解決。復(fù)雜條件的實(shí)際問(wèn)題常涉及到方程組，基于Python軟件的科學(xué)計(jì)算庫(kù)和簡(jiǎn)明的語(yǔ)法規(guī)則，以二元隱函數(shù)方程組為例，用Python軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)的求解更加便捷快速。

求解二元隱函數(shù)方程組確定的二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，利用向量值隱函數(shù)存在定理和Python軟件的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)，具體舉例如下：

解：設(shè)

先由方程組求出相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)：

依據(jù)向量值隱函數(shù)存在定理，雅克比行列式：

由定理得出各偏導(dǎo)數(shù)為：

在Python軟件中求二元方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)程序設(shè)計(jì)：

Python 3.7.0 (default, Jun 28 2018, 08:04:48) [MSC v.1912 64 bit (AMD64)] on win32

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＞＞＞ from sympy import＊

＞＞＞ x,y=symbols(‘x,y’);u,v=symbols(‘u,v’)

＞＞＞ a1=diff(x＊u-y＊v,x);a2=diff(x＊u-y＊v,y)

＞＞＞ a3=diff(x＊u-y＊v,u);a4=diff(x＊u-y＊v,v)

＞＞＞ b1=diff(y＊u+x＊v-1,x);b2=diff(y＊u+x＊v-1,y)

＞＞＞ b3=diff(y＊u+x＊v-1,u);b4=diff(y＊u+x＊v-1,v)

＞＞＞ j=a3＊b4-a4＊b3

＞＞＞ m1=a1＊b4-a4＊b1

＞＞＞ n1=-(m1/j)

＞＞＞ print(‘u對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為:’,n1)

u對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為: -(u＊x + v＊y)/(x＊＊2 + y＊＊2)

＞＞＞ m2=a2＊b4-a4＊b2

＞＞＞ n2=-(m2/j)

＞＞＞ print(‘u對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為:’,n2)

u對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為: -(u＊y - v＊x)/(x＊＊2 + y＊＊2)

＞＞＞ m3=a3＊b1-a1＊b3

＞＞＞ n3=-(m3/j)

＞＞＞ print(‘v對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為:’,n3)

v對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為: -(-u＊y + v＊x)/(x＊＊2 + y＊＊2)

＞＞＞ m4=a3＊b2-a2＊b3

＞＞＞ n4=-(m4/j)

＞＞＞ print(‘v對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為:’,n4)

v對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為: -(u＊x + v＊y)/(x＊＊2 + y＊＊2)

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證程序所得結(jié)果與實(shí)際應(yīng)用向量值隱函數(shù)存在定理公式計(jì)算得到的結(jié)果一致，因此程序可以有效運(yùn)行。可見(jiàn)通過(guò)Python軟件進(jìn)行多元隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求解可以快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果，為解決具體問(wèn)題提供有利幫助。

4 結(jié)語(yǔ)

分析多元隱函數(shù)的性質(zhì)有助于有效分析復(fù)雜多因素實(shí)際問(wèn)題所確定的目標(biāo)函數(shù)。在涉及到多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)常用到方程組，這就需要快速求解多元隱函數(shù)方程組的偏導(dǎo)數(shù)，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行深入分析，基于Python軟件操作簡(jiǎn)潔，代碼具有簡(jiǎn)明語(yǔ)法規(guī)則，在科學(xué)運(yùn)算過(guò)程中效率高等特點(diǎn)，選用Python軟件設(shè)計(jì)代碼實(shí)現(xiàn)多元隱函數(shù)方程組確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)可以節(jié)省人工計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算準(zhǔn)確度，有助于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確分析，從而提高問(wèn)題解決的效率。