由一道2021年高考創新題引發的研究

賀鳳梅 李昌成

(1.新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400；2.新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

高考的主要功能就是為高校選拔優秀生源，為國家遴選人才，因此國家考試中心每年都會命制一些創新題，為甄別最優秀的學生起到把關作用.今年全國乙卷的第12題就是一個典型代表.此類題不曾在過往的高考中出現，在鋪天蓋地的模擬卷中也未曾謀面，完全原創，絕對首創，只有能力水平達到相當高度的學生方可在緊張的考場上成功突圍.下面我們嘗試研究它.

一、題目呈現

A.a

二、總體分析

我們知道，教材中比較大小的題目一般有兩種類型：一類是利用指數、對數、冪函數、三角函數等簡單函數的單調性比較兩個數的大小；另一類是通過橋梁“0”、“1”等比較兩個數的大小.而本題以壓軸題的形式出現，函數關系不明顯，屬于創新試題.初看此題，不知道如何入手，感覺是很接近的具體數，但卻無法找到合適的中間量來判斷他它們的大小.如何突破此題呢？我們企圖通過構造非常見函數來突破此題.

三、試題解答

1.作差后構造函數

解法1先比較b與c的大小.

接下來比較a與c的大小.

綜上可得b

因此選B.

評注利用導數結合單調性比較大小，常常需要構造新函數，把問題轉化為利用導數研究函數的單調性的問題. 此法根據b與c以及a與c之差的結構特點為突破口，成功構造了恰當的函數，并借助導數完成試題的解答.

解法2 先比較b與c的大小.

接下來比較a與c的大小.

綜上可知b

因此選B.

評注解法2通過研究對應的數量關系，進行巧妙變形，構造函數，從而達到比較大小的目的.此法構造函數的技巧性更強，這就需要我們在平時的教學及學習過程中不斷思考、探索、歸納和總結，逐步提高解題能力和思維品質.

2.為了應用導數的幾何意義而構造函數

于是f(0)=0，g(0)=0，h(0)=0，f(0.01)=a，g(0.01)=b，h(0.01)=c.

因此選B.

評注解法3是根據a,b,c的結構特點，構造了三個函數，借助導數的幾何意義成功達到比較大小的目的.此法思維難度較大，需要數形結合，將數值大小賦予圖形特質.

3.構造泰勒展開式，并估算

綜上得b

因此選B.

評注泰勒公式是大學數學分析中的內容，對高中學生來說明顯超綱，不過對于程度好的學生，對應班級的數學教師可以適當介紹，不需要學生掌握，以此激發學生的學習興趣和求知欲.

4.構造二項式

借助f(x)=lnx的單調性知a>b，排除選項A與D.

結合前文比較a與c的大小即可得到答案.

評注解法5是將a中變形后的真數1.012=(1+0.01)2由二項展開式展開，通過不等式放縮，比較a與b的真數的大小，進而得a與b的大小.因為此題是選擇題，可以排除部分選項，再有針對性地比較a與c的大小即可達成目標.

四、追根溯源

1.(2021南京師范大學《數學之友》考前指導卷第8題) 已知e是自然對數的底數，π是圓周率，則下列不等式中π3<3π，3e

A.0 B. 1 C. 2 D. 3

2.(2017年高考全國卷Ⅰ理科第11題)設x,y,z為正數，且2x=3y=5z，則( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z