“高觀點”視角下“帶得走”的數學課

徐妍

[摘要] 特級教師周衛東老師對小學數學教學提出“高觀點、低結構、中溫度”的主張。文章結合周衛東老師“平行四邊形的面積”課例，從大問題驅動、結構化教學、思想性包攝三個維度理解“高觀點”視角下的數學新課堂，以期能為小學數學教學創新提供思考。

[關鍵詞] 小學數學;高觀點;帶得走

“高觀點”下的學科內容是通過大問題驅動，從縱深維度遷移到寬窄維度，進而推及到思想的高低維度，而學習方式則是通過結構化關聯、思想性包攝等方式，在兒童的身上留下數學的印記，提供能“帶得走”的數學課。這里，帶得走的是方法、思想和數學品格。筆者結合周衛東老師“平行四邊形的面積”一課，談談如何理解“高觀點”視角下“帶得走”的數學課。

一、大問題驅動，促思維發散：從“感覺”到“說明”的數學

“高觀點”視角下的數學教學首先體現為大概念統領、大問題驅動。“平行四邊形的面積”一課從大概念教學開始，以大問題驅動開展，課堂中聚焦三個話題。

話題一：如何說明案例所示平行四邊形的面積就是24平方厘米？重點解決探索平行四邊形面積計算的公式。話題二：所有的平行四邊形的面積都可以用底乘高來計算嗎？從一個到一類，引發學生深度思考，著重解決數學中從一般到抽象的歸納。話題三：如何理解用鄰邊相乘這種算法？之前已確認過平行四邊形的面積計算是底×高，現在為何又研究鄰邊相乘？引發學生進一步思考：為什么現在不能用鄰邊相乘算面積，以后就可以利用鄰邊相乘來解決？

每個話題的背后都蘊含著特有的數學思想，通過具體的、可研究討論的話題形式引導學生思考、實踐、探索，通過大問題整合我們所學的知識，把數學知識像珍珠項鏈一樣串進來，讓思維能夠落地行走。于是，通過簡單的學材和前測充分展示出學生的真實想法和實際經驗，反映學生的思考過程和思考痕跡。

課堂上，教師逐一展示學生在前測中出現的三種方法，并沒有急于讓學生回答哪個是正確的，而是提醒學生：如果你想要證明哪一種結果是對的，就要說出你的方法來。而僅有結論是不夠的，還要說明原因，研究的視角從是什么轉向為什么，聚焦平行四邊形面積的計算過程。在面積的教學中，教師充分放手，讓學生通過“割、拼、數”的方法將平行四邊形轉化成長方形，將操作、思考、理解、表述有機結合，從而讓學生體驗到非常直觀的“轉化”感受。三個話題是整個數學學習活動的連心鎖，賦予數學學習活動整體性的關鍵，教師在其中不斷添加佐料，讓學生自主烹飪出這道美食。

二、結構化教學，促思維深入：從“一個”到“一類”的數學

所謂“學科”，并不是簡單的知識和概念的累加，實際上每個學科都有自己的學科本質以及知識體系，學科知識、學科本質之間有著不可分割的密切聯系。在引導學生探究平行四邊形的面積時，教師先引導學生用“割補法”“數格子法”等方法去說明“一個”平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算。“剛才我們通過一個具體的例子研究，得出平行四邊形的面積和它的底和高有關。是否所有的平行四邊形面積都可以用底乘高來進行計算呢？”從“一個”出發，準備走向“一類”。學生通過已有的感覺與經驗判斷似乎是可以的，隨即教師出示不同大小、不同形狀的平行四邊形，通過不同的變式圖形讓學生觀察并思考。一石激起千層浪，學生的思維瞬間被打開了，在腦海中想象“說明”的過程，在手指間比劃“割—補”的過程，隨即說明“任意”平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計算。由“個”到“類”的思維過程中，教師向學生滲透了不完全歸納的思想。通過結構化的教學幫助學生將頭腦中的學科知識建立起點、線、面的立體結構網絡，形成自我再生力的開放系統，挖掘學科本質特有的功能。

