巧用三角反代換 單位圓中破疑難

魏 榜 胡鳳娟 張 茜

(首都師范大學教師教育學院 100048)

三角函數在高中數學中有著相當重要的地位，在全國卷高考中大約占20至30分.但在日常教學中發現，學生在求解三角方程問題時難以精確確定角的范圍，容易出現多解漏解等情況.許多題目的解答過程嘗試了多種方法對角的范圍進行限制，但大多是通過運算的技巧來縮小角的范圍，然而技巧較多，適應范圍也較為局限，尚無一般通法.

筆者通過研究，在任意角三角函數值定義的基礎上總結出了一套通過數形結合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代換法，可有效解決上述問題.

我們知道，三角代換是數學中常用的換元法之一，它能夠利用三角函數的性質將代數或幾何問題轉化成三角問題，合理的代換將會使求解過程簡單化，甚至使一些很難求的問題快速求解.那么，“三角反代換”會有什么樣的妙用呢？

一、三角反代換與單位圓

二、三角反代換用法舉例分析

三角反代換的用法可分為兩大類，一是數形結合在單位圓中確定角的具體位置；二是將三角問題轉化為代數或幾何問題.接下來將逐一介紹：

1.確定角的位置：解三角方程和三角不等式

三角反代換后作出函數f(x,y)=0圖像，通過其與單位圓的交點可以確定角的終邊，也就是確定了角的位置.下面以例1為例，詳細說明三角反代換的具體步驟.

圖1 圖2

評注可以看出在確定角所在象限估算角的范圍時，三角反代換是一個非常簡潔的方法，通過數形結合能夠直觀地看出角的大小，在不追求準確計算時非常實用，能起到出奇制勝的效果.

三角反代換不僅能解三角方程，還能解三角不等式，請看例2.

例2 解不等式tan<1.

圖3 圖4

圖5

評注例2及其變式示范了三角反代換在求解三角不等式時的用法，它能夠借助函數圖像將三角不等式轉化為函數不等式問題，使三角不等式與函數緊密相連，體現了函數與不等式的轉化思想.

2.將三角問題轉化為代數問題或幾何問題

(1)f(x,y)=0為直線型

圖6

評注許多教師對此題進行過深入研究，提出的解法有十余種之多，常見的有解方程、平方處理、萬能公式法，也有比較新奇的向量法、求導法等，代數換元法、柯西不等式法、輔助角法、單位圓法等.這些解法大致可以分為兩類，一類是想方設法建立方程；另一類是抓住最值進行構造，通過滿足最值所需條件求解tanθ.

圖7

評注此題以直線與圓的幾何關系為背景考察了三角關系式的證明，有一定綜合性.解題關鍵在于構造直線與單位圓相交的模型，進而挖掘目標式的幾何意義即可求證.需要特別注意的是，由于直線與圓的特殊位置關系，在三角函數中也應該蘊含有與之對應的豐富的關系式等待讀者的挖掘.

例5(2017全國二卷文科13)函數f(x)=2cosx+sinx的最大值為____.

評注此題是典型的三角函數問題，常見解法是借助輔助角公式和三角函數圖像進行求解.上述解法通過挖掘三角函數隱含的平方和關系，將三角函數問題轉化為代數問題，又通過數形結合轉化為幾何問題.

(2)f(x,y)=0為曲線型

例6 (2018全國理科一卷16題)已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

本題由人教A版導數章節教材復習題稍加改變而來.許多教師對此題作了非常深入的研究，提出了多種解法，有常規的導數法，技巧性較強的基本不等式法，運算量較大的均值不等式法，還有構造單位圓內接三角形的構造模型法等，思路新穎.筆者結合三角反代換，分析一種新的解題方法.

圖8

評注與導數法，基本不等式法等其他方法相比，三角反代換思路“新奇”，充分挖掘三角函數的隱含條件，為解決三角最值問題提供了一條全新的思路.能解決一些導數所不能解決的問題，如求f(x)=sinx+cosx+sin2x的最值.

三、教學建議

2017版高中數學課程標準中特別指出：在三角函數的教學中，應發揮單位圓的作用.三角反代換在單位圓中的應用兼具思想性、實用性與新穎性等特點，契合新課程標準的理念，不僅集中體現了眾多數學思想方法，更體現了數學的對稱美！

在教學過程中教師要注意啟發學生，引導學生體會幾個重要的轉化過程，注意思想方法的滲透，讓學生感受轉化思想的奇妙.筆者認為重要的轉化過程有：

①換元，將cosθ和sinθ換元為x和y.

③兩曲線交點到角θ終邊與單位圓的交點的轉化，進而確定θ角的位置.

筆者認為三角反代換是眾多核心知識點、核心思想方法的交匯處，其教學對于提高學生的綜合能力、培養學生思維、領悟數學基本思想方法大有益處.

數學家波利亞曾說：“一個想法使用一次是技巧，經過多次的使用就可以成為一種方法”.三角反代換在解三角方程、三角不等式等問題時有顯著優勢，尤其是在確定角的范圍、估計角的大小時使用方便靈活.三角反代換豐富了單位圓的應用，既體現了坐標定義三角函數的優勢，又能培養學生的數形結合能力、綜合應用知識的能力.此外，三角反代換還實現了三角函數問題到幾何或代數問題的轉化，為解決三角函數問題打開了一扇新的大門！筆者水平有限，本文實乃拋磚引玉，期待讀者朋友們對三角反代換進行更加深入的研究，探尋三角函數更深處的奧秘！