從一道八省聯考試題探析導數與三角函數交匯題型的求解方法

鄭文杰 廖小蓮

(湖南省婁底市湖南人文科技學院數學與金融學院 417000)

導數與三角函數相結合的題目是屬于比較創新的題型，而在八省聯考當中就出現了，有人做了有關高考三角函數的命題分析及規律，也有人探究了高考導數的應用，但是存在關于導數與三角函數相結合的這方面的研究確實比較少.

一、以三角函數為載體的恒成立問題

例題1(2021年八省聯考，第22題)已知函數f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求a.

圖1

(2)已知g(x)≥2+ax,且g(x)=ex+sinx+cosx，則ex+sinx+cosx≥2+ax.

移向可得：ex+sinx+cosx-2-ax≥0，設φ(x)=ex+sinx+cosx-2-ax，則φ′(x)=ex+cosx-sinx-a，φ(0)=0，由于在定義域R中滿足φ(x)≥0恒成立,且φ(0)=0，即x=0是φ(x)的零點也是φ(x)的極小值點，所以φ′(0)=2-a=0即a=2,φ′(x)=ex+cosx-sinx-2的圖像如圖2所示.

圖2

反過來驗證：當a=2時φ(x)≥0恒成立，即ex[1+(sinx+cosx-2x-2)e-x]≥0

設F(x)=(sinx+cosx-2x-2)e-x,即證明F(x)≥-1

F′(x)=(cosx-sinx-2)e-x-(sinx+cosx-2x-2)e-x=2e-x(x-sinx)，設M(x)=x-sinx，即M′(x)=1-cosx,由于cosx≤1所以M′(x)=1-cosx≥0，所以M(x)在R上單調遞增，又因為M(0)=0,即在(-∞,0)上M(x)<0,即F′(x)<0;在(0,+∞)上M(x)>0,F′(x)>0，所以F(x)在(-∞,0)上單調遞減;(0,+∞)上單調遞增.所以F(x)≥F(0)=-1；所以(sinx+cosx-2x-2)e-x≥-1；即ex+sinx+cosx-2-2x≥0；綜上所述:a=2.

總結①當遇到指數函數與三角函數都存在時,一定要學會將它們兩個綁定在一起，即相乘的關系;②對于導數與三角函數的恒成立問題，通常都是考查 “端點”效應，而這里的“端點”可能是區間端點也有可能是整個函數的對稱點.

二、以三角函數為載體的不等式證明問題

例題2(2021年八省聯考，第22題)：已知函數f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求a.

在這只解答的第二問，第一問在類別一已經全部解答了.

總結在導數中的不等式證明中碰見含參數的不等式證明，我們首先參變分離，將不熟悉的題目要轉換成我們熟悉的東西.