課堂絕不能止步于此，教師直逼核心地提出兩個問題：轉化后的長方形與原來的平行四邊形有什么聯系？平行四邊形的面積為什么可以是“底×高”？這兩個問題促使學生在平行四邊形和長方形中找到聯系與區別，找到“變”與“不變”。在引領學生完成學習任務的過程中，引導學生學會推理歸納，厘清平行四邊形面積計算的本質問題，即“沿著平行四邊形的任意一條高剪開，拼成一個長方形，發現拼成的長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，且面積不變”，從而幫助學生理解長方形面積計算公式與平行四邊形面積計算公式之間的內在聯系：根據長方形的面積=長×寬，推出平行四邊形的面積=底×高。可以說，通過合理地設計教學，使前后內容互相蘊含、自然推演，在具體路徑上為學生提供一個具有生命力的處于運動中的思維網絡，從而深刻領會各個概念的實質，掌握蘊含在各個概念相互關系中的各種推理思維模式。質言之，在“底×高”正確方法的背后，凝練了豐富的數學思考，最后殊途同歸。

三、思想性包攝，促思維進階：從“錯誤”到“正確”的數學

學科思想是學科知識中的隱性內容，是對某學科性質、特征、基本規律的高度概括和升華，是知識“背后”的知識，是學科內容的精華和核心。課的最后，教師又提出了“鄰邊相乘”的錯誤方法，通過動畫演示的方式讓學生明白不能用鄰邊相乘的方法來計算平行四邊形的面積的原因。學生在動畫演示的過程中，進一步明確了當平行四邊形的底和周長不變時，隨著高的增加，面積越來越大，一直到轉化為一個長方形時，面積最大。這樣思維進階的過程，通過動態演示把圖形的變化過程和對比結果自然地刻在學生的腦海中，幫助學生提高幾何直觀的能力，形成對平行四邊形面積計算的完整、清晰的認知結構。

隨后，教師繼續追問：“小朋友們，鄰邊相乘有沒有一定的道理呢？”學生覺得很奇怪：明明這是一種錯誤方法，怎么又有道理了？“錯誤的背后，隱藏了一條正確的思路”，教師的這句提醒再一次激起學生的思維。教師放手讓學生表達自己不同的觀點，小辯論引發了學生經驗的碰撞和沖突;學生在沖突中感受到經驗的錯誤，主動修正思考方向和認知方法。通過動畫視頻的演示，呈現出不斷變化的角度，讓學生從變化中發現，面積與相鄰兩邊的長短以及它們所夾的角度都有關，從而自發地產生了“知道了相鄰兩邊的長度和所夾的角度，又怎樣算出平行四邊形的面積”的疑問，進而將初中將要學習的平行四邊形的計算公式向學生滲透，即平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘夾角的正弦值。如果用字母a、b表示兩組的鄰邊長，α表示兩邊的夾角，S表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab×sinα。我們常說，學科思想基于學科知識，又高于學科知識，與學科知識具有不可分割的辯證關系。數學就是要幫助學生站在“學會思維”的立場上，引導學生從不同的角度認識問題，理解不同答案背后的思維方法，進而科學地理解數學知識，理解他人的思維，反思自己的思維，形成整體的數學思維，這樣既習得知識，還發展思維，更涵養品格。

一節好課的味道遠不止如此，推導公式過程中的“為什么沿著高切開？有何道理？”“不沿著高切開，行嗎？”變式練習中的“明明沒有標注此處的高，3從哪里來？”每一個提問，每一個追問，都觸摸著思想、思考、思維。可以說，一節好課，留下的是琢磨，帶走的是方法;看見的是行走，想象的是未來，它讓年輕教師看到美麗的風景在遠方、在深處、在高點。