復數與三角齊飛 共軛與模長聯袂

謝賢祖

(華南師大附中汕尾學校 516600)

一、源于教材，高于教材

在原來的舊教材人教A版選修2-2中，對復數的模長與共軛提及甚少，只是簡單的介紹，不太重視.而在2019年人教A版第二冊中，復數的地位得到提升，不僅給出了求復數模長的訓練題，還給出了與數形結合有關的思考題；在2019年全國Ⅰ卷數學試卷中，選擇題第2題復數也改變了以往的常規考法，創新了命題方式，2020年的全國Ⅰ卷理科15題也是.具體題目展示如下，由于題目簡單，詳細解答略.

例1(2017人教A版第二冊72頁)在復平面內z對應的點為Z，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|=1;(2)1<|z|<2.

例2 (2019全國Ⅰ卷第2題)z滿足|z-i|=1，z在復平面內對應的點為(x,y)，則( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

在新教材2019年人教A版第二冊中則增加了復數的三角表示，而且內容詳實，“三角表示”本是競賽數學的內容，如今也漸漸走入教材，無不凸顯復數地位的提升. 復數本身就是溝通向量與三角函數的重要載體，所以對其進行深入學習，無論是對自招與競賽考試而言，還是對有志參加強基計劃的學生來說，都是大有裨益. 如果只是應對高考，課本知識足矣.但要應對更難的題目還遠遠不夠.下面補充一些課本未曾提及的復數模長與共軛的性質.

二、共軛復數的重要性質

三、自主招生與競賽真題解析

例6 (2020浙江高中數學聯賽初賽)已知復數z滿足|z|=1，則當|1+z+3z2+z3+z4|取得最小值時，復數z=____.

例7 (2020新疆高中數學聯賽預賽)復數z滿足|z|=1，則|1+iz+z|的最小值為____.

總結本題綜合性強，用到了很多豐富的結論，現總結如下.

(1)實系數一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的“虛根成對”，這是舊版教材和新教材都有介紹的知識，值得重視.

(3)本題還用到了常見結論：1-ωn=(1-ω)(1+ω+…+ωn-1)

(5)棣莫佛定理[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)也是重點公式.

復數的三角形式已經進入新教材，高考對復數的考查難度也發生變化，未來復數在高考、自主招生、各類競賽中的地位會越來越高，值得我們重視.本文主要展示共軛與模長的“聯袂”解題以及復數三角形式的應用，而復數是溝通三角函數和向量的重要載體，它所包含的知識和性質數不勝數，筆者的研究只是冰山一角，還需砥礪前行繼續研究，希望對讀者有所幫助，文中若有不正之處，還望同行批評指正.