組合緊相連 拆分互轉換
——對2020年一道“走樣”高考試題剖析

楊偉達

(廣東省廣州市花都區第二中學 510800)

一、題目再現

圖1

(1)證明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

考點分析本題考查了線面垂直的證明及二面角的大小. 知識考點覆蓋了立體幾何的核心知識.包括圓錐定義、性質、正三棱錐、線面垂直判定及二面角大小等；從思想方法和數學素養層面看，需要具備較高的直觀想象、邏輯推理、轉化與化歸、運算求解、數形結合等，同時還需要學生穩定的心理素質.

二、思路探究及解答過程

1.題目已知條件是什么？結論是什么？并在圖中作標注

一個圖中圖即圓錐里面套著一個正三棱錐.第(1)問是證明線面垂直；第(2)問是求二面角大小.本題涉及圓錐、正三棱錐、圓內接等邊三角形、圓錐母線與圓直徑相等、圓錐和三棱錐高的數量關系，分別標注于幾何體中.

2.常見相關類型題目及解題思路

有關線面垂直的判定定理其實就是在平面內找兩條相交垂線，關鍵是證明線線垂直；有關求二面角大小常見方法是建立空間直角坐標系，利用坐標運算求法向量，用數量積求解即可，這是教師常見的固化思維.

3.思維障礙

觀察圖形，本題線條比較多，容易產生錯覺，不少學生比較陌生，圖形轉換困難.原因是不會利用圖形轉換，導致線線垂直沒有經過詳細的推理證明，沒有求出相關數值，也沒有勾股定理的身影，從而不少學生想當然認為空間中兩條直線垂直；其次第二問需要建立空間直角坐標系時，點P，B，C，E的坐標很關鍵、求法向量運算容易出錯.

分析解決此問題，最好的辦法就是對幾何體分割，拆分成圓錐和正三棱錐.第(1)問：幾何體之間要進行圖形交互轉換，分別求出各元素的值，利用勾股定理即可證明PA⊥PC，PA⊥PB，進而得證；第(2)問：根據題目的條件，選擇適當的x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面PBC及平面PCE的法向量，利用向量的數量積公式計算即可.

圖2

三、解題后反思

在教學中，立體幾何試題一直被認為必得分題！圍繞平行、垂直的高考題歷來根深蒂固，但是從來沒有出現一模一樣的高考題！“常考常新、年年考年年新”是高考題的顯著特點！如何圍繞平行、垂直做文章，如何走出這種固有思維？一直是許多教育工作者的期待！也是命題專家的良苦用心！而今年這種“走樣”高考題很接地氣，給師生一種“傳統而富有新意”的感覺.對不少考生來說：“熟悉而不陌生、新穎而不陳舊、容易而難滿分”.

走樣之一考查內容不一樣.圖中圖，傳統中有新意.傳統的是：熟悉的背景(圓錐和正三棱錐)，試題設問部分沒有變化.第一問論證部分，強調邏輯證明，突顯邏輯推理；第二問求值部分，強調空間向量，突顯運算求解.新意在于圖中圖，像這種圓錐套正三棱錐的幾何體往往很少見到.考查圓錐的內容不一樣，以往考查往往專注于考查圓錐的體積、面積、三視圖、展開圖，而這次考查了圓錐的定義、性質(柱垂直于底面，圓錐母線都相等)，來自圓錐最原始的概念、最基本的老祖宗.這是命題專家命制幾何試題的初心和使命，也是一次突破和創新.簡單而不復雜，再次見證幾何的味道！

走樣之二考查題型不一樣.按照往年的慣例，組合體一般分布在選擇題或填空題中.而今年出人意料的是：這次組合體出現在解答題中；其次考查組合體內容也不同，按照以往經驗，與球有關的組合體出現的概率比較常見，或者多見于與柱體有關的組合體，而這次圓錐里面套著正三棱錐實屬不多見，圖形常見而新穎，它們都藴含著特殊圖形.如直角三角形及等邊三角形.

走樣之三直觀視覺不一樣.注重幾何基礎，突顯直觀想象.所謂幾何直觀就是依托圖形進行數學思考和想象，其實就是一種通過圖形所展開的想象能力.它往往需要邏輯支撐，把看到的與學到的結合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結論和論證思路.與往年高考立體幾何試題不同的是，今年高考立體幾何題是組合體，圖中圖、線條多，涉及元素復雜，容易造成“眼花”，這是命題專家們考查學生在幾何直觀素養方面的一大杰作.為避免看走眼，產生圖形錯覺，最可行的辦法最好就是分割！分拆成圓錐和正三棱錐.比對兩個圖形，逐一找出相同的量和不同的量，分別算出各自所需的值，最終還原到組合體中.下面是對今年高考立體幾何試題分割后的圖形比對.

注重觀察比對，突顯轉化和化歸.通過圖3觀察，比對圖形，在三個圖形之間交互轉換，以便尋找相同元素，區別出不同元素，逐一計算并標注，得出所需的數值，最終還原到組合體中，達到快速解題.

圖3

當前，在大力倡導數學核心素養的背景下，試題的背景或形式發生改變，而主心骨并沒有變！所以教師在教學中如何抓住主心骨？讓學生會思考，會解題，解對題！這將引領我們向更深層次的思考，從而更好地提高教學質量.