解不等式題時要注意等號成立的條件

張嶺芝

(江蘇省無錫市青山高級中學 214036)

常量與變量之間的等與不等關系問題是數學問題的一類核心問題，由此展現出豐富的數學內涵.把不等號“>”，“<”與“=”天然有機相結合得到“≥”和“≤”，這兩個優美的符號完美的詮釋了相等與不等和諧共處，不等之中蘊含著相等.

數學問題在一定程度上就是解決等與不等關系，在具體的情境中，往往需要從豐富的相等與不等的條件關系中挖掘相等與不等的結果.

例1已知a>0,b>0且a+b=1求：

沿用上面的解法我們得到：

(2)的正確解法：∵a+b=1,

當我們在多次運用基本不等式時,尤其是在運用不等式基本性質進行不等式運算時需要特別注意其中等號成立的條件. 只有當你使用的多個不等式同時成立時最后的相等關系才能取得，如果出現兩個或兩個以上不等式不能“和諧共處”時最后的相等是無法取得的.因此在解題后多作反思，仔細推敲，別忽視不等式中等號成立的條件！

例2設f(x)=|lgx|，0

(1)2a+b的取值范圍；

(2)a+2b的取值范圍.

圖1

此種類型的問題轉化為求一元函數在某區間內上的范圍比較可靠，如果是應用基本不等式解題要特別小心，一定要注意挖掘題目中的隱含條件以檢驗不等式中等號成立的條件是否具備.

例3 函數f(x)=-x3+ax2，若函數y=f(x)的圖像上任意不同的兩點的連線的斜率都小于2，求實數a取值范圍.

上述兩種解法孰對孰錯？

從數學美的角度來看，“等”體現出數學的均衡與有序之美， “不等”則展現出數學的混濁與奇異之美.從哲學的角度來看，等是相對的，不等才是絕對的，不等之中包含等，等是不等的特殊形態.我們就是要在不等之中尋找相等，在相等之中尋找不等